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Vous pouvez effectuer des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse fhttp: //books .google. com| CALCUL DES PROBABILITÉS '.fl • IVOOl Paris.— Imp. GAUTIllEIl-VILLAnS ET FILS, quai des GraDds-AufcasliDs, bj CALCUL DES PROBABILIXËS PAR j^'bertraivd, PARIS. GAUTIIIEH-VILLARS ET FILS, I.M PRIMEUR S-UBR AIR ES Dt' bUHEAU DES LONGITUDES, DE LÉCOLE POL YTECUNIQLB, Quai des Grands-Ajgustins, b'i. 188» 1K i • • .•• • t • ••' • • ... ;••; ♦.• •••• . ••• . • PRÉFACE. Le Calcul des probabilités est une des branches les plus attrayantes des Sciences mathématiques et cependant Tune des plus négligées. Le beau livre de Laplace en est peut-être une des causes. Deux opi- nions, en effet, se sont formées, sans rencontrer presque de contra- dicteurs : on ne peut bien connaître le Calcul des probabilités sans avoir lu le livre de Laplace ; on ne peut lire le livre de Laplace sans s'y préparer par les études mathématiques les plus profondes. La seconde de ces propositions est incontestable, et le Traité analy- tique du Calcul des probabilités commence par deux cents pages, au moins, dans lesquelles Texposition des théories mathématiques qui doi- vent servir au calcul des chances est complètement indépendante de toute application ultérieure. Laplace, après avoir trouvé des méthodes nouvelles, devait leur donner la préférence : les problèmes sont choisis et les solutions proposées de manière à mettre en évidence Futilité des fonctions génératrices. J'ai cherché dans ce Livre, résumé de Leçons faites au Collège de France, à faire reposer les résultats les plus utiles et les plus célèbres du Calcul des probabilités sur les démonstrations les plus simples. Bien peu de pages, je crois, pourront embarrasser un lecteur familier avec les éléments de la Science mathématique. Si le signe / s'intro- duit quelquefois, il suffit presque toujours d'en connaître la définition. Je me suis efforcé, à l'occasion de chaque question, de marquer avec précision le degré de certitude des résultats et les limites néces- saires de la Science. La plupart des réflexions suggérées par l'étude u|»|M'oriMMliiH>posorai «uouno aulrt\ Sur un sujet vaguement dé- luu ou pou! raisouuor sans i^puviHpio. Faut-il distraire le oKùuiïhIo do SOS fouruoaux pour lo presser sur l'essence delà u^Aht^iv''^ ^'ouuuoutH^t^ou Tôtudo du trausfxirt de la force par \loluur Tolootnoito'? K I ouuM .Vwi.>n/s uilolU^iWo do s^M* è>oiHo dans Tesprilune ^Ks^ |v\HA\towonl oUùv. l^uAud un joueur de trictrac jette Kv^ ^l\^Nx nMs iu^ s^\uI |Vjjis |MjV5^* sM ne s.til ni ne \ eut amener ,^rto\u\ jsMut plutvM ^ju^Am'^xm 4iulre^ le ovnip est l\vii\Te da Vav^aI^ I s^x 5pi\^nd> nxNW\s de l^aise^K ^ît^ Feni^At eî de Hnv- ^x>vs ^ks\>J^\^nî îe Wx\\\A« da i^ktd de:;^ KAssrvîs. On est in- >v^>4'>^ ^NVi H*^^îsii4^¥rt ^IaI^Ws I w AnvAte^^r d;5 v^r,, ^5^:: t>Vt>erradl v^>t^y.V J^^x ^\J<ïx :ats^ W* oWx4^î>er ^ir \lcj:\ î:ï>e coo- LES LOIS DU HASARD. VII moitié du nombre total. L'ami de Galilée, très familier avec les dés, s'étonnait de gagner par le point 1 1 plus souvent que par le point 12 et de voir sortir 10 plus souvent que g. Ces quatre points arrivent cependant chacun de six manières, et pas davantage. Pourquoi 1 2 est-il plus rare que 1 1? Faut-il nier l'expérience ou douter du calcul? Il faut les accorder en faisant mieux le compte. Les cas que l'on dénombre ne sont pas pareils; 4» 4» 4» P^ï* exemple, qui donne 12, n'est pas comparable à 4» 5, 2, qui donne 1 1 ; la première de ces com- binaisons est unique, chacun des trois dés doit amener 4; 4» 5, 2, au contraire, représentent six combinaisons, parla même raison qu'avec trois lettres distinctes on peut écrire six mots différents. Attentif à tout circonstancier, Galilée, au lieu de six chances, en montre distinctement vingt-sept pour le point 1 1 , vingt-cinq seulement pour le point 12. Le calcul, le compte, pour parler mieux, s'accorde, comme toujours, avec l'expérience des joueurs. Galilée n'en faisait aucun doute. Quoique ce grand géomètre Jacques BernouUi, pour avoir établi la loi sur des preuves, ait pris un rang élevé entre les plus illustres, la conviction universelle des joueurs a précédé ses profonds travaux. Quand un dé lui montrait trop souvent la même face, Panurge, qui s'y connaissait, pour y voir biffe et piperie, n'invoquait rien que l'évidence. Ainsi faisait l'ami de Galilée : en comptant 1080 fois le point II contre 1000 fois le point 12, il devinait une cause et voulait la connaître. Un jour, à Naples, un homme de la Basilicate, en pré- sence de l'abbé Galiani, agita trois dés dans un cornet et paria d'amener rafle de 6; il l'amena sur-le-champ. Cette chance est possible, dit-on; l'homme réussit ime seconde fois, et Ton répéta la même chose; il remit les dés dans le cornet trois, quatre, cinq fois, et toujours rafle de 6. VIII PRÉFACE. « Sanffuv (h Haccol 8'ccria l'abbé, les dés sont pipés! » et ils l'c^laionl. I^Hir([iioi l'abbé jurait-il? Toute combinaison n'est- c^llo pas possible? Kllcs le sont toutes, mais inégalement. Ga- \\\i>K\ nous cMi avertit. Commençons, pour aller pas à pas, par joUm' doux dc^s onscmble ou deux fois un seul dé, — les deux ras u'tMi (ont iprun. Si deux joueurs parient, Tun pour deux (î, r on réunit deux. Si l'un arrive deux fois plus quo Taiitro, faudra-t-il accuser le hasard de partialité ? attri- buer au point (> une antipathie occulte pour son semblable? i'eUo inlorpivhdion n'est pas à craindre. Si, pivuant soixante dès, on compare la réunion des soixan(ot>» ôc|uivalenlo à trente sonnez de suite, avec la com- binaistu) qui eontient ebacun des six points précisément dix fois* les utuubres \v\v leur immensité se dérobent à l'imagi- UAtiou» e( Tosprit ti\ud)lô par une telle abondance cherche les causes d'un n\\st^ro qui n'existe puis. Avtv soivaute dès. pmir amener soixante fois 6, une seule e^viubiuaisou est jHKssible : chaque de doit montrer le point 6. hi\ ti* au c\>utraiiv» et dix fois chacun des autres points. |HHi\eut se distnbuer et s'arranger avec tant de \-ariêté que, si chacun \h*s arrauj^emeuts |H^ssibles était préparé dans une Ih\Uo \ruu vhvuu^t IV cunv 5^uis i|ue* dans aucune boite, les m(^iuoN vIoNpivseutass^nit les intimes faco5. Li cont-millîonîème |Mi1io \lo \vllesque la ^XMubiuais^^u désirée enveloppe sous uu uu^uie uvnu jH^unait ivuMnr un mdUou de fois U surface vk*^ U tenv sAux > Uisscr ^^ucuu Md^. Jeter les^ soixante dés s\ L^ tois^ c'est chaîner le hasAtxl de designer une des boites, et M, dviUN wUe ^K^UvUuvv* les cxuubiujibsioas peu nom- h^XHtxwN no se wouttvut Mm;Ats^ est-ce lui qui les exclut? Ijk \s>iW qui wtttKHi^ les M.H\AUte t.^^ tv>utes celles ixinKne qui en LES LOIS DU HASARD. TX conliendraient plus de cinquante» sont introuvables dans la masse comme des gouttes d'eau désignées dans l'Océan. Sur le Pont-Neuf, pendant une journée ou pendant une heure, on peut prédire résolument que les passants de taille inférieure à deux mètres l'emporteront par le nombre. Le pont écarte-t-il les géants? Quand, au jeu de dés, on an- nonce quelles combinaisons prévaudront, c'est, comme pour les passants du Pont-Neuf, une question d'arithmétique; les combinaisons qu'on ose exclure forment, dans le nombre total, si les épreuves sont nombreuses, une proportion beaucoup moindre que, parmi les Parisiens, les hommes de six pieds de haut. Buffon, qui, ce jour-là, manqua de patience, fit jeter une pièce de monnaie en l'air 4o4o fois ; il obtint 2048 fois face au lieu de 2020. Un tel écart n'a rien d'inattendu. Le jeu étudié par BulTon était moins simple que pile ou face. Quel- ques millions d'épreuves ne pourraient ni en révéler ni en in«- firmer la loi. La pièce jetée en l'air est jetée de nouveau et de nouveau encore, s'il le faut, jusqu'à l'arrivée de face. Buffon, ayant amené face 2048 fois, a joué 2048 parties. Un paradoxe singulier rend ce jeu, — ce problème de Saint-Pétersbourg^ c'est le nom qu'on lui donne, — mémo- rable et célèbre. Pierre joue avec Paul; voici les conditions: Pierre jettera une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle montre le côté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera un écu; si ce n'est qu'au second, deuxécus; s'il faut attendre un troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux de Pierre? La Science, consultée par Daniel BernouUi, donne pour réponse: Une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré, est au-dessus de toute mesure. X PRÉFACE. Les géomètres ont interprété de plusieurs façons et dés- avoué, comme excessive, la réponse irréprochable de la théorie du jeu. D'Alembert écrivait en 1768 : « Je connais jusqu'à présent cinq ou six solutions au moins de ce pro- blème dont aucune ne s'accorde avec les autres et dont aucune ne me parait satisfaisante. » Il en ajoute une sixième ou septième, la moins acceptable de toutes. L'esprit de d'Alembert, habituellement juste et fin» déraisonnait com- plètement sur le Calcul des probabilités. BuiTon, pour expliquer le paradoxe de Saint-Pétersbourg, allègue que posséder ne sert de rien si l'on ne peut jouir. {>ose, i million d*écus et les JoiMM' /i l';iiil i*ii l'^'harif^c des promesses convenues. Il est Ion! lUvn l'OfK Le |>l;ieement est aventureux, mais excel- liMil ; Vnvniiiimi* infini est réalisable. Qu'il joue obstiné- MMMil» il penlni i partie, looo^ looo millions, i million de MilllhinU |MMit-^tre; qu'il no se rebute pas, qu'il recom- MMMM'i* un nombre de fois que la plume s'userait à écrire, qu'il dil1i*re Hurlout le r^^lement des comptes, la victoire, pour lui» ohI cerhiiue, la ruine de Paul inévitable. Quel jourV quel Ni^rle? Ou l'ignore; avant la fin des temps cer- iMMMMneiil, le gain de Pierre sera colossal. |)ue Tounni (rauHporle un gruin de poussière de la cime du uiout hiaue tlaus la plaiuo, retourne sur la hauteur, des- eeud une uiuivt^llo charge et recommence toujours. Après eombien de \t>\ages aurw^t-i^lle comblé les vallées et nivelé \i\ eludne den Vipes? l.e pivmier écolier, sans consulter TiM^u^uiv \V KwWwwinlw fera le calcul sans erreur. Le des- neu^ de la lounm dejvîisse ses fonn^» s*écrieront des gens xAjî^vx 5 elle luourra i\ la jH^ine* l-ondorcet el Poisson ne sont IV'^x uuM^x Mj^es* ISenv est un imprudent ; il entreprend x^u \lelÀ %le son eiwhU une ojvrïition be;iucoup trop longue; d ^^x^ x^uvM \v^>lAU^ )H^uH;int de ruiner Paul que la fourmi de ÏVawx uu |M\NhK^we |4us \vlohrv^ rt plus pave^ la viehu- UK%uu^ xN'^Ax^.^ dVï\>js^x l 'uusnxÎAî:on. a\^nt îa vaccine, êtaîU v\s«Uv U \ A^\>vx\ W UHxlUHïr jvArC; >juVn ptît pre&dn^: mais ^<^v\v4^ ifc^x Vs^v^t s^^.î ; IXfciv^ï IVirtft«^x:li>^ «v«:'>^r iasptssîMe, svtAv'Uv.;: sA,v\\x^v^î ix xt!^ ïtx^x^^^:^5<. ^»a tr.xtxjbs: aicvroe de LES LOIS DU HASARD. XIII fois, Tapplication qu'on en voulait faire : « Je suppose, dit-il, que la vie moyenne d'un homme de trente ans soit trente autres années et qu'il puisse raisonnablement espérer de vivre encore trente ans en s'abandonna nt à la nature et en ne se faisant pas inoculer. Je suppose ensuite qu'en se soumettant à cette opération la vie moyenne soit de trente- quatre ans. Ne semble-t-il pas que, pour apprécier l'avan- tage de l'inoculation, il ne suffit pas de comparer la vie moyenne de trente-quatre ans à la vie moyenne de trente, mais le risque de i sur 200, auquel on s'expose, de mourir dans un mois, par l'inoculation, à l'avantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de soixante ans? » On argumente mal pour vider de telles questions : sup- posons que l'on puisse, par une opération, accroître la vie moyenne, non plus de quatre, mais de quarante ans, à la condition qu'une mort immédiate menacera le quart des opérés : un quart des vies sacrifié pour doubler les trois autres, le bénéfice est grand. Qui voudra le recueillir? Quel médecin fera l'opération? Qui se chargera, en y invitant 4000 habitants robustes et bien portants d'une même com- mune, de commander pour le lendemain 1000 cercueils? Quel directeur de collège oserait annoncer à 5o mères, qu'empressé à accroître la vie moyenne de ses 200 élèves, il a joué pour eux ce jeu avantageux et que leurs fils sont les perdants ? Les parents les plus sages acceptaient i chance sur 200 ; aucun, sur la foi d'aucun calcul, ne s'exposerait à I chance sur 4« Un jeu, sans blesser la justice, peut causer de grands dommages; il peut être périlleux d'y échanger les chances de perte et de gain, les règles que doivent suivre ceux qui veulent commettre cette imprudence n'en reçoivent aucun changement. XIV PRÉFACE. Un ingénieur calcule la charge capable d'abaisser de o",5o le tablier d'un pont. L'épreuve est inutile, imprudente, dan- gereuse : le poids calculé est-il moins juste ? Il est mauvais de trop charger un pont, mauvais aus$i de jouer trop gros jeu. Cela ne change ni la théorie du jeu ni celle de l'élas- ticité. Revenons au théorème de BernouUi. S'il pleut un jour entier sur la place du Carrousel, tous les pavés seront également mouillés. Sous une forme simplifiée, mais sans en rien retrancher, c'est là le théorème de Ber- nouUi. Il pourrait se faire assurément, lorsque tout alentour la pluie tombe à torrents, qu'un certain pavé restât sec. Aucune goutte n'a pour lui de destination précise, le hasard les disperse, il peut les porter toutes sur les pavés voisins ; personne ne le supposera sérieusement. Telle est la puissance des grands nombres. Le hasard a des caprices, jamais on ne lui vit d'habitudes. Si looo gouttes tombent sur looo pavés, chaque pavé n'aura pas la sienne; s'il en tombe looo millions, chaque pavé recevra son million ou bien peu s'en faudra. Si l'on jette deux dés 36 millions de fois, le double-six, au lieu de i million de fois, pourrait ne se présenter que loo ooo, et peut-être n'ar- river jamais. Une telle exclusion soumise au calcul, d'après notre façon de parler, est déclarée impossible. L'analogie va à l'identité. Considérons en effet, sur la place, pendant la pluie, un carré de o",6 de côté. Parta- geons la base, aussi bien que la hauteur, en 6 parties, portant chacune un numéro d'ordre ; découpons le carré, par des parallèles aux côtés, en 36 cases égales désignées chacune par les deux numéros placés en tête des bandes auxquelles elle appartient ; une case répondra à 6,6 ; une autre à 5,6 ; une troisième à 6,5 ; elles auront mêmes noms i LES LOIS DU HASAUI). XV que les coups possibles avec deux des. Chaque goutte de pluie tombant sur le carré représente un coup de dés. Le hasard, dans les deux épreuves, décide entre les mêmes points. A la fin de la journée, la pluie a également mouillé les 36 cases, les dés ont amené les 36 points également : où est la différence ? « Rien ne manque au rapprochement et le même tempé- rament est nécessaire aux deux assertions trop précises. Il serait fort étrange que les pavés, quoique mouillés éga- lement, n'eussent pas reçu dans le cours d'une journée quelques centaines de gouttes en plus ou en moins ; de même, sur quelques millions de coups de dés, quelques points se montreront sans doute un peu plus, d'autres un peu moins souvent. Les rapports sont certains, non les différences, et c'est malheureusement la différence qui ruine. On joue loo par- ties à un jeu de hasard, l'enjeu est 20*^'' ; il est peu probable, mais possible, que Ton perde 65 parties. La perte de 3o louis représente 3o pour 100 du nombre des parties jouées. Au lieu de 100 parties, on enjoué loooo; une perte de 3o pour 100, c'est-à-dire de 65oo parties, doit être tenue pour impossible. 5 i5o parties perdues supposeront, d'après le calcul, une fortune aussi adverse que 65 sur une série unique de 100 parties; la perte correspondante, 3oo louis, représente 3 pour 100 du nombre des parties jouées. Sur I million de parties, une perte de 3 pour 100 suppo- serait, contre les lois du hasard, un dérèglement qui jamais ne s'est vu; 3 pour 1000 représente une chance défavorable équivalente à celle des deux hypothèses précédentes. Trois parties sur 1000, pour i million de parties, feraient une perte de 3ooo louis ; un jeu égal devient à la longue dange- reux. Non seulement les lois du hasard permettent la ruine B. b \M PRÉFACE. du joueur, elles la prédisent. Tout joueur se ruinera si le lemps ne lui manque pas. Lagrange, Laplace et Ampère Tonl démontré ; leurs raisonnements n'ont corrigé per- sonne, ils intéressent tout le monde. Si deux joueurs jouent sans cesse jusqu'à la ruine de l'un d'eux, le moins riche sera probablement vaincu. Le rapport ihi nombre des parties gagnées ou perdues différera de moins en moins de l'unité, mais la différence augmentera, comme nous Pavons dit; tantôt l'un sera en perte, tantôt l'autre. La dilVéïxMice, petite d'abord, deviendra grande. La perte, dans ses oscillations, frappera chacun des deux joueurs allerna- tivoment ; quand elle dépassera la fortune du perdant, la ruine pour lui sera consommée. Le danger menace surtout, on lo comprend, le moins riche des deux joueurs. L'homme qui joue sans limite et sans cesse accepte tous les adver- siiires, dont Tensemble, sans changer son sort, peut rece- \oir un nom collectif : le public, qui n*est jamais ruiné, ruine les imprudents qui l'attaquent . lout change quand les conditions du jeu sont inégales. Le ntoindiv avantage fait pencher la balance. Pour le joueur que les Ci>nilitiiMis fa\orisent, le gain augmente sans limite. Vu tronte-<^tH|uarante, par exemple, l'avantage du banquier o>t u»\ pou plus do o,('ï pour loo. Si l'on joue loo parties, ou ON aluant à tooo^ la somme des enjeux pour chacune vrollos, ravantagt^ résor>ô au banquier par les règles du jeu ropiWMxto (uH>*^. Los aooidonts du hasiinl produiront un ooart viout la >aloiu* u^ovonue, indiquée par le calcul, est v^vUH»*\ le banquier, sur une sorie do ioi> parties, a donc \hauooN ogalo>, à troN pou près, do |vr\lre ou de gagner. La poito mo\ouuo,o'oNt tout sou avantage* est un peu moindre \|uo U^ j;am n\o\ou Sur i^M^oo parties» ou suppos;int toujours IVnjeu de LES LOIS DU HASARD. XVII looo^*, Tavantage ménagé au banquier par les règles du jeu représente Goooo^''. L'écart moyen, dix fois plus grand seu- lement pour un nombre centuple de parties, est Soooo'^ La perte du banquier sur loooo parties sera donc un évé- nement très ordinaire; mais, en ce cas, la valeur moyenne de la somme perdue sera 20000^"^, tandis que, dans l'hypo- thèse plus vraisemblable du gain, la valeur moyenne est 140000*^^. vSur I million de parties, le bénéfice régulier, équivalent à l'avantage réservé au banquier, serait 6 millions ; l'écart moyen en plus ou en moins, 800000''' seulement; s'il gagne moins de 5 millions, le banquier a eu du malheur ; un gain inférieur à 4 millions serait très invraisemblable, et il y a plus de 10 000 à parier contre i que son gain ne s'abaissera pas au-dessous de 2 millions. La loi de BernouUi, quand elle est mise en défaut, révèle une cause perturbatrice du hasard. Tels se montrent souvent les résultats du suffrai?e uni- versel. Supposons lo millions d'électeurs. Attribuons 6 mil- lions de votes à un parti, celui de la majorité, 4 millions seulement à la minorité. On forme 1000 collèges de loooo électeurs chacun : tout candidat qui réunira plus de 5ooo suffrages sera élu. L'opinion approuvée par les quatre dixièmes des votants serait représentée proportionnellement par 400 députés sur 1 000. Les lois du hasard ne lui accordent rien. Sur 1000 représentants, pas un seul pour elle. Le cal- cul réduit à zéro, pour ainsi dire, la vraisemblance de toute autre hypothèse. Supposons, pour donner une idée des chiffres, que, saisissant l'occasion pour tenter la chance, un joueur s'engage, dans les conditions électorales supposées, à payer autant de millions qu'il se trouvera de députés de la minorité vainqueurs dans la lutte. On ne pourrait pas, en XVIII PRÉFACE. échange de ses promesses, c'est la réponse rigoureuse, sinon acceptable, du calcul, lui offrir équitablement plus d'utt centime. Ce centime pourrait lui coûter cher. Les minorités, même beaucoup moindres, obtiennent quelques représentants. Les électeurs n'étant pas associés par le sort, les influences lo- cales triomphent des lois du hasard. C'est avec grande dé- fiance qu'il faut, sur les traces de Condorcet, éclairer les Sciences morales et politiques par le /lambeau de T Algèbre. Les étoiles, sur la voûte céleste, semblent semées sans ordre et sans loi ; 3ooo environ, pour qui a la vue bonne, brillent au-dessus de notre horizon. Ptolémée, dans son Catalogue, n'en inscrivait que 1020. Un astronome dont le nom est resté obscur sans injustice, l'archevêque Mitchell, a fait d'une idée ingénieuse et juste une application trop hardie. Si le hasard distribuait sur la voûte du ciel 3ooo points brillants; quelle serait la distance moyenne de chacun d'eux à son voisin le plus proche? Le problème est intéres- sant ; Mitchell ne le résout pas ; mais, remarquant dans la constellation du Dragon deux étoiles situées à 3' l'une de l'autre, il trouve que contre un tel rapprochement on pourrait, a priori, parier 80 contre i ; dirigeant ensuite ses calculs sur le groupe des Pléiades, Mitchell conclut à viiooooo chances contre i pour qu'une cause, en dehors du hasanl, ait rapproché les six étoiles. En proposant la mesure précise d'assertions aussi vagues, on peut compromettre la Science. Si Mitchell, soupçonnant entre les étoiles un lien mécanique, avait tiré avantage de leur rappi'ochement singulier, s'il avait déclaré >Taisem- blable. très vniisemblable, presque certain, qu'une cause piirticulière a troublé pour elles les lois générales, il serait sans reproche, mais la précision du chiffre ^^^^^ ne peut LES LOIS DU HASARD. XIX trouver d'approbateurs. Les appréciations sans chiffres n'en- gagent à rien, un chiffre engage la Science, et c'est sans aucun droit. L'application du calcul aux questions de ce genre est une illusion et un abus. « Les motifs de croire que, sur lo millions de boules blanches mêlées à i noire, ce ne sera pas la noire que je tirerai du premier coup est de même nature, a écrit Con- dorcet, que le motif de croire que le Soleil ne manquera pas de se lever demain. » L'assimilation n'est pas permise : l'une des probabilités est objective, l'autre subjective. La proba- bilité de tirer la boule noire du premier coup est ^ooo^uooo * ni plus ni moins. Quiconque l'évalue autrement se trompe. La probabilité pour que le Soleil se lève varie d'un esprit à l'autre. Un philosophe peut, sans être fou, annoncer sur la foi d'une fausse science que le Soleil va bientôt s'éteindre ; il est dans son droit comme Condorcct dans le sien ; tous deux l'excéderaient en accusant d'erreur ceux qui pensent autrement. L'assimilation à une^urne est le procédé de dé- monstration. Une urne contient des boules blanches, peut- être aussi des noires; on y fait i million de tirages, tous don- nent des boules blanches ; quelle est la probabilité pour qu'un nouveau tirage amène une noire ? Le calcul répond : 7^7^^;^. « On a vu, conclut Condorcet, i million de fois le Soleil se lever du côté de l'orient, quelle est la probabilité pour qu'il manque demain ? La question n'est-elle pas la même? » Elle est différente. L'urne, dans le premier cas, est invariable ; qui peut, dans le second, savoir le train des choses? Paul, sur la foi de Condorcet, veut parier que le Soleil se lèvera demain. La théorie fixera les enjeux. Paul recevra i^*" si le Soleil se lève et donnera i million s'il fait défaut. Pierre accepte le pari. Au lever de chaque aurore, il perd i*^*^ et le XX PREFACE. paye. La chance pour lui diminue chaque jour, puisque le Soleil compte un lever de plus. Paul consciencieusement augmente son enjeu ; consciencieusement aussi, Pierre con- tinue à lui payer i^'^. Les conventions demeurent équitables. Les parieurs voyagent, on parcourt vingt contrées, de l'occident à l'orient, Pierre perd toujours; il poursuit sa chance cependant, conduit Paul vers le nord ; on fran- chit le cercle polaire ; le Soleil reste un mois au-dessous de l'horizon ; Paul perd 3o millions, croit l'ordre de nature perverti et soupçonne que l'urne est changée. Tarquin l'ancien, rebelle aux prétentions de l'augure Accius Naevius, osa, dit-on, le mettre au défi. Ce que je pense est-il possible? demanda le roi. L'augure accepta l'épreuve. « Tu peux donc couper cette pierre ? » Nîevius prit un rasoir et coupa le caillou. Avec une très louable im- partialité, Condorcet a cherché la chance de vérité. Le point de départ de son calcul est le nombre des cailloux que, de- puis l'invention des rasoirs, on n'a pas réussi à couper, et, sans répondre du détail des chiffres, il évalue à ^qq*qp^^ la probabilité de Tanecdote. Il est un peu naïf. Un caillou que l'on coupe comme un radis est un caillou miraculeux ou un faux caillou. La saine philosophie dont il se vante repousse tout miracle ; l'accord fait sous main entre Naevius et le roi sauverait la vraisemblance. Pour résoudre le problème, au lieu de compter des cailloux, il faut comparer, si on le con- naît, le nombre des princes capables d'imposture à celui des augures complaisants et des historiens sans critique. Le hasard, à tout jeu, corrige ses caprices. Les irrégula- rités même ont leur loi. Supposons qu'à un jeu de pur hasard une série de parties ait été jouée. Précisons, pour plus de clarté : le jeu est pile ou face; la série de loo parties. Pour chacune, on marque LES LOIS nu HASAllD. XXI la différence enlre le nombre des gains et le nombre normal 5o. Si Ton a gagne 44 ou 56 fois, on marque 6 dans les deux cas. Chaque série, de cette manière, se trouve caractérisée par un nombre que nous appellerons V écart ; supposons ob- tenus I million d'écarts. Le hasard décide leur grandeur, comme si Ton puisait i million de fois dans un sac contenant des boules de loto. La différence est grande cependant : tandis que toutes les boules sortiront également, ou peu s'en faut, les petits écarts seront les plus nombreux. Chacun se présentera, à la longue, un nombre de fois proportionnel à la probabilité que Ton peut calculer; la régularité des ré- sultats peut recevoir une forme apparente et visible. Mar- quez sur une ligne droite, à distances égales et petites, les chiffres o, r, 2, 3, ... représentant les écarts possibles. Par chacun de ces points élevons une hauteur égale au nombre de fois que l'écart s'est produit ; les extrémités de ces lignes feront paraître une courbe, toujours de même forme ; le sommet correspond au point o ; l'abaissement, à partir de ce point, très lent d'abord, s'accroît suivant une loi prévue par le calcul. Si quelques irrégularités déparent le dessin, doublez, décuplez le nombre des épreuves, l'exac- titude des prédictions est à peine croyable. Les grands nombres régularisent tout. La moyenne de tous les écarts peut être prédite avec confiance : elle sera 4 si la série est de loo épreuves, [\o si elle est de loooo. La même certitude s'attache ii la moyenne des carrés des écarts, à celle de leurs cubes, de leur quatrième puissance. Pour des séries de loo, par exemple, la moyenne des carrés est 25. Ces prédictions sont sûres. N'est-ce pas, pour ainsi parler, miracle de voir un hasard aveugle dicter des résul- tats exactement prévus ? Aidée de ces théorèmes singuliers, la dextérité des géo- WIl PREFACE. nièlres a su, chose merveilleuse, rencontrer sur ces voies (lêlournêes une solution de la quadrature du cercle. Si, dans une série d'épreuves suffisamment nombreuses, on divise la moyenne de^ carrés des écarts par le carré de la moyenne, le quotient est, à très peu près, la moitié de la surface du cercle de rayon unité. Avec de la patience, le succès est certain. Beaucoup de joueurs, préoccupés de cette régularité néces- saire dans les moyennes, cherchent, dans les coups qui pré- cèdent celui qu'ils vont jouer, une indication et un conseil. O n'est |>as bien entendre les principes. La Science, à ces chimères, ne reste pas sans réponse. La décision du bon sens suffit, elle est nette et claire : à quoi bon la traduire en Alîîèbre? Le préjugé est opiniâtre. Les géomètres perdraient à le combattre leur temps et leurs formules. L*illusion repose sur un sophisme : on allègue la loi de Hernoulli comme certaine ; elle n'est que probable. Sur •jooiH> épreuves, dit-on, à la roulette, la noire ne peut pas sortir plus de io5oo fois, l'assertion de la Science est for- melle. Si les loooo premières parties ont donné 6000 noires, les 10 iH>o suivantes ont donc contracté une dette envers la rouge. On fait trop d'honneur à la roulette : elle n'a ni conscience ni mémoire. En sup]>osant qu'à une rencontre inouïe succéilera, |H>ur la réparer, un nouvel écart de la iViile, «m n'elïace jvis Tinvraisemblance, on la redouble. Ijx certitude dos lois de Bernoullî est celle d'un chasseur tK\^adriMt. qui, connaiss;iut son arme, est certain d'abattre imo bote fènve à dix |vis. l^\ bête se présente, il la manque ; en la \ovant, furieuse, se ruer et rass;iillâr, doit-il rester unjvissîble, conliant dans Ki certitude de Tavoir tuée ? LES LOIS DU HASARD. XXIII II. Le hasard, sans choisir, régularise tout; la raison en est que, si toutes les combinaisons, dont le nombre est immense, étaient présentes matériellement, les moins nombreuses de- viendraient introuvables. Le hasard reste libre, mais la carte est forcée. Appliquée aux dés, aux cartes, au jeu de rouge et de noire, aux numéros pairs ou impairs, à pile ou face, la théorie des chances est indiscutable : rien n'y altère la ri- gueur des preuves ; l'Algèbre exécute plus rapidement les dénombrements qu'avec de la patience et du temps on pour- rait faire sur ses doigts. Tous les arrangements sont égale- ment possibles ; que les plus nombreux se présentent, il n'y a pas de sujet d'étonnement. La Physique, l'Astronomie, les phénomènes sociaux, sem- blent, dans plus d'un cas, régis par le hasard. Peut-on com- parer la pluie ou le beau temps, l'apparition ou l'absence des étoiles filantes, la santé ou la maladie, la vie ou la mort, le crime ou l'innocence à des boules blanches ou noires tirées d'une même urne? Le même désordre apparaît dans les détails, cache-t-il la même uniformité dans les moyennes? Retrouvera-t-on dans les écarts les traits connus et la phy- sionomie des effets du hasard ? Tout événement qui alterne avec son contraire est com- parable aux boules blanches ou noires puisées dans un sac; le sac est-il toujours le même? est-il ouvert? Une force intelligente, se proposant une fin, intervient-elle dans une mesure petite ou grande pour corriger les caprices du sort? Le raisonnement ne peut devancer l'expérience ; les obser- vations, soigneusement discutées, condamnent, en même XXIV PRKFACE. temps que les sceptiques rebelles à tout rapprochement, les esprits absolus qui prétendent tout soumettre au calcul. L'empreinte du hasard est marquée, très curieusement quelquefois, dans les nombres déduits des lois les plus précises. Lne Table de logarithmes en témoigne. Pour loooo nombres successifs, dans les Tables à lo décimales de Véga, je prends la septième figure du logarithme : rien dans ce choix n'est laissé au hasard. L'Algèbre gouverne tout, une loi inflexible enchaîne tous les chiffres. Si Ton compte ce- pendant les résultats, on aura, à très peu près, sur lOOOO, looo fois le chiffre o, looofoisle chiffre i et ainsi des autres; la formule se conforme aux lois du hasard. Vérification faite, sur loooo logarithmes, le septième chiffre s'est trouvé 990 fois égal à o; 997 fois à i ; 993 fois à 2; ioi2foisà4- En partageant les 10 000 nombres en dix séries et prenant pour chacune les moyennes des écarts, j'entends la différence entre le nombre des apparitions de l'un des chiffres et le nombre normal 100, et les comparant à la moyenne du carré des écarts, le rapport des nombres, qui, d'après les lois du hasard, devrait être 1,^70796, moitié du nombre que les géomètres désignent habituellement par la lettre i:, se trouve égal à i,56i ; le même calcul fait à l'aide du chiffre i donne 1,598, et la moyenne de ces deux résultats est 1,579. Les trois premiers chiffres sont exacts. La marque du hasard semble visible. Pouvait-on cepen- dant le mieux tenir à l'écart ? Nos lois expriment une pro- priété commune aux combinaisons les plus nombreuses ; elles se vérifient quand on ne choisit pas, il ne suffit pas de choisir pour s'y soustraire. Le partage des naissances entre les deux sexes a été étudié sur plus de 200 millions d'enfants. Depuis près de deux siècles, le nombre des garçons a dépassé celui des LES LOIS DU HASARD. XXV filles; aucun pays ne fait exception ni aucune époque. Le rapport varie peu : le nombre des garçons, pour loo filles, est compris, pour un grand nombre de naissances, entre io4 et io8. On s'est demandé si cette supériorité observée chez toutes les races, dans les villes comme à la campagne, au midi comme au nord, chez les plus pauvres comme chez les plus riches, est une loi de Thumanité ou un accident for- tuit. A notre époque et pour notre état social, l'évidence est complète ; ni les calculs ne sont nécessaires ni les raisonne- ments. Ils le sont pour un second problème. Les variations observées d'une année à l'autre pour un même pays, d'une province à l'autre pour une même année, sont-elles assimi- lables aux résultats capricieux du hasard? Peut-on voir dans la constance approchée du rapport un témoignage suffisant de la loyauté du jeu? Je précise la question : une urne, toujours la môme, contient des boules noires et blanches; on y puise une boule au moment de chaque naissance. Pourrait-on sans invraisemblance représenter par le nombre de boules de chaque couleur la proportion variable des nais- sances? Le nombre des noires, bien entendu, l'emporte sur celui des blanches dans la proportion qui convient au succès. Les écarts de la moyenne produits par le hasard sur i mil- lion d'épreuves, pour un événement dont la probabilité diffère peu de ^, ont pour valeur moyenne 4o^^- De plus grands écarts sont possibles assurément, mais leur proba- bilité diminue rapidement. On peut parier looo contre i pour un écart moindre que 1600. La probabilité d'un écart supérieur à 2000 est «gouocoo - Telles sont les indications du calcul. 2000 naissances masculines en plus sur i million accroi- IrMJiMil «In iiioiiiN iTiiri mili^mc le rapport du nombre de l^iirroiih /i roliii (li*K (illoH. Los rapports extrêmes fournis par lit SlMliï*li(|ii«^, i,o/| r\ i,oH, (lilTcrcnt trop Tun de l'autre pniir piM'ninlIro rasHiinilalion pure et simple aux effets du luihanl. \*v*% t'oinlilions no piMivont donc ôtre, en tout temps ol 011 Iniil pavH, id(M)(i(pHMUont les mornes, mais la variation o»i| polilo, Pondant Taunt^o 18*17, le nombre des garçons hi^H h Parin ohI dosoondu i\ loo^/j pour 10 000 filles. Dans lo>i hananU d'un tiraj;o an sort tlont les conditions seraient uuaviablo>i« nur un niMubiH^ d'ôpi^enves égal à celui des UiùvnanooH aunuoUos i\ l\u*is» on pourrait jxirier plus de I nulluM^ \'\M^Uv I \prnno toUo anomalie ne se produira pas. ^^^vo xV^t-d |Msso on i8.'^^? i^n doit s'attendre à T ignorer lvH\i\HU'N. lViu>i plusunuN do|Mrtements» depuis le commen- V ouumU \lu xuvU\ le nvnnbiv des naiscsiinces annuelles des IdUw s* xurjMxw^ o\vvpttv>uneUemout celui de> garçons. L'ano- umUc v^ uu^mx d iu>jKnH;itu*t^ i.juv'^ Tcwtrt v>bc>en>e à Paris, elle \0 Vx4|.^Kvrres de touques et patientes re- shv^vhcx, v(u v>n .tiî; vi i.h;hi vie dv.vufneul:s pour s éclairer. l si^o vJcv LMî vats oue^ >^iun Joute ua irnnd K4e. Cette c\*àv\Uîoa >x.aïbie *a tiCMtcutv. N ou ue l accepte |u avec vkHàic, s. CNf s^uo» uia>».(uce i.Mr *c iîasard. l* uriueuce reste ♦uai c\Kiaac. -u;e 'tK>%eti Ju :.v<*e ec :eiui Je a aien? vaHeat :>vH4 Jaiiv un ucuK" :ja^N» La >ur*auou io -i;;e> ieut ^eiHia- iaui o\>\K{iK"4 . en jaitîc ut nv^ius* e^ juu«iaiie> ifaser^ ^ «.c>* v.Uui> uiiN Ma&ii :i ;*ie*x aoa> ,iaii> e> Tî*Feis. rtjuiîiev 'es- \i ^vutuîittuit^ iu .\'*x*e ic'iuùc ipiL»i>>5L:uiaïi\e!iH:'»iC hi 40itu.Hc lo- laixsiiic-:'*- te ai>^e iuv«v ^uo>;>îir iH>ntinueI progrès: les évaluations, tantôt trop |HMites, tantôt trt^p grandes, se succèdent en confusion et sans i^rtlre tn^mme îles l>oules blanches ou noires puisées dans une urne, UosseK apivs un siècle tHX>ulô, comparait les observa- lioustio Uradievaux résultats connus d\me théorie devenue wrtaiuo, Kn classant les dilVerenoes. dont le désordre est ciMuplet* \\ trtnna, sur i^o observations. 91 erreurs infé- neuivs à /^ de stxHuule, 88 innuprises entre -'- et ^. puis, sm\vsvM\emout, outre ,'^ H ^\^ entre ^ et -\ jus- \ju'À I \ Kl plus grande des erreurs ^x^mmises par Bradlev, U\> uombr<\s dtvixussjiuts ^8, ,>8, ju .H>» a6* 14. lo, 7 et 8. Si U\^ plus j^its sont les plus nombreux, l'honneur uVu r^^xieut m à w ^^rjiud obsor\;jiteur Rradlev^ ni aux ^XMisti'iKHeur^ d^>s uistrtuiH'uts de l«reen^ich: leur excci- LES LOIS DU HASARD. XXXIII lence fait la petitesse, non la loi des erreurs; un instrument médiocre, un observateur moins soigneux, remplaceraient les dixièmes de seconde par des secondes, les secondes peut-être par des minutes; à cela près tout resterait pareil. La courbe des erreurs en s'élevant conserverait la même forme. L'origine des erreurs est très diverse. Les unes sont for- tuites, Tenchaînement en est infini; c'est tantôt l'air agité par le vent, tantôt un ébranlement du sol, un nuage qui passe, un rayon de soleil qui trouble l'observateur, tantôt une attention précipitée ou distraite; le hasard décide, mille causes imprévues se réunissent, ajoutent quelquefois leurs effets, quelquefois les retranchent, suspendent ou repren- nent leur action : tout est incertain, tout change, sans incli- nation dans aucun sens. Il n'en va pas ainsi des causes permanentes; c'est une balance mal construite, les fils d'une lunette mal placés, un mètre trop court, un chronomètre trop rapide. Les mesures prises sous de telles influences n'entourent plus la valeur exacte, mais une autre, souvent fort différente; une nouvelle série de mesures, sous l'influence permanente des mêmes causes, se groupera autour de la même moyenne. Tout observ'ateur soigneux étudie les erreurs constantes et les corrige sans retrancher la cause; rien ne trompe moins qu'une balance trompeuse. Qu'importe que les bras soient inégaux, pourvu qu'on le sache? Qu'un gramme ait 999 mil- ligrammes, un décimètre 99 millimètres, l'observation ré- duite conserve toute sa valeur. Toute mesure est comparable à un jeu; les erreurs possibles en plus ou en moins sont les chances de gain ou de perte; les erreurs constantes chan- gent les règles du jeu, les erreurs fortuites laissent le jeu équitable. \XX1V PRÉFACE. La loi que doivent suivre, d'après une ingénieuse théorie, et que suivent à très peu près, quand elles sont nombreuses, les erreurs corrigées de toute inclination fixe, a été propo- sée par Gauss. L'histoire en est singulière. En proposant en i8o() une hypothèse sur la théorie des erreurs, l'illustre auteur ne prétendait nullement établir la vérité, mais la chercher. Laplace, par une voie différente, sans beaucoup de rigueur à son tour, avait obtenu la même formule qui, très voisine souvent de la vérité, pourrait s'en éloigner sans démentir la Science. Le principe de Gauss est fort simple : quand une gran- deur a été mesurée plusieurs lois, les erreurs constantes étant écartées (la précaution est nécessaire), entre plusieurs résultats également dignes de confiance, la moyenne est, en l'absence de tout autre renseignement, la valeur la plus pro- bable. Les conséquences de cet axiome sont belles et impré- vues, mais incertaines; Gauss en convient volontiers. Le rapprochement des observations peut affaiblir la confiance en quelques-unes d'elles. Si quatre pesées successives ont donné 2o"»«% puis 27™»% 2G'°s' et 28"^% on se décidera sans doute, quelles que soient les circonstances, à écarter la pre- mière mesure pour adopter la moyenne des suivantes. Quoi qu'il en soit, Gauss, sur ce fondement, établit ingénieuse- ment une formule que Texpérience confirme. Le hasard, quand les épreuves sont nombreuses, amenant chaque évé- nement en raison de sa probabilité, il suffit, pour juger la formule, de faire mesurer un grand nombre de fois une grandeur que Ton connaît très exactement à l'avance. La probabilité des erreurs suit, d'après la formule, préci- sément la loi des écarts dans les épreuves répétées. La ren- contre n'est pas fortuite, Laplace l'a expliquée. Les erreurs constantes étant écartées, les accidents fortuits troublent LES LOIS DU iriSARD. \\\V seuls chaque épreuve, ils sont analogues aux tirages faits dans une urne. Laplace développe ce rapprochement, le rend précis, transforme le problème, et retrouve la formule de Gauss. Cette admirable et très simple formule s'étend à toutes les grandeurs, s'applique à tous les instruments, régit toutes les observations et embrasse tous les procédés de mesure; les différences, d'un cas à l'autre, si grandes qu'elles puissent être, se résument dans un nombre caractéristique représen- tant la précision, V erreur probable, le poids de V observation ; peu importe le nom, un seul nombre connu permet de cal- culer toutes les chances et de prédire, sur un grand nombre d'épreuves, la distribution certaine des écarts. Si l'on caractérise une série de mesures par l'errewr/ïro- bable qu'd y a chance d'atteindre ou de ne pas atteindre, en prenant cette erreur pour unité, la probabilité d'une erreur double diffère peu de 7;^, celle d'une erreur quintuple s'abaisse à j^; pour une erreur dix fois plus grande que l'erreur probable, le nombre donné par la formule vaut une déclaration d'impossibilité. L'instrument, il ne faut pas l'oublier, est, aussi bien que l'observateur, supposé sans défaut; on n'accepte en lui que des défaillances, des accidents fortuits qu'aucune cause con- stante n'incline dans aucun sens. Les épreuves du tir, soit au canon, soit à la carabine, mettent en évidence les effets du hasard; les erreurs for- tuites ont pour origine, outre le coup d'œil plus ou moins juste et les distractions du pointeur, le poids variable du projectile, les inégalités de sa structure, le tassement irré- gulier de la poudre, les courants, les vibrations, l'humidité des couches d'air traversées; c'est pour cela que, sans chan- ger en rien les conditions du tir, on voit les coups s'écarter X\\\ I PRKF'CE. les uns des autres, en se groupant autour d'un point central, autour du but lui-même, si les erreurs constantes sont écartées. Un savant professeur, M. Jauffret, a défini, par une image fort nette, les lois de distribution des coups, identiques, d'après le théorème de BernouUi, à celles des probabilités. Si, visant pendant un long temps un même but placé sur le sol, on arrête chaque boulet au point même de sa chute, l'amas des projectiles présentera l'aspect d'une cloche dont la base circulaire aurait le but pour centre; un tireur plus adroit rétrécirait la cloche et la rendrait plus haute; une moindre précision donnerait naissance à un solide moins élevé, s'abaissant plus lentement vers le sol. N'est-il pas merveilleux et presque incroyable qu'on puisse, par le raisonnement seul, prédire ainsi la disposition des boulets sans connaître l'adresse du pointeur ni demander la précision de l'arme? Les formules, a dit Poinsot, ne donnent que ce qu'on y a mis. Aucun raisonnement ne fait davantage; le dernier an- neau d'une chaîne de déductions est, pour qui sait l'y voir, tout entier dans le§ hvpothèses. Nous avons expressément supposé, il ne faut pas l'oublier, qu'il n'existe dans l'arme ni dans la maladresse du pointeur aucune cause d'erreur constante: il n'y a donc pas plus de chance, c'est l'hypo- thèse morne, de tirer à droite plutôt qu'à gauche, trop près plutôt que trop loin. Faut-il s'étonner que le but se trouve au centre des divers points atteints dans une longue série d'ôp^euve^? Si plus de la moitié se trouvait à droite, on en conclurait qu'une cause les y porte, et ce serait une erreur constante. l'n doute peut s'élever encore. Les erreurs constantes sont celles que l'on peut corriger, la maladresse est une LES LOIS DU HASARD. XXXVII cause fortuite, un tireur maladroit atteint bien rarement le but; au lieu de le cacher sous le sommet d*un dôme de pro- jectiles, ne le laisserait-il pas au centre d'un grand vide? Diogène pensait ainsi : « Un jour, voulant s*esbattre, il vi- sita les archers qui tiroient à la butte; entre iceux, un étoit tant fautier, impérit et maladroit, que lorsqu'il estoit en ranc de tirer, tout le peuple spectateur s'escartoit de peur d'être par lui féru. Diogènes l'avoit un coup vu si perversement tirer, que la flesche tomba plus d'un trabut loin de la butte; au second coup, le peuple, loin de côté et d'autre, s'escar- tant, il accourut et se tint en pied, jouxte le blanc, affirmant cetuy lieu être le plus sur et que l'archer fériroit tout autre lieu, le blanc seul être en seureté detraict. » La plaisanterie fit rire. Il n'aurait pas fallu recommencer souvent; les gouttes d'eau, guidées par le hasard, n'épargnent à la longue aucun pavé. Pourquoi les projectiles, non moins nombreux, c'est Thypothèse, éviteraient-ils le point vers lequel, adroi- tement ou non, 9n s'étudie à les diriger tous ? Dans la formule de probabilité des erreurs, la rigueur, nous l'avons avoué, n'a pas été mise; l'axiome supposé est loin d'être évident; les conséquences sont comme lui discutables. Dans les concours de tir à la carabine,' chaque tireur ayant droit à un certain nombre de balles, on décide du mérite de chacun par la distance moyenne de ses balles au but. La théorie consultée prescrirait une autre règle : la plus petite moyenne du carré des écarts caractérise mieux le plus adroit. I^ décision, je crois, a été prise pour l'armée belge. Le changement est de petite conséquence, et sur un grand nombre d'épreuves toutes les méthodes s'accorderaient; toutes deux, la seconde surtout, traitent trop sévèrement le tireur, si adroit qu'il se soit montré, dont un coup s'est égaré des autres. Supposons, pour donner des chiffres simples. XXXVIII rUKFACE. qu'un tireur ayant placé neuf balles à la distance moyenne i du l)ut, la dixième s'en écarte à la distance lo. D'après la pre- mière règle, la moyenne générale étant i,c), il sera préféré à celui dont toutes les balles seraient à la distance 2; cela paraît juste. La seconde règle, celle qui s'appuie sur la loi de probabilité des écarts, placerait avant lui le tireur dont toutes les balles seraient à la distance 3. Peut-être vaudrait-il mieux, sans tant raffiner, s'en tenir à la vieille méthode, qui réserve le prix à qui le plus souvent touche la mouche, sans rechercher l'écart des balles moins heureuses. La formule de Gauss déclare, pour ainsi parler, certains cas impossibles. N'invite-t-elle pas par là, quand ils se pré- sentent, à se défier un peu d'elle? Les cas exceptionnels échappent à toute règle. Le bon sens ne perd jamais ses droits : opposer à l'évidence une formule démontrée, c'est à peu près comme si, pour refuser à un homme le droit de vivre, on alléguait devant lui un acte de décès authentique. La moyenne d'un grand nombre de mesures, quand 011 écarte les erreurs constantes, est une mesure plus précise que celles qui l'ont fournie; l'erreur probable est diminuée, et la précision augmente comme la racine carrée du nombre des épreuves. Fourier connaissait ou soupçonnait cette règle : pour prendre la hauteur de la pyramide de Chéops, il fit simple- ment mesurer par des soldats les 2o3 marches de ce gigan- tesque escalier, a Vos hommes manquent d'habitude, disait- on; les surfaces sont irrégulières, les arêtes inclinées; aucune précision n'est possible, et l'erreur commise sur chaque marche sera multipliée par 2o3. — Elle le sera par i4 seulement, répondit-il résolument, car \l\ est la racine car- rée de 2o3. » La comparaison avec une mesure plus exacte aurait pu le contredire; on ne la fit pas. LES LOIS nr HASARD. WXIX Entre les grandeurs inconnues enchaînées par les for- mules, la Science, dans chaque problème, choisit pour la déterminer directement la plus accessible aux mesures. Pour peser Tobclisque, il n'existe pas de balance; une chaîne d'arpenteur donnerait très lentement et très mal la distance de Paris à Rome. La théorie fournit des équations, on les accepte toutes, chacune est irréprochable, l'Algèbre dégage les inconnues; les chiffres malheureusement se contredisent toujours. Que doit-on faire? Entre des mesures discordantes, on prend la moyenne; pour des équations, ce mot n'a pas de sens; à chacune, cependant, il faut un rôle; la méthode des moindres carrés enseigne et prescrit la meilleure com- binaison. Cette méthode, inventée par Gauss, proposée pour la première fois par Legendre, a procuré plus d'une déception. La masse de Jupiter, déduite par Newton de l'étude des satellites, corrigée peu à peu par les progrès des observa- teurs, calculée de nouveau par Bouvard à l'aide des pertur- bations de Saturne, semblait fixée à j^ ^^ celle du Soleil. Les principes du calcul des chances permettaient de parier, suivant Laplace, 999808 contre 1 que l'erreur n'est pas la centième partie de la valeur trouvée. Quelle ostentation de consciencieux savoir! C'est 999308*^'", ni plus ni moins, que Ton peut risquer contre i^*". On aurait eu tort de risquer dix sous; on les aurait perdus; les perturbations de Junon l'ont prouvé. Sans contester ce témoignage irréprochable de la petite planète. Poisson maintenait les principes. « Les calculs de Laplace, dit-il, ont donné, avec une précision voisine de la certitude, une masse plus petite qu'elle n'est réellement. Cela ne provient d'aucune inexactitude dans les formules dont il a fait usage ; il y a lieu de croire que la masse de Jupiter, un peu trop petite, résulte de quelques termes fautifs dans l'expression \L VUKFACF. des perturbations. » Poinsot, son spirituel adversaire, pour transformer l'apologie en épigramme, ne change rien au trait que Taccent : « Apres avoir calculé la probabilité d'uue erreur, il faudrait calculer la probabilité d'une erreur dans le calcul. » Peut-on, par des combinaisons habiles, s'assurer sur les résultats d'observations imparfaites, puisées à des sources douteuses? On le peut, répond la théorie, pourvu qu'on n'ait pas à craindre d'erreurs constantes. Le calcul échouera, ré- pond le bon sens. Les deux réponses sont d'accord. Lorsqu'en 1761, après soixante-dix années d'attente, les astronomes de tous les pays distribuèrent sur la portion du globe désignée par Ilalley plus de cent observateurs du passage de Vénus, — la crainte du mauvais temps et l'émula- tion du zèle pour la Science en accrurent ainsi le nombre, — on croyait la méthode infaillible, et deux observateurs soi- gneux, Halley l'avait prouvé, pouvaient sans aucun associé donner la parallaxe exacte au centième de seconde. 60 ob- servations, au lieu de 2, faisaient espérer par leurs combi- naisons 1770 déterminations identiques. La déception fut grande; les résultats variaient entre 7" et 11". En combinant 1 5 observations européennes avec celle du Cap de Bonne- Espérance, Short trouva une moyenne de 8"^, 47. L'obser- vation de Tobolsk, combinée avec i5 autres, donnait ()'',5G; en en supprimant /|, il restait 8",G9. Ces 4 ^^' servations, 2 de Stockholm et 2 de Tornéa, comparées à celle de Tobolsk, auraient donné plus de 11*'. L'opéra- lion était à refaire. Rien ne fut épargné en 1769; le succès fnl pareil. En combinant les observations sans règle et sans méthode, les calculateui^s du xvui* siècle n'en purent mon- tiTr que Tincertitude. Encke, en 1822, voulut reprendre dans leur ensemble les résultats des deux expéditions, et, LES LOIS DU HASARD. XL! par un prodigieux travail, appliquant dans toutes ses pres- criptions la méthode des moindres carrés, il obtint 8^,5776. L'erreur probable était o",o37o. Cette expression d'erreur probable exige une explication : Terreur probable est celle qu'il y a chance égale d'atteindre ou de ne pas atteindre ; de celle-là, nous l'avons dit, on déduit toutes les autres. Contre une erreur huit fois plus grande il n'y a pas, dit la théorie, i chance sur i million. C'est justement celle-là qui s'est produite. La parallaxe, aujourd'hui bien connue, surpasse le résultat d'Encke de huit fois son erreur probable. Tous ces calculs devaient étro stériles, rien ne garantissait contre les causes constantes, et le nombre des observations douteuses n'était pas assez grand pour assurer une compensation. I\. Tout semblait débattu sur les universaux, et tout oublié. M. Quetelet, sans réveiller ce vieux problème, a cru scrien- sement le résoudre, et, dans un livre riche de faits judicieu- sement recueillis, a voulu définir et préciser le mot homme indépendamment des hommes particuliers considérés comme accidents. Sans discussions ni subtilités, le patient auteur attribue à son type, par définition, la moyenne de chaque élément variable d'un homme à l'autre. En relevant, par exemple, les tailles de 20000 soldats, on a trouvé pour moyenne i'°,75 ; telle est la taille de l'homme moyen ; au- tour d'elle, dans la série des mesures, se groupent les tailles plus grandes ou plus petites, exactement graduées suivant la loi des écarts. Rien ne distingue les tailles des conscrits des mesures qu'un observateur très maladroit aurait prises 20000 fois de suite sur un même homme de i'°,75, avec \LII rUKFAr.R. (les instruments bien grossiers, il faut le supposer, mais cor- rigés de toute erreur constante. M. Quetelet, dans ce rapprochement, voit une identité; nos tailles inégales sont pour lui le résultat des mesures très mal prises par la nature sur un modèle immuable, qui, seul, révèle tout son savoir. i™,75 est la taille normale; pour avoir un peu plus, on n'en est pas moins homme, mais ce qui manque ou dépasse pour chacun est erreur de nature el monstruosité. Abailard, si habile à raisonner des choses, aurait réduit l'argument en forme, mais on ne remue plus de telles sub- tilités. M. Quetelet, sur ce vieux champ de bataille des écoles, n'a rencontré ni défenseurs ni adversaires. La thèse a cependant plus d'un inconvénient. L'homme idéal, dit-on, représente en toute chose la moyenne de l'hu- manité. Cela parait très simple et très clair, mais ces détails, définis par règle et par compas, comment s'ajustent-ils? La hauteur de la tête, par exemple, pourra, pour l'homme moyen, se calculer par deux méthodes : on peut prendre la moyenne des longueurs, ou, pour chaque individu, le rap- port de la tête à la hauteur du corps, puis la moyenne de ces rapports. Les résultats sont différents : comment les accorder ? Grave difficulté et inévitable écueil! Pour le montrer avec évidence, cherchons entre deux sphères la sphère moyenne; l'une a pour rayon i ; nous choisirons les unités de manière à représenter également la surface et le volume par i . La seconde sphère a, je suppose, pour rayon 3, pour surface 9 et pour volume 27 ; ces chiffres sont forcés. Les moyennes 2, 5 et i4 sont incompatibles ; une sphère de rayon 2 aurait pour surface 4 et pour volume 8 très exactement ; aucune concession n'est possible, nulle sphère n'est difforme. Vn LKS LOIS DU HVSARD. XLlll homme malheureusement peut l'être, et M. Queteleten pro- fite ; en associant le poids moyen de 20 000 conscrits à leur hauteur moyenne, on fera Thomme type ridiculement gros et, quoi qu'en ait pensé Reynolds, un mauvais modèle pour un peintre. Cet artiste éminent, dans ses leçons sur les Beaux-Arts, avait, avant Quetelet, signalé dans rhomme moyen le type de la beauté parfaite. Si tel était le cas, a dit Sir John Ilerschel, la laideur serait l'exception. Je n'en aperçois pas la raison. Aucun trait de la beauté parfaite ne serait rare ; distribués sans convenance, ils seraient sans mérite. L'harmonie fait la grâce. Le hasard appellerait sans doute peu d'élus, et, n'en déplaise à Sir John Herschel, clans les assemblages incohérents, si la laideur formait l'ex- ception, le grotesque deviendrait la règle. Dans le corps de l'homme moyen, l'auteur belge place une âme moyenne. Il faut, pour résumer les qualités mo- rales, fondre vingt mille caractères en un seul. J^homme type sera donc sans passions et sans vices, ni fou ni sage, ni ignorant ni savant, souvent assoupi : c'est la moyenne entre la veille et le sommeil ; ne répondant ni oui ni non ; mé- diocre en tout. Après avoir mangé pendant trente-huit ans la ration moyenne d'un soldat bien portant, il mourrait, non de vieillesse, mais d'une maladie moyenne que la Statistique révélerait pour lui. V. L'application du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart Mill, le scandale des Mathématiques. L'accusation est injuste. On peut peser du cuivre et le donner pour or, la balance reste sans reproche. Dans leurs travaux sur la théorie des jugements, Condorcet, Laplace et Poisson n'ont pesé que du cuivre. \L1V PRÉFACE. La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est remplacée dans leurs études par des urnes où Ton puise des boules blanches ou noires. « On peut, dans plu- sieurs cas, — a dit Laplace, le plus grand des trois, le moins imprudent, et incomparable aux deux autres, — résoudre des questions qui ont beaucoup d'analogie avec les ques- tions qu'on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des dangers auxquels les mauvais raisonnements nous exposent. Une approximation bien conduite est toujours préférable aux raisonnements les plus spécieux. » Rien n'est plus sage : les bonnes approximations valent mieux que les mauvais raisonnements ; mais il n'y a, malgré cela, moyen ni apparence de les réduire en acte pour rendre la justice meilleure que les juges. On peut assurément sup- poser le nombre des boules noires égal à celui des jugements mal rendus, les deux problèmes n'en restent pas moins fort dilTérenls et, pour tout dire, sans analogie. Un juge, supposons-le, se trompe une fois sur dix. Con- dorcel et Poisson l'assimilent à une urne contenant 9 boules blanches el i noire. Le sort des accusés resterait-il le même? Sur 1000 épreuves, la boule noire sortira 100 fois, tout comme, sur 1000 jugements, 100 seront mal rendus. Les nombres se ressemblent, tout le reste diffère. Quand un juge se trompe, c'est que le cas sans doute est complexe et ardu. On condamne à coup sûr le coupable qui avoue, on acquitte on hésitant celui que Ton n'a pu convaincre ; les 100 boules noires de Turne se montreront le même nombre de fois, mais tout autrement. Condorcet répondrait peut-être que [mur la société, cpii seule Tintéresse, le dommage et l'alarme resteraient les nu^mes et qu'ils dépendent du nombre des LKS LOIS DU HASARD. \LV crimes impunis et des innocents déclarés coupables. Mais une autre objection est sans réplique : l'indépendance des tirages est supposée ; les urnes, dans les calculs, échappent à toute influence commune. Les juges, au contraire, s'éclai- rent les uns les autres, les mêmes faits les instruisent, les mêmes témoignages les troublent, les mêmes sollicitations les tourmentent, la même éloquence les égare, c'est sur les mêmes considérants qu'ils font reposer la vérité ou Terreur. L'assimilation est impossible. ' « Condorcet a pris possession de l'univers moral pour le soumettre au calcul. » C'est la louange qu'on lui a donnée; on s'est demandé si c'est après l'avoir lu. Dans son livre sur La Probabilité des jugements^ il se propose d'abord deux pro- blèmes. Premièrement : Quel est, pour chaque jugement et pour chaque juge, la probabilité de rencontrer juste? En second lieu : Quelle est la probabilité d'erreur à laquelle la société peut se résigner sans alarmes? La première question lui semble facile. « Je suppose, dit Condorcet, que l'on ait choisi un nombre d'hommes véritablement éclairés et qu'ils prononcent sur la vérité ou sur la fausseté de la décision. Si, parmi les déci- sions de ce tribunal d'examen, on n'a égard qu'à celles qui ont obtenu une certaine pluralité, il est aisé de voir qu'on peut, sans erreur sensible, les regarder comme certaines. » C'est un concile infaillible, tout simplement, qu'il définit et prétend convoquer. Sans douter, il hésite ; non que les hommes véritablement éclairés soient rares, gardons-nous de le croire, mais leur temps est précieux ; pour l'épargner, Condorcet propose une seconde méthode dont Poisson, plus tard, n'a pas aperçu l'illusion. La probabilité d'erreur étant supposée pour un juré, on peut, en augmentant leur nombre, la diminuer sans limite pour l'ensemble. L'instrument est XL VI PRKFACK. trouvé, on n'a plus qu'à choisir. « Que l'on compte, dit Condorcet, combien il périt de paquebots sur le nombre de ceux qui vont de Calais à Douvres, et qu'on n'ait égard qu'à ceux qui sont partis par un temps regardé comme bon par les hommes instruits dans la navigation. Il est clair qu'on aura, par ce moyen, la valeur d'un risque que, pour les autres comme pour soi, on peut négliger sans imprudence. » Préfère-t-on le danger de périr au Pont-Saint-Esprit, quand on descend le Rhône de Lyon à Avignon? Les honnêtes gens s'y exposent sans frayeur. Veut-on, pour le faire court, la probabilité 777707? H ne faut que dire oui. Je n'invente ni n'exagère. Dans une assemblée de G5 votants, on exigera la majorité de 9 voix. Deux conditions seulement sont suppo- sées : chaque juge, isolément, ne doit se tromper qu'une fois sur cinq. En jugeant la môme cause, le raisonnement proposé le suppose, ils ne doivent pas non plus être exposés aux mômes chances d'erreurs. Lorsque, huit ans plus tard, Condorcet préférait le poison à une justice suspecte, s'il eût pu s'assurer en des juges cou- rageux et honnêtes, il n'en aurait pas exigé G5. Laplace aborde très modestement le problème des juge- ments : a JjSi probabilité des décisions d'une assemblée dépend, dit-il, de la pluralité des voix, des lumières et de l'impartialité des juges. Tant de passions et d'intérêts parti- culiers mêlent si souvent leur influence qu'il est impossible de soumettre le résultat au Calcul des probabilités. » Il l'y soumet pourtant, et Poisson, en fondant, dans son livre, sur des principes certains, des applications à peine douteuses, a cru suivre son illustre exemple. Laplace cherche d'abord, pour les assemblées, le meilleur système de vote. Il est rare que Ton puisse, en répondant oui ou non, exprimer toute son opinion. Plusieurs propositions, presque toujours, sont LES LOIS DU HASARD. XLVII relatives aux mêmes objets. Le calcul, suivant Laplace, ne conseille pas de les mettre aux voix successivement. Voici ce qu'il faut faire : chaque votant recevra un nombre illimité de boules, et Ton passera, pour recueillir les votes, autant d'urnes qu'il y a d'opinions en présence, en invitant chaque votant à verser dans chaque urne un nombre de boules pro- portionnel à la probabilité qu'il attribue à la proposition correspondante. Docile à la théorie du probabilisme, chacun résistera à la tentation de verser sa provision tout entière dans l'urne favorable à l'opinion qui lui agrée le plus. Les assemblées n'ont pas tenté l'épreuve; elles cherchent le sûr, comme Pascal, le probable ne leur suffît pas. Laplace, reprenant une idée de Condorcet, cherche dans le compte des votes concordants ou discordants des divers juges la chance qu'ils ont de prononcer juste. Se séparant pourtant de Condorcet sur un point de grande importance, il fait varier cette probabilité d'une cause à l'autre, mais la fait, dans chaque cause, égale pour tous les juges; la seule donnée introduite est le nombre des juges favorables à chaque opinion. Si un jury de douze nègres prononce sur le vol d'une banane, la probabilité de bien juger sera, d'après la formule, précisément la même, à majorité égale, que pour douze conseillers à la Cour de cassation décidant une ques- tion de droit. La probabilité, dans les calculs de Poisson, reste la même pour toutes les causes; il n'ignore pas qu'elle peut varier, mais il croit obtenir, sans doute, une de ces approximations bien conduites dont parle Laplace. Une urne contient des boules noires ou blanches ; la pro- portion est inconnue; il suffira, pour la découvrir, de faire un grand nombre de tirages. Le rapport du nombre des boules blanches sorties au nombre total des tirages fera con- B. d XLVIII PRÉFACE. naître leur proportion dans l'urne. Ijà vérité, malheureuse- ment, aussi différente de Terreur que la couleur blanche Test de la noire, ne s'en distingue pas si facilement. Supposons, en second lieu, deux urnes en présence. On ignore la proportion des boules noires ou blanches, et, à chaque tirage, on fait connaître, non la couleur des boules, mais leur accord seulement ou leur désaccord. On ne pourra par de telles épreuves, si souvent qu'elles soient répétées, déterminer la composition des urnes, mais seulement ren- fermer le doute dans des limites plus ou moins étroites. En consultant trois urnes au lieu de deux, le problème se résout exaclement. Si, tirant une boule de chacune, on sait quelles urnes s'accordent à donner même couleur, l'épreuve, suffisamment répétée, fera connaître, avec telle probabilité qu'on voudra, la composition des trois urnes, sans distinguer toutefois les cas où les noires seraient changées en blanches, et réciproquement. Poisson etCournot substituent aux trois urnes les trois juges d'un même tribunal. Si Pierre, Paul et Jacques prononcent sur un grand nombre d'affaires, on pourra, sans savoir si leurs décisions sont justes ou injustes, connaître leurs différences d'opinion. La formule qui révèle les boules blanches des urnes s'appliquera aux chances de bien juger, en repoussant tou- tefois, pour chaque magistrat, la probabilité de se tromper plus d'une fois sur deux. Mieux vaudrait sans cela, après avoir vu, lu, relu, paperasse et feuilleté les pièces du procès, jouer, comme faisait Bridoye, la sentence à trois dés. Les deux problèmes assimilés par Poisson sont, en réalité, très différents. Si Pierre et Paul s'accordent souvent contre Jacques, il peut se faire qu'ils aient, sur certains cas dou- teux, une opinion pareille et que, en la repoussant, Jacques comprenne mieux la loi. Peut-être Pierre et Paul montrent- LES LOIS DU HASARD. XLIX ils pour certains plaideurs une même indulgence, pour d'au- tres une égale rigueur. Pour être plus éclairé, plus droit, plus impartial, Jacques alors serait diffamé par la formule. Si Paul, quand un de ses collègues a opiné le premier, n'a pas la hardiesse de le contredire, la formule y verra une preuve de son mérite. Est-elle digne de confiance? Sans s'arrêter à des difficultés aussi visibles, Poisson n'a pas craint d'assigner, pour un juré pris au hasard, la probabilité de décider juste. D'après l'ensemble des documents interprétés par ses calculs, chaque juré, en France, se trompe une fois sur trois. C'est beaucoup : Condorcet n'en demanderait pas davantage. Quelques centaines de ces jurés sans lumières lui suffiraient pour promettre, au nom de la Science, aux ac- cusés innocents toute la sécurité d'un joyeux touriste qui, par un temps serein, s'embarque sur une mer sans écueils. VI. L'action libre des êtres humains, celle aussi des animaux, quoi qu'en ait dit Descartes, môle à l'enchaînement des effets et des causes un élément inaccessible au calcul. La liberté du choix produit, à parler rigoureusement, les seuls cas fortuits. Les lois du hasard étendent plus loin leur domaine. Un homme agite un cornet, lance les dés, doucement ou avec force, à droite ou à gauche, use sans contrainte de son libre arbitre ; il amène sonnez i fois sur 36. On substitue au bras de chair des organes de cuivre et d'acier. Une machine jette les dés, les ramasse, les lance encore, mue par la force aveugle d'un ressort entretenue par d'autres ressorts. Tout est déterminé ; un géomètre cal- cule à l'avance la succession des points. La formule donne sonnez i fois sur 36. L PRÉFACE. Tous les soldats d'une nombreuse armée sont appelés tour à tour à dire un nombre moindre que 7, le premier venu. Dans leurs réponses, inscrites deux par deux, on rencontre deux 6 I fois sur 36. D'où vient cela ? Les lois du hasard gênent-elles la liberté des efforts musculaires? règlent-elles l'ordonnance d'un mécanisme aveugle? troublent-elles le caprice de 1 00 000 ima- ginations qui les ignorent? Il n'en est pas ainsi. Si l'on influence la volonté de ces hommes ; si le mécanicien, re- belle à la loi de BernouUi, prend plaisir à la mettre en dé- faut; si le joueur de dés s'y applique avec ou sans adresse, toutes nos assertions seront fausses. A tout effort le hasard est docile ; sans souci de la règle, il suit les gros batail- lons. Le hasard est sans vertu : impuissant dans les grandes affaires, il ne trouble que les petites. Mais, pour conduire les faits de nature à une fin assurée et précise, il est, au mi- lieu des agitations et des variétés infinies, le meilleur et le plus simple des mécanismes. Les vapeurs s'élèvent, les vési- cules se forment, les nuées s'épaississent, les vents les dis- persent, les mêlent, les entre-choquent, engendrent la tem- pête et la pluie; le hasard conduit tout sans surveillance ni délibération aucune, et précisément parce qu'il est aveugle, il remplit le lit de tous les fleuves, arrose toutes les cam- pagnes et donne à chaque brin d'herbe sa ration nécessaire de gouttes d'eau. TABLE DES MATIÈRES. Préface. Pages. V CHAPITRE I. ÉNUMÊRATION DES CHANCES. 1. Dénnition de la probabilité. L'égalité des chances est supposée dans la délinition. — 2. Exemple d'une énumération incorrecte. — 3. Autre exemple. — 4. Le nombre des cas ne doit pas être infini. Contradiction résultant de Toubli de cette condition. — 5. Second exemple. — 6. Troi- sième exemple. — 7. Quatrième exemple. — 8, 9, 10, 11, 12, 13. Solution de quelques problèmes par l'énumération des chances. — 14. Prétendu paradoxe du chevalier de Méré. — 15. Combien faut-il tenter de coups pour obtenir une probabilité donnée de produire au moins une fois un événement dont la probabilité est connue? — 16. Problème du jeu de ren- contre. — 17. Problème relatif aux tirages de boules numérotées sans les remettre après chaque tirage. — 18. Problème relatif au dépouillement d'un scrutin de ballottage. — 19. Une urne contient des boules numéro- tées, quelle est la probabilité pour que sur n tirages la somme des points tirés ait une valeur donnée. — 20, 21. Application au cas de trois dés... i-23 CHAPITRE II. PROBABILITÉS TOTALES ET PROBABILITÉS COMPOSÉES. 22. Les solutions de problèmes isolés ne font pas une théorie. — 23. Théo- rème des probabilités totales. — 24. Probabilités composées. — 25. Cas où le premier événement influe sur la probabilité du second. — 26. Les théo- rèmes ne sont démontrés que dans les cas pour lesquels la probabilité est définie; on complète les définitions. Les théorèmes deviennent généraux. — 27. Erreur commise dans la théorie du tir à la cible. — 28. Erreur commise dans la théorie des gaz. — 29. Erreur commise dans l'apprécia- tion des pronostics sur le temps. — 30. Problème relatif aux tirages faits dans une urne. Fausseté d'un raisonnement en apparence très plausible. — 31. Probabilité du brelan au jeu de la bouillotte. — 32. Avantage du B. d. LU TABLE DES MATIERES. banquier au jeu de trcnle-el-quaranlc. — 33. Éludes sur le jeu du bac- carat. — Z\f 35. Problème de la poule 24-1*^ CHAPITRE IH. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 36. Définition de l'espérance mathématique. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simpli- fication d'un problème par la recherche directe de Tespérance mathéma- tique. — 40. Second exemple. — 41. Troisième exemple. — 42. Quatrième exemple dans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait con- naître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas possibles. — 44. Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dé- pend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — 49. In- suffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'au- cune justification.— 51, 52. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance mo- rale ^9-67 CHAPITRE IV. THÉORÈME DE JACQUES BERNOL'LLI. 53. Régularité observée des résultats du hasard. — 54. Probabilité des épreuves répétées. — 55. Événements dont la probabilité est maximum. — 56. Valeur approchée du produit 1.3.3.../1. — 57. Probabilité maxima dans une série d'épreuves. — 58. Probabilité d'un événement peu difl^rent du plus probable. — 59. Fiction d'un écart représenté]; par ^une variable continue. — 60. Première vérification. — 61. Seconde vérification. — 62. Calcul exact de la valeur probable du carré de l'écart ; elle ne diffère pas de la valeur approchée. — 63. Troisième vérification. — 64. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur ^'• prochée. — 65. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intégrale que l'on a réduite en Table. — 66. La pn>babilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers xéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart relatif qui tend vers zért>. — 67. I^ probabilité d'un écart 3, sur «jl épreuves, dépend do — ^ : exemples numériques. — 68. Ecart probable et écart moyen; leur rapport. — (>9. Représentation du nombre probable d'arrivées en introdui- sant un facteur dont la valeur détermine la confiance méritée par la for- mule. — 70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expression de laquelle dépendent les chances de perte sur un grand nombre TABLE DES MATIERES. LUI Pape» . de parties. — 71. Application du théorème de Bernoulli aux chances élec- torales. — 72. Différences entre les conditions réelles et les données du problème précédent. — 73. Le théorème de Bernoulli suppose la proba- bilité d'un événement invariable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; remarques sur cette question. — 74, 75. Exemple d*une série d'épreuves faites avec probabilité variable GS-^.") CHAPITRE V. DÉXOKSTRATIONS ÉLÉMENTAIRES DU THÉORÈME DE BERNOlLLf. 76. Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable diffère de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues. — 77. Ap- plication à une série de parties faites A un même jeu de hasard. — 78. Cas où le jeu est équitable, les énoncés se trouvent en défaut. — 79. Epreuves successives de deux événements contraires. — 80. Troisième démonstra- tion du théorème de Bernoulli 96-10.'$ CHAPITRE M. LA RULNK DES JOUEURS. 81. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu équitable, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas. — 8*2. Lorsque deux joueurs luttent indéfiniment, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit Gnir par se ruiner. — 83. Calcul nu- mérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la (in du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre pos- sédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur pro- bable du nombre des parties est infinie. Il n'y a pas contradiction. — 88. Dé- monstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — {fi. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et ex- posent la même mise. — 95. Probabilité pour qu'un joueur qui joue indé- finiment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avan- tage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisé- ment après un nombre donné de coups. — 99. Valeur approchée de la pro- babilité. — tOO. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au [x'*'"* coup. — 101. Valeur maxima de la probabilité.— 102. Valeur maxima de la va- leur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 101. Cas où le jeu n'est pas équi- table. Théorème de M. Rouché. — 105. Évidence apparente du théorème. — 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en LU TABLE DES MATIERES. Page», banquier au jeu de trcnte-ct-quarante. — 33. Études sur le jeu du bac- carat. — 34, 35. Problème de la poule ^4-4^ CHAPITRE IH. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 36. Définition de l'espérance malhcmatiquc. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simpli- fication d'un problème par la recherche directe de l'espérance mathéma- tique. — 40. Second exemple. — 41. Troisième exemple. — 4'2. Quatrième exemple dans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait con- naître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas possibles. — 44. Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dé- pend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — 49. In- suffisance des explications proposées par Condorcct et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'au- cune justification.— 51, 52. Insignifiance de Texplication proposée par Daniel BernouUi et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance mo^ raie 49-^7 ClIAPITRK IV. THÉORÈME DK JACQUES BERNOULLl. 53. Régularité observée des résultats du hasard. — 54. Probabilité des épreuves répétées. — 55. Evénements dont la probabilité est maximum. — 50. Valeur approchée du produit i.2.3...n. — 57. Probabilité maxima dans une série d'épreuves. — 58. Probabilité d'un événement peu différent du plus probable. — 59. Fiction d'un écart représenté]; par ^une variable continue. — 60. Première vérification. — 61. Seconde vérification. — 62. Calcul exact de la valeur probable du carré de l'écart; elle ne diffère pas de la valeur approchée. — 63. Troisième vérification. — 64. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur iip- prochcc. — 65. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intégrale que l'on a réduite en Table. — 66. La probabilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers zéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart relatif qui tend vers zéro. — 67. La probabilité d'un écart ot, sur ;x épreuves, dépend s de — ;= : exemples numériques. — 68. Ecart probable et écart moyen; leur Vv- rapport. — 69. Représentation du nombre probable d'arrivées en introdui- sant un facteur dont la valeur détermine la confiance méritée par la for- mule. — 70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expression de laquelle dépendent les chances de perte sur un grand nombre TABLE DES MATIERES. LUI Pa^es. de parties. — 71. Application du théorème de BernouUi aux chances élec- torales. — 72. Différences entre les conditions réelles et les données du problème précédent. — 73. Le théorème de Bernoulli suppose la proba- bilité d'un événement invariable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; remarques sur cette question. — 74, 75. Exemple d'une série d'épreuves faites avec probabilité variable GS-^') CHAPITRE V. DÉMONSTRATIONS ÉLÉMENTAIRES DU THÉORÈME DE BERNOULLI. 76. Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable diffère de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues. — 77. Ap- plication à une série de parties faites îk un même jeu de hasard. — 78. Cas où le jeu est équitable, les énoncés se trouvent en défaut. — 79. Épreuves successives de deux événements contraires. — 80. Troisième démonstra- tion du théorème de Bernoulli (/5-io.i CIIAPITHK VI. LA RUINE DES JOUEURS. ^^1. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu écjuitablc, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas. — 8*2. Lorsque deux joueurs luttent indélïnimcnt, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit Hnirpar se ruiner. — 83. Calcul nu- mérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre pos- sédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur pro- bable du nombre des parties est infinie. Il n'y a pas contradiction. — 88. Dé- monstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas on deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — 9i. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les doux joueurs ont même fortune et ex- posent la môme mise. — 95. Probabilité pour qu'un joueur qui joue indé- finiment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avan- tage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisé- ment après un nombre donné de coups. — 99. Valeur approchée de la pro- babilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au jx'**"* coup. — 101. Valeur maxima de la probabilité. — 10'2. Valeur maxima de la va- leur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 101. Cas où le jeu n'est pas équi- table. Théorème de M. Rouché. — 105. Évidence apparente du théorème. — 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en \ I LU TABLE DES MATIERES. banquier au jeu de trcnle-cl-quarante. — 33. Études sur le jeu du bac- carat. — 34, 35. Problème de la poule î'i-^*^ CHAPITRE 111. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 36. Définition de l'espérance mathématique. — 37. Assertion exagérée de Poisson. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simpli- fication d'un problème par la recherche directe de l'espérance mathéma- tique. — 40. Second exemple. — -41. Troisième exemple. — 4*2. Quatrième exemple dans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait con- naître la probabilité. — 43. Calcul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas possibles. — 44. Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule obtenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dé- pend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — 49. In- suffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a besoin d'au* cune justification. — 51, 52. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance mo~ raie 49-67 CHAPITHK I\. THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 53. Régularité observée des résultats du hasard. — 54. Probabilité des épreuves répétées. — 55. Evénements dont la probabilité est maximum. — 56. Valeur approchée du produit i.2.3...w. — 57. Probabilité maxima dans une série d'épreuves. — 58. Probabilité d'un événement peu dilTércnt du plus probable. — 59. Fiction d'un écart représenté]; par ^u ne variable continue. — 60. Première vérification. — 61. Seconde vérification. — 62. Calcul exact de la valeur probable du carré de l'écart; cïle ne diffère pas de la valeur approchée. — 63. Troisième vérification. — 04. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur ap- prochée. — 65. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intégrale que l'on a réduite en Table. — 66. La probabilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers zéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart relatif qui tend vers zéro. — 67. La probabilité d'un écart a, sur |x épreuves, dépend de — ;=: : exemples numériques. — 68. Ecart probable et écart moyen; leur rapport. — 69. Représentation du nombre probable d'arrivées en introdui- sant un facteur dont la valeur détermine la confiance méritée par la for- mule. — 70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expression de laquelle dépendent les chances de perle sur un grand nombre TABLE DES MATIERES. LUI de parties. — 71. Application du théorème de Bernoulii aux chances élec- torales. — 72. Différences entre les conditions réelles et les données du problème précédent. — 73. Le théorème de Bernoulii suppose la proba- bilité d'un événement invariable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; remarques sur cette question. — 74, 75. Exemple d'une série d'épreuves faites avec probabilité variable 68-9") CHAPITRE V. DÉMONSTRATIONS ÉLÉMENTAIRES DU THÉORÈME DE BBRNOL'LLI. 76. Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable diffère de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues. — 77. Ap- plication à une série de parties faites h un même jeu de hasard. — 78. Cas où le jeu est équitable, les énoncés se trouvent en défaut. — 79. Épreuves successives de deux événements contraires. — 80. Troisième démonstra- tion du théorème de Bernoulii 96-10.I CIIVPITHE VI. LA RUI.NE DES JOUEURS. H\. Lorsqu'un joueur joue indéfiniment à un jeu écjuitablc, sa ruine tôt ou tard est certaine. La proposition semble contradictoire, elle ne l'est pas. — 82. Lorsque deux joueurs luttent indélinimont, quelles que soient les conditions du jeu, l'un des deux doit finir par se ruiner. — 83. Calcul nu- mérique. — 84. La perte peut entraîner la ruine avant la fin du nombre convenu de parties. Cela accroît les chances de ruine. — 85. Deux manières d'énoncer le problème de la ruine des joueurs. — 86. Cas où Pierre pos- sédant m francs joue indéfiniment à un jeu équitable. — 87. La valeur pro- bable du nombre des parties est infinie. Il n'y a pas contradiction. — 88. Dé- monstration de l'énoncé précédent. — 89. Calcul des chances de ruine dans un nombre donné de parties. — 90. Exemples numériques. — 91. Cas où deux joueurs ont des fortunes données. Chance de ruine de chacun. — 9i. Cas où le jeu n'est pas équitable. — 93. Autre manière d'obtenir le même résultat. — 94. Cas où les deux joueurs ont même fortune et ex- posent la môme mise. — 95. Probabilité pour (|u'un joueur qui joue indé- finiment finisse par se ruiner. Trois cas peuvent se présenter. — 96. Le cas où la ruine n'est pas certaine est celui où le joueur a un avan- tage. — 97. Exemple numérique. — 98. Probabilité d'être ruiné précisé- ment après un nombre donné de coups. — 99. Valeur approchée de la pro- babilité. — 100. Probabilité pour que la ruine soit postérieure au ji'*""* coup. — 101. Valeur maxima de la probabilité. — 102. Valeur niaxima de la va- leur approchée. — 103. Valeur probable du nombre des parties jouées avant la ruine de l'un des joueurs. — 101. Cas où le jeu n'est pas équi- table. Théorème de M. Rouché. — 105. Évidence apparente du théorème. — 106. Insuffisance de la démonstration. — 107. Réduction du cas où le jeu est équitable au cas général. — 108. Cas où les fortunes sont égales en ^ \ / J.IV TABLE DES MATIEHES. Pages, commençant le jeu. — 109. Cas où deux joueurs luttant l'un contre l'autre peuvent l'un et l'autre être ruinés. Insuffisance d'un raisonnement qui semble fort simple. — 110. Cas où Pierre et Paul possèdent chacun 'j^'. — 111. Cas où ils poiscdent 3''. — 112. Cas général. — 113. Examen d'une combinaison proposée pour accroître les chances de gain io'|-i4i CHAPITRE Vil. PROBABILITÉ DES CAUSES. 114. Ce que, dans le Calcul des probabilités, on entend par le mot cause. — 115. Énoncé du problème à résoudre. Formule qui en donne la solu- tion. — 116. Autre démonstration de la formule. — 117. Problème relatif à la composition inconnue d'une urne. — 118, 119. Autre manière de com- prendre l'énoncé. — 120. Problème plus général. — 121. Loi approchée des probabilités. — 122. Autre manière de préciser l'énoncé. — 123. Ap- plications incorrectes des résultats précédents. — 124. Discussion d'une ex- périence de BufTon. — 125. Discussion de la méthode d'approximation adoptée. — 126. Cas extrême où la conclusion du raisonnement souvent ac- cepté serait évidemment sans valeur. — 127. Hégularité des naissances masculines et féminines. — 128. Quelle est la régularité dont on serait en droit de s'étonner? — 129. Exemple cité par Buflbn. — 130. Exemple cité par Laplace. — 131. Les conditions d'un problème doivent être défi- nies avec détail. — 132, 133. Quelques exemples. — 134. Application faite par Mitchel û la théorie des étoiles doubles. — 135. Probabilité des évé- nements futurs. — 136, 137. Applications ridicules de la formule à la pro- babilité du lever du Soleil i'ia-ï7i CHAPITRE VllI. LOI DES ERREURS d'oBSERVàTION. ' 138. Poslulatum de Gauss. — 139. Autre hypothèse faite implicitement. — 140. Cas dans lequel le postulatum est rigoureusement exact. — 141. Con- séquence des suppositions acceptées. — 142. Comparaison du résultat avec une formule connue; accord apparent, mais non réel. — 143. Antres contradictions résultant de la loi admise. — 144. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures.— 145. L'observation confirme la règle de Gauss, les erreurs constantes étant écartées. — 146. Méthode de véri- fication. — 147. Résultats de Bradlcy discutés par Bessel. — 148. Détermi- nation du paramètre k; diverses formules. — 149. Vérifications possibles. — 150. Valeur probable du carré de l'erreur commise en adoptant la pre- mière formule. — 151. Valeur probable pour la seconde. — 152. Compa- raison des deux résultats. — 153. Les formules peuvent être remplacées par d'autres qui sont préférables. — 151. Autre modification accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres méthodes ponr calcu- ler k\ — 156. Groupement des observations deux par deux; valeur pro- bable de la plus grande erreur. — 157. Autre démonstration du résalut. — 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erTeuva coosidé- TABLE DES MATIERES. LV Pages, rées deux à deux. — 159. Groupement des erreurs trois par trois. — Dis- tinction nécessaire entre l'erreur véritable et Terreur présumée. — 160. Cas plus général. — 161. Discussion de la démonstration précédente. — 162. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. - - 163. Ce qu'on entend par poids et par précision. — 164. Si la loi de pro- babilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. - 165. Est-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes par leur diffé- rence avec la moyenne? — 166. Valeur probable de la plus petite des er- reurs commises. -- 167. Combinaison d'observations qui n'inspirent pas égale conGance. - 168. Partage d'une grandeur en plusieurs parties me- surées séparément. — 169. Évaluation donnée par Fourier en Egypte. - 170, 171, 172, 173, 174. Discussion relative à la détermination de la con- stante k déduite d'un système d'observations 175-225 CHAPITRE IX. ERREURS DE SITUATION D'uN POINT. 175. Confiance de Bravais dans la loi élémentaire de la probabilité des er- reurs proposée et abandonnée par Gauss. — 176. Conséquence dans le cas où l'erreur sur chaque coordonnée est la résultante de deux erreurs élémentaires. — 177. Formule de Bravais déduite d'un postulatum. — 178. Détermination du facteur que la démonstration laisse indéterminé. — 179. Probabilité des écarts dans le tir ù la cible. — 180. Ellipse dans l'in- térieur de laquelle il y a probabilité donnée de voir la balle se placer. — 181. Moyenne probable des valeurs de la constante. — 182, 183. Quelle est la mesure de l'habileté d'un tireur. Difficulté d'une réponse précise. — 184. Vérifications de la formule. — 185. Erreur à craindre sur la moyenne des valeurs de la constante. — 186. Valeur probable du carré de l'eiTCur commise dans l'évaluation du nombre des balles intérieures à une cer- taine ellipse. — 187. Calculs relatifs à 1000 balles tirées dans une même cible 226"a'|6 CHAPITRE X. LA THÉORIE DES MOYENNES. 188. Abandon nécessaire de la loi de Gauss. — 189. Conditions imposées à la loi inconnue qui devrait la remplacer. — 190. Détermination expé- rimentale de la partie constante de l'erreur. Évaluation de l'erreur à craindre. — 191. La moyenne des mesures converge vers la valeur vé- ritable augmentée de l'erreur constante. — 192. Valeur probable de la con- stante caractéristique désignée par m}. L'évaluation de l'erreur à craindre dépend d'une constante nouvelle. — 193. La constante m' diminue quand on retranche l'erreur constante. — 194. Importance de la valeur de m»; insuffisance de la formule la plus simple. Correction proposée sans preuve bien satisfaisante. — 195. Observations de mérite inégal. — Poids d'une observation. — 196. Objection de Poisson à la théorie des moyennes. Cause de l'exception 247*258 LVI TABLE DES MATIERES. CHAPITRE XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. Pares. 197. La théorie des moyennes n'est pas applicable, en général, à la détermi- nation simultanée de plusieurs grandeurs. — 198. Lorsque plusieurs va- leurs dVne même inconnue sont indépendantes, on peut prendre la moyenne en ayant égard à leur poids; premier exemple. — 199. Deuxième exemple. — 200. Troisième exemple. — 201, 202. Problème dans lequel les valeurs d'une môme inconnue ne sont pas indépendantes, résolu en suivant le prin- cipe de la démonstration, dont il faut changer le détail. — 203. Problème général; première solution de Gauss. — 204. En ne faisant, en apparence, aucune hypothèse sur la loi de probabilité, on ne change pas essentielle- ment les conditions de l'énoncé. — 205. Substitution de la plus petite valeur probable du carré de l'erreur à l'erreur la plus probable. — 206. Lors- que le nombre des équations surpasse celui des inconnues, il existe entre les erreurs des relations nécessaires qui ne sont pas satisfaites. — 207. Ex- pression adoptée pour l'une des inconnues; on rend le carré de la valeur probable de l'erreur minimum. — 208. Les erreurs étant très petites , la solution est la plus générale. — 209. Valeur probable du carré de Terreur à craindre. — 210. Premier exemple. — 211. Second exemple. — 212. Les valeurs probables des carrés des erreurs commises sont indépendantes de la concordance des résultats; explication de ce paradoxe. -^ 213. Les for- mules sont démontrées pour des observations qui ne sont pas encore faites. — 214. On peut se placer à un point de vue très différent; le problème devient insoluble. Développement sur un exemple. La valeur probable a priori de l'inconnue que l'on veut calculer a posteriori est un élément nécessaire de la solution. — 215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes; faute de l'une des données indispen- sables, la solution est impossible. — 21G. Discussion d'un problème ana- logue. — 217. Étude du problème général; les solutions sont en nombre infini. — 218. Premier exemple. - 219. Second exemple. — 220. Évaluation, dans un cas très simple, de Terreur à craindre en égalant la valeur vraie à la valeur probable. Calculs numériques. — 221. Théorème des moindres carrés. — 222. Simplification des calculs. — 223. Exemple. — 224. Théo- rie de Gauss. — 225. Objections de Bienaymé. — 226. Les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés sont des fonctions déter- minées des erreurs réellement commises. — 227. Expression de la somme des carrés de ces corrections. - 228. Valeur probable de cette somme. — 229. Exemple. — 230. Incertitude de quelques assertions compromet- tantes pour la théorie aSg-Soô CHAPITRE XII. LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 231. II existe plus d'une manière de consulter le sort; quand la probabilité est la même, la moyenne est la même sur un grand nombre d'éjn'euves. TABLE DES MATIERES. LVII Pafes. mais les chaDches d'écart peuvent être différentes. — 232. Expression al- gébrique du problème à résoudre. — 233. Laplace et Poisson, dans leurs études sur la statistique des naissances, ont négligé cette remarque. — 234. Le tirage dans plusieurs urnes donne, pour une même probabilité moyenne, une valeur plus petite à celle du carré de l'écart. — 235. In- fluence de l'importance des sommes assurées sur les chances d'écart de la moyenne. La formule obtenue en supposant les tirages faits dans la même urne n'est pas acceptable. — 236. Loi de mortalité de Gompertz 3o7-3i8 CHAPITRE XIII. PROBABILITÉ DES DÉCISIONS. 237. Résumé critique des tentatives faites pour appliquer le Calcul des pro- babilités aux décisions judiciaires 319-327 Table des valeurs de l'intégrale e ( / ) = -^ / é^ di 329-332 PIN DE LA TABLE DES MATIERES. CALCUL DES PROBABILITÉS CHAPITRE I. ÉXUMÉItVTION DES CHANCES. Od e»UiB« ia probabilité d*an e<éaeB^ol par le ai>Kt:r i 1. fhtùm:ûf.»m df la ^vhkbWilé. L'égalité des chaoces est supfH^sée dans U délini- tion. — t. Ex«nple à'unc énumératioo incorrecte. — 3. Autre exemple. — •4. Le iivmbre 4«« ras a« doit pas être infini. Contradicliim résultant de Toubli dt (jrtl* c^^kiiU^jn. — S. Second exemple. — 6. Troisième exemple. — T. Qua- triirme ex'nnj4e- — è. 9, 10, 11, 12, 13. Solution de quelques problèmes par IV- BU&cTïlKMa des ckaAO». — 14. Prétendu paradoxe du chevalier de Mérè. — 15. ComLien {««t-îJ tester de coups pour obtenir une probabilité donmv de f^n^dnirt; iiv Ai^iit* «se fois oo événement dont la probabilité est connue? — 1'!-. Pri^lme du jtmàt rencontre. — 17. Problème relatif aux tirages de bi>ule> iivmtT>i>it«$ sjbiii le« remettre après chaque tirage. — IS. Pn^blème relatif au dtpc^aiUeiuc&t d'us KmtÎA de ballottage. — 19. Une urne contient des l>tmles iiOB>eraiée«. qntlït est la probabilité pour que sur n tirages la somme des poiuif tirr» ait «ae râleur doonée. — 20. Application au cas de trois dés. 1. La prokaLililé d*aa événement est estiince par réiiumération des ckb favonble^. rapprochée de celle des cas possibles. Od puie. en jetjnl an dé, qu^il montrera le point 4- L.e de a six faice£ : bi\ csts sool possibles, un seul est favorable. La proba- bilité e^l {. C'est une définition. 2 CALCUL DES PROBABILITES. On jelle deux dés; les six points du premier, en s^associant aux six du second, peuvent former trente-six combinaisons : la pro- babilité d'amener une d'entre elles, double deux par exemple, La probabilité d'amener 3 et 4 est ^ : cbacun des dés pouvant donner 3 lorsque l'autre donne i, il y a deux combinaisons favo- rables 3 et 4, 4 et 3; on leur donne le même nom, 3 et 4» niais elles sont réellement distinctes. La probabilité d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles. Une condition est sous-entendue : tous les cas doivent être également possibles. La définition, saos cette restriction, n'aurait aucun sens. Il peut Se faire que l'événement arrive, il se peut aussi qu'il n'arrive pas^ ce sont deux cas possibles, un seul est favorable. Toute probabilité serait donc *. L'erreur est grossière. D'Alembert a élevé l'ob- jection et refusé de passer outre. Avant de compter les chances, il faut constater qu'elles ont même vraisemblance. 2. Trois coffrets sont d'apparence identique. Chacun a deux tiroirs, chaque tiroir renferme une médaille. Les médailles du premier coffret sont en or; celles du deuxième coffret, en argent; le troisième coffret contient une médaille d'or et une médaille d'argent. On choisit un cofiret; quelle est la probabilité pour trouver, dans ses tiroirs, une pièce d'or et une pièce d'argent? Trois cas sont possibles et le sont également puisque les trois coffrets sont d'apparence identique. Un cas seulement est favorable. La probabilité est |. Le coffret est choisi. On ouvre un tiroir. Quelle que soit la médaille qu'on y trouve, deux cas seulement restent possibles. Le tiroir «pii reste fermé pourra contenir une médaille dont le métal diffère ou non de celui de la première. Sur ces deux cas, un seul est favorable au coffret dont les pièces sont différentes. La proba- bilité d'avoir mis la main sur ce coffret est donc -J. CHAP. £. — É^UMÉRATION DES CHANCES. 3 Comment croire, cependant, qu'il suffira d'ouvrir un tiroir pour changer la probabilité et de | l'élever à ^? Le raisonnement ne peut être juste. Il ne Test pas en effet. Après l'ouverture du premier tiroir deux cas restent possibles. Sur ces deux cas, un seul est favorable, cela est vrai, mais les deux cas n'ont pas môme vraisemblance. Si la pièce qu'on a vue. est en or, l'autre peut être en argent, mais on aurait avantage à parier pour qu'elle soit en or. Supposons, pour en faire paraître l'évidence, qu'au lieu de trois coffrets on en ait trois cents. Cent contiennent deux médailles d'or, cent deux médailles d'argent et cent une médaille d'or et une médaille d'argent. Dans chaque coffret on ouvre un tiroir, on voit par conséquent trois cents médailles. Cent d'entre elles sont en or et cent en argent, cela est certain ; les cent autres sont dou- teuses, elles appartiennent aux coffrets dont les pièces ne sont pas pareilles ; le hasard en réglera le nombre. On doit s'attendre, en ouvrant los trois cents tiroirs, à y voir moins de deux cents pièces d'or : la probabilité pour que la pre- mière qui se préscnlc appartienne à l'un des cent coffrets dont l'autre pièce est en or est donc plus grande que ~. 3. Supposons, pour second exemple, que Pierre et Paul jouent aux boules; celui qui placera la boule la plus rapprochée du but gagnera. Ils %ont également habiles; mais Pierre a deux boules à jeter, Paul n'en a qu'une. (Quelle est la probabilité pour que Pierre gagne? Sur .trois boules jetées par des joueurs également habiles, Pierre en a deux. La probabilité de gagner est pour lui |. Ne pourrait-on pas dire cependant : Cliacune des boules de Pierre peut être meilleure ou moins bonne que la boule de Paul^ quatre cas sont donc possibles. Sur les quatre, un seul fait perdre Pierre, celui où ses deux boules sont l'une et l'autre moins bonnes que celle de Paul, les trois autres cas lui sont favorables. La probabilité de gagner, pour Pierre, est |. 4 CALCUL DES PROBABILITÉS. L'éauméralion est exacte, mais les cas n'ont pas même vrai- semblance. l^aul a de bons et de mauvais coups. Si la boule qu'il a lancée l'emporte sur la première boule de Pierre, il est à croire, sans rien savoir de plus, qu'elle n'est pas parmi les mauvaises. La chance pour qu'elle soit moins bonne que la seconde boule de Pierre est diminuée. Parmi les quatre cas possible, ceux dans lesquels Pierre vaincu dans un coup est vainqueur dans l'autre sont moins vraisemblables que ccuk dans lesquels ses deux boules ont le même sort. 4. Une remarque encore est nécessaire : l'infini n'est pas un nombre; on ne doit pas, sans explication, l'introduire dans les raisonnements. La précision illusoire des mots pourrait faire naître des contradictions. Choisir au hasard, entre un nombre infini de cas possibles, n'est pas une indication suffisante. On demande, par exemple, la probabilité pour qu'un nombre, entier ou fraclionnairc, commensurable ou incommensurable, choisi au hasard entre o et loo, soit plus grand que 5o. La réponse semble évidente : le nombre des cas favorables est la moitié de celui des cas possibles. La probabilité est ^. Au lieu du nombre, cependant, on peut choisir son carré. Si le nombre est compris entre 5o et loo, le carré le sera entre 25oo et loooo. , La probabilité pour qu'un nombre choisi au hasard entre o et loooo surpasse 25oo semble évidente : le nombre des cas favorables est les trois quarts du nombre des cas possibles. La ■ probabilité est \. Les deux problèmes sont identiques. D'où vient la diffiérence des réponses? Les énoncés manquent de précision. Les contradictions de ce genre peuvent être multipliées à Finfini. 5. On trace au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle équilaléral inscrit? CHAP. I. — ÉîrUMÉRATION DES CHANCES. J On peut dire : sî Tune des cxtréinilés de la corde est connue, ce renseignement ne change pas la probabilité; la svmétrie du cercle ne permet d'y attacher aucune influence, favorable ou dé- favorable à l'arrivée de l'événement demandé. L'une des extrémités de la corde étant connue, la direction doit être réglée par le hasard. Si l'on trace les deux côtés du triangle équilatéral ayant pour sommet le point donné, ils forment entre eux et avec la tangente trois angles de 60". La corde, pour être plus grande que le côté du triangle équilatéral, doit se trouver dans celui des trois angles qui est compris entre les deux autres. La probabilité pour que le hasard entre trois angles égaux qui peuvent le recevoir le dirige dans celui-là semble, par définition, égale à j. On peut dire aussi : si Ton connaît la direction de la corde, ce renseignement ne change pas la probabilité. La s\mélrie du cercle ne permet d'y attacher aucune influence, favorable ou défavorable à l'arrivée de l'événement demandé. La direction de la corde étant donnée, elle doit, pour cire plus grande que le côté du triangle équilatéral, couper Tun ou l'autre des rayons qui composent le diamètre perpendiculaire, dans la moitié la plus voisine du centre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi semble, par définition, égale à|. On peut dire encore : choisir une corde au hasard, c'est en choisir au hasard le point milieu. Pour que la corde soit plus grande que le côté du triangle équilatéral, il faut et il suffit que le point milieu soit à une distance du centre plus petite que la moitié du rayon, c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle quatre fois plus petit en surface. Le nombre des points situés dans l'intérieur d^une surface quatre fois moindre est quatre fois moindre. La pro- babilité pour que la corde dont le milieu est choisi au hasard soit plus grande que le côté du triangle équilatéral semble, par défini- tion, égale à \. Entre ces trois réponses, quelle est la véritable? Aucune des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question est mal posée. 6. On choisit au hasard un plan dans Tespace; quelle est la 6 CALCUL DES PROBABILITÉS. probabililé pour qu'il fasse avec riiorizon un angle plus petit que j? On peut (lire : tous les angles sont possibles entre o et -» la probabilité pour que le choix tombe sur un angle inférieur à ^ est |. On peut dire aussi : par le centre d'une sphère, menons un rayon perpendiculaire au plan en question. Choisir le plan au ha- sard, c'est choisir au hasard le point où cette perpendiculaire perce la sphère. Pour que l'angle du plan avec l'horizon soit plus petit que ^> il faut que la perpendiculaire coupe la sphère dans l'intérieur d'une zone dont la surface est 27: Ri/i-_cos^j =47:R5sin«^ Le rappoit de la surface de celte zone à celle de la demi- sphère est 2sin«~ =0,29. La probabilité est donc o, 29. Cette question, comme la précédente, est mal posée et les deux réponses contradictoires en sont la preuve. 7. On fixe au hasard deux points sur la surface d'une sphère 5 quelle est la probabililé pour que leur distance soit inférieure a 10 .' Le premier point peut être supposé connu, la position qu'il occupe, quelle qu'elle soit, ne change rien à la probabilité cher- chée. Le grand cercle qui réunit les deux points peut être également supposé connu, les chances possibles sont les mêmes dans toutes les directions. Si l'on partage ce cercle en 2160 arcs de 10', de ma- nière que le point commun soit un point de division, les points situés dans les deux arcs séparés par le point donné remplissent seuls la condition demandée : la probabilité est donc ^^ = îq^. CHAP. 1. — É3ÎUMÉRATI0N DES CHAKCES. 7 On peut dire aussi : le premier point élanl connu, pour que le second soit à une distance moindre que lo', il faut qu'il soit situé dans une zone dont la surface est 47:R«sin«y=47rR«sin« '2160 Le rapport de la surface de celte zone à celle de la sphère est o, 0000042308 — -57.. .-7- • plus de deux cents fois plus petite que 7^. Les probabilités relatives à la distribution des étoiles, en les supposant semées au hasard sur la sphère céleste, sont impos- sibles à assigner si la question n'est pas précisée davantage. 8. L'application directe de la définition, lorsque les cas pos- sibles sont en nombre déterminé et d'égale vraisemblance, est sou- vent, au contraire, un problème facile appartenant à la théorie des combinaisons. Paoblème L — On jette une pièce de monnaie n fois de suite. Quelle est la probabilité pour que pile et face se suc- cèdent dans un ordre assi^nr? Pile et face, à chaque épreuve, sont également possibles. Toutes les successions présentent des chances égales. Leur nombre, pour n épreuves, est 2", car chaque jet nouveau présente deux cas pos- sibles qui, l'un et l'autre, peuvent s'associer à chacune des combi- naisons précédentes, dont le nombre est par conséquent doublé. Parmi ces 2" combinaisons, une seule est demandée. La proba- bilité est — L'arrivée de face ou de pile est i)rise ici comme le •1/1 1 1 type d'un événement dont la probabilité est ^. La probabilité de voir, à la rouletie, la rouge et la noire se suc- céder dans un ordre assigné serait exactement la même. Quelle est, par exemple, la probabilité pour que, la rouge se 8 CAXCUL DES PROBABILITÉS. montrant au premier coup, la couleur change sans interruption à chacun des 29 coups suivants? La probabilité est — = 0,00000000093133. La probabilité pour que, pendant les trente premiers coups, la rouge et la noire se succèdent sans que la même couleur sorte deux fois de suite est double de la précédente. La suite alternée peut commencer par rouge on par noire. Cela fait deux cas possibles. 9. Problème IL — Quelle est la probabilité pour obtenir as'ec un dé à six faces n fois de suite le point 3? A chaque jet, six cas sont possibles et peuvent s^adjoindrc à cha- cune des combinaisons précédentes, dont le nombre est ainsi sex- tuplé. Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves est donc 6'*; une seule est demandée, elle a pour probabilité r^- 10. Problème III. — Quelle est la probabilité pour amener ai'ec deux dés une somme de points égale à y? Le nombre des cas possibles quand on jette deux dés est 36. La somme 7 peut être obtenue par 6 et i, 5 et 2, 4 et 3. Chacune de ces manières représente deux cas 5 6 et i, par exemple, peut résulter de 6 donné par le premier dé avec i donné par le second, ou de I donné par le premier avec 6 donné par le second. Sur 36 cas possibles, 6 sont favorables; la probabilité est / 6 o«ïï- H. Problème IV. — Quelle est la probabilité pour amener (nec deux dés n fois de suite le point 7? Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves faites avec deux des est 36". Chacune des six combinaisons qui, à chaque épreuve, peuvent amener la somme 7, en s'associant à toutes les précédentes, mul- CHAP. I. — KMUMÉRATION DES CHANCES. () tiplîe par 6 le nombre des cas favorables. Le nombre total de ces cas pour les n épreuves est donc 6". La probabilité, rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, est 6^ _ I 12. Problème V. — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés, pour avoir une somme de points égale à 8? La somme 8 peut être, comme la somme 7, obtenue de trois manières : 6 et 2, 5 et 3, 4 et /\\ mais ces trois manières repré- sentent cinq cas et non six. Le doublet 4 et 4 ne peut se produire» en effet, que si les deux dés donnent 4« Le nombre des cas pos- sibles est 5 et la probabilité est j^, 13. Problème VL — Quelle est la probabilité, en jetant deux dés trois fois de suite, pour amener une fois au moins un dou- blet? Le nombre des combinaisons possibles sur trois épreuves est 363= J6656. A chaque coup, six combinaisons sont des doublets, trente n'en sont pas. Le nombre total des combinaisons qui ne contiennent aucun doublet est donc, sur trois épreuves, 3o' ou 27000. Le nombre des combinaisons qui contiennent un doublet au moins est 3G' — 3o"*= 19656. La probabilité demandée est 1-4. Problème VIL — Quelle est la probabilité pour qu'en fêtant deux dés n fois de suite on amène sonnez au moins une fois? A chaque fois que l'on jette deux dés, le nombre des associa- 1 2 CALCUL DES PROBABILITÉS. le nombre de celles qui ne contiennent pas de boules blanches est /î*. Le nombre des combinaisons contenant une boule blanche au moins est La probabilité demandée est donc « \ lit, "T— f C f- \ IIV -V lit / Le nombre k des épreuves à tenter pour que cette probabilité soit égale à /'.est donné par l'équation î — (i — /?)*= r, d'où /(i-r) (I) k = lix-p) Cette valeur de k n'est pas, en général, un nombre entier. Pour un nombre d'épreuves plus petit que A", la probabilité de voir une boule blanche sortir sera moindre que r; elle surpassera r si le nombre des épreuves est plus grand que A*. Le chevalier de Méré se scandalisait de ne pas voir k inverse- ment proportionnel à p, « Pourquoi, disait-il, pour p = ^^^ k n'est-îl pas six fois plus grand que pour/? = |? w La formule (i) sert de réponse pour les géomètres; elle montre que, pour de petites valeurs de /?, la proportionnalité supposée par de Méré s'éloigne peu de la vérité. On a, en effet, // N P^ P^ 1{^ — P) = -P- J-- 3 — ••• Si p est très petit, on peut supposer ^(i — /?) = — />• Le nombre k des épreuves est donc, à très peu près, pour une valeur donnée de r, proportionnel à —, pourvu que p soit très petit. \ CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHANCES. l3 On a, en supposant les logarithmes népériens, ce qui est permis dans la formule (i), dont cela ne change pas les rapports, l\ = — /a =--0,6931, /i =- /3 =-1,0986, l Yq = — lio = — 2,3o23, Ij^ — — iioo = — 4,6o5i, ^TôVô =— ^1000 =—6,9077, l ioooo =— ^loooo — — 9,210. La formule (i) donne donc les théorèmes suivants : Si un événement a pour probabilité |^, N étant assez grand pour qu'on puisse négliger ^^ et prendre — ^ pourle logarithme népé- rien de i — ^ > le nombre des épreuves qu'il faut tenter pour acquérir les probabilités ^,5,1;^, rà, rHôy Tïïïïïïïï ^^ voir Tévéne- ment se produire au moins une fois est : Pour la probabilité j 0,69 N >» I i,098N »• yq 2 , 3o25 N 1^^ î,r)03N i'ô% 9999 y 3 y a •\] lOUOU 9,210i> On peut s'expliquer sans calcul comment, avec le nombre des épreuves, la probabilité s'accroît pour devenir rapidement une quasi-certitude. Le chevalier de Méré aurait accepté sans étonnement le premier chiffre du Tableau. Il y a chance égale, il l'avait reconnu, pour que sonnez, dont la probabilité est jg, arrive ou n'arrive pas en 24 coups, environ. 24 est les | de 36, comme 0,69 N est, à peu près, les I de N. La proportion n'est pas exacte, mais approchée. Quand le nombre des épreuves est 9,2N, on peut le partager :_w~-. îtf* îioa.iîiLtTte. ■ ■n>;s, ! ijN v.'bji:uu. Celui qui a parii; po ■■•^itiaiKaï iaf :o-t* ju moiDâ en 9,2,> coup iestiiaii? ; ■:$ :-Dt *■'•! -iZlii idva.ii ù renouveler quatorze fois utw fi: Ii.aErr vc.'i:-Jibi[itè égale pour gagner ou pour perdre. ■.■!!■ Tia-i i^Tii'f £\>i> l'arrivt'e de l'cvénemenl csl, pour lu», «nt^wLdabti.* i[ue de perdre quatorze fois de suite îi pile Uî. l'ROHLÊuii: I\. — Quelle cxt lu probiibilité pour 'jurn lîftnt it /loulfx 'II' suite dans une urne qui en contient -j-, niar- •l'iti's I, ■«, ;î, . . . , [JL, ri remeliant la boule sortie après rltm/uc tirage, k numéros tlési^aés soient sortis nu moins une /ois'.' Lorsque k est égal à i , un seul numéro étant désigné, le n-jiubre des eombinuisons qui le contiennent est Il faut, en cfl'cl, retranclier du nombre total des couiliinai^nns, •j.", le nombre des combinaisons (pii restent possibles quand le numéro désigné est laissé en deliors. Pour avoir le nombre des combinaisons qui conliennoiil deux numéros désignés, il faut retrancbcr de (() le nombre de* combi- naisons qui, ne oonteuant pas le second, contiennent lo premier; rc nombre csl donii-'- par la même formule, dans laquelle ;ji est remplacé par -x — i, I.e nombro des Oi.>m lunaison s qui contiennent une ou plusieurs f.iis dou\ numéros dvsiirnos est donc Pour av>^;r le- nombre dos combinaisons qui contiennont trois v.-.iHitT.^s .ii>;inis. î; :^»hi. Je \'. retrancher le nombre des com- l-inaisoRS .j;-.!. ne .•i^ien^»! pas K- tii'isicnif. contiennent les deux prcniii^rs. Ce n.imliTV s'olliont en rempLt;ant dans 1 3) ;/. par CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHAlVCES. l5 Le nombre des combinaisons qui contiennent une ou plusieurs fois trois numéros désignés est (i) [1" — 3({i--i)«-h3([i — a)«-(fji— 3)«. La méthode est générale. Le nombre des combinaisons qui con- tiennent k numéros désignés est tJl« — Â- ( (JL — I )«-!- — ^^ ( {X — 2)« . . . liz ( «JL — A- )«. En divisant ce nombre par [jl", nombre des combinaisons pos- sibles, on aura la probabilité demandée. Si l'on suppose k = jx, on aura la probabilité pour que/^ tirages fassent sortir tous les numéros La suite contient [jl -p i termes. Si /2 et {ji sont grands, on a approximativement ( I I ^ e H- . Ces formules d'approximation sont applicables aux premiers termes de (5); les autres sont négligeables, et l'on peut représen- ter approximativement la probabilité pour que tous les numéros soient sortis en n tirages par i.-.'W- 17. Problème X. — Une urne contient |jl boules marquées I, 2, 3, ..., \x. On les tire successii^ement, sans les remettre dans l'urne quand elles sont sorties. Quelle est la probabilité pour que, parmi k boules désignées, aucune ne sorte à un rang égal au numéro dont elle est marquée? l6 CA.LCUL DES PROBABILITÉS. Les combinaisons dans lesquelles une boule désignée n'est pas à son rang sont au nombre (C) 1.2.3. ..U — 1.2.3...((i. — i). Le nombre de celles dans lesquelles deux boules désignées ne sont ni l'une ni l'autre à leur rang s'obtiendra en retranchant de (6) le nombre de celles dans lesquelles, la seconde boule étant à son rang, la première, dans l'arrangement des y. — i autres, ne serait pas au sien. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans (6) [JL par [JL — i, il est I.2.3...(jl — l) — 1.2.3. ..(^ — 2). Le nombre des combinaisons dans lesquelles deux boules dési- gnées ne sont ni l'une ni l'autre à leur rang est, par conséquent, ( 7 ) 1.2.3... |X — 2 . 1 . 2 . 3 . . . ( JJL — I ) -T- I . 2 . 3 . . . ( fl — 2). Pour avoir le nombre des combinaisons dans lesquelles trois boules désignées ne sont pas à leur rang, il faut retrancher du nombre (7) le nombre des combinaisons dans lesquelles, la troi- sième étant à sou rang, les deux autres ne sont pas aux leurs dans les [JL — I boules restantes. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans (7) [JL par ix — 1 ; il esl (8) i.2.3...(;ji— îj — 2. 1.2. 3. ..([Ji — 2) -4-1.2.3... ([1— 3). La différence avec (7) est 1 .2.3. . . ;jL — 3. 1.2.3. . . ( ;JL — i) -T-3. 1.2.3. .. (jji — 2) — 1.2.3 . . . (;jl— 3). La méthode est générale. Le nombre des combinaisons dans les- quelles /i boules ne sont pas à leur place est / 1 . 2 . 3 . . . |JL — X* . 1 . 2 . 3 . . . ( |JL — I ) I H 1.2.3. ..(|JL — 2) — ...zilI.2.3...([Jl — A). La probabilité pour qu'aucune des boules désignées ne sorte à son rang est le quotient de (9) par le nombre i . 2 . 3 . . . [x des com- binaisons possibles. V CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHANCES. I7 En supposant A* = [l, on obtient la probabilité pour que, dans le tirage de toutes les boules, aucune ne sorte à son rang; elle est (10) I — IH -{ ..—7 — — 1.-2 i.a.i 1.2.3. 4 Le nombre des termes dont la loi est évidente est celui des nu- méros de l'urne augmenté de un. La série (lo), si on la prolongeait indéfiniment, représenterait -• Si donc [X n'est pas un très petit nombre entier, la probabilité devient, quel que soit le nombre des boules, très voisine de -> - =o,3r)787944. La probabilité pour qu'un numéro au moins sorte à son rang e^t I = 0,63212035. Voici, du reste, les valeurs, pour [X = 1 , 2, . . . , 10, II, de la probabilité /?pL, à moins d'une demi-unité du septième ordre décimal : pi = 0,0000000, /)j — o , 5oooooo , Pi — 0,3333333, />V =x 0,3760000, Ps = o, 3G6G667 , />6 ~ o,368o55G, p-! " 0,3678571, P% = 0,3678819, P9 =0,3678792, 7>io= 0,3678795, ;>i 1=0,3678794. On voit donc que, dès que [l est égal ou supérieur à 9, la dijjé- rence entre p^ et - n^ atteint pas un niillioniènie. B. 2 l8 CALCUL DES PROBABILITÉS. 18. Problème XI. — Pierre et Paul sont soumis à un scrutin de ballottage; Vurnc contient ni bulletins favorables à Pierre, n favorables à Paul; m est plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour que, pendant le dépouillement du scrutin, les bulletins sortent dans un ordre tel que Pierre ne cesse pas un seul instant dUivoir V avantage? Le nombre des combinaisoDs possibles est celui des arrange- ment» de m 4- // lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre et les n autres, semblables aussi, représentent le nom de Paul. Le nombre de ces arrangements csl I . 'A . 3 . . . ( /;i -T- /i ) I . 2 . 3 . . . //l . I . 2 . 3 . . . 71 Cherchons le nombre des arrangements dans lesquels Paul, à un certain moment, aura le même nombre de voix que Pierre. Parmi ces arrangements, il faut compter tous ceux qui com- mencent par le nom de Paul. Leur nombre est celui des arrange- ments de m 4- /^ — i lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le nom de Pierre, et les n — i autres celui de Paul. Ce nombre est 1 . '.>. . 3 . . . ( m — // — I) (il) :, :> - ; ' I . •>. . 3 . . . //ï . 1 . 2 . J . . . ( /i — I ) ils forment la moitié, précisément, du nombre que nous cher- chons. Nous allons démontrer, en effet, que tous les dépouillements commençant par le nom de Pierre, et dans lesquels l'égalité des sufi'rages se produit à un certain moment, correspondent un à un, d'une manière parfaitement déterminée, aux arrangements de ffi^ fi — i lettres dont le nombre est représenté par la for- mule (i i). Représentons par la lettre A les bulletins qui portent le nom de Pierre et par B ceux qui portent le nom de Paul. Considérons une combinaison commençant par A et dans la- CHAP. I. — ÉNUMÉRATION DES CHAKCES. I9 quelle, à un certain moment, quand on appelle tous les termes à partir du premier, le nombre des B est égal à celui des A. Arrê- tons-nous dans cette énumération faite de gauche à droite la pre- mière fois que cette égalité se produit. Enlevons le groupe déjà appelé, transportons-le à la fin de la combinaison, après avoir en- levé le B qui le termine nécessairement. Nous formerons la com- binaison de m -h n — i lettres, conjuguée de celle que nous avons choisie. Par exemple, la combinaison AABBABAB, qui contient quatre A et quatre B, donnera ABABAAB, qui contient quatre A et trois B. La combinaison de m-^n — i lettres, déduite, comme nous l'avons dit, de l'une des combinaisons commençant par A dont nous vou- lons faire le compte, permet, quand elle-même est donnée, de retrouver celle dont on l'a déduite. Il suffit d y appeler les lettres en commençant par la droite jusqu'au moment, qui ne peut man- quer de se produire, puisque les A sont en majorité, où le nombre des A surpassera d'une unité celui des B, On enlèvera alors le groupe ainsi défini pour en faire le commencement de la combi- naison, en le transportant à la gauche après l'avoir séparé des termes non transportés, qui gardent leur ordre, par la lettre B ajoutée à la fin. Le nombre total des dépouillements dans lesquels le nombre des lettres B, à un certain moment, atteint l'égalité est donc î . î . 3 . . . ( m -^ n — I ) 2 1 . "2 . 3 . . . //i . 1 . 'A . 3 . . . /t — I En le divisant par le nombre total des arrangements distincts î . 7, . 3 . . . ( m H- /i ) l . 2 . 3 . . . 771 . 1 . '2 . 3 . . . /< le quotient . . on (12; m-\- n 20 .CALCUL DES PROBABILITÉS. est la probabilité pour que Pierre, pendant la durée du scrutin, perde, à un certain moment, Favantage. La probabilité pour que Pierre garde toujours Tavantage est (i3) I = Cette Ingénieuse démonstration est due à M. André. 19. Problème XII. — Une urne contient [jl boules numérotées I, 2, 3, ..., [JL. Quelle est la probabilité pour que, dans n tirages, la somme des numéros sortis soit égale à kf On suppose qu'après chaque tirage la boule sortie soit remise dans l'urne. Le nombre des combinaisons possibles est y."^ puisque chacun des [A numéros peut sortir à chacun des n tirages. Le nombre des cas favorables à l'événement demandé est le nombre des manières de former une somme égale à k avec n nombres inférieurs à [a -h i . Cette somme est, évidemment, le coef- ficient de ^1* dans le développement de (l) {t-h ^*H-...-T-^I*)« ordonné suivant les puissances de t. Par quelque vole que l'on efi*cctue ce développement, les coefficients des puissances de t feront connaître les numérateurs des diverses probabilités dont le dénominateur commun est [a". On a t-^t^-^...-{- tV-^ t — I L'expression (i) peut donc s'écrire Les développements du deuxième et du troisième facteur se feront par la formule du binôme. Le troisième donnera un développement Illimité; mais la multi- plication fera disparaître tous les termes dans lesquels l'exposant est négatif. I CHAP. I. ÉNUMÉRATION DES CHANCES. 21 Le Tableau suivant a été formé par cette méthode. On y a inscrit en regard de chaque somme demandée, et pour un nombre de tirages inférieur à huit, le nombre des combinaisons qui la pro- duisent en supposant [jl = 6. Les tirages peuvent être remplacés par des dés, en nombre égal à n, que Ton jette à la fois sur le tapis. La somme des points est inscrite dans la première colonne verticale, le nombre des dés en tête de chaque autre colonne, et le nombre des combinaisons sur la colonne horizontale commençant par la somme demandée. Nombre demandé. 1 dé. 2 dés. 3 dés. 4 dés. 5 dés. 6 dés. 7 dés. 8 dés. 2. 3. 4, 5. 6. 8. 9. 10. il. 12. 13. ié. 13. i6. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I •?. 3 4 5 G 5 4 3 '>, I o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o I 3 6 lO i5 •21 25 ^7 21 l5 10 6 3 I o o o o 'O o o o o o o o o o 1 4 lo 9.0 35 56 8o io4 12 5 i4o i46 i4o 125 io4 8o 56 35 20 10 4 I o o o o o o o o o o I 5 I J 35 70 126 20 5 3o5 420 5{o 65 1 735 780 780 735 65 1 540 420 3o5 2o5 126 70 35 i5 5 I o o o I 6 21 56 126 252 456 756 1 16[ 1666 2247 2856 3431 3906 4221 4332 4221 3906 3431 2856 2247 1666 1161 756 456 o o o o o o 1 / 28 84 210 462 9»7 1667 2807 4417 6538 9142 12117 15267 j8327 20993 22967 24017 24017 22967 20993 18327 16267 12117 o o o o o o o 1 8 36 120 33o 79*^ 1708 3368 6i47 10480 16808 25488 36688 50288 658o8 82384 98813 113688 125588 133288 135954 133288 125588 2'2 CALCUL DES PROBABILITÉS. A 20. Problème XIII. — Combien faut-il Jeter de fois trois dés pour avoir la probabilité p d* amener une fois au moins le point i5? La probabilité z d'amener i5 en jetant trois dés est, d'après le Tableau précédent, ^ = 0,0462963. La probabilité d'amener i5 une fois au moins en n coups est Le nombre n est donc donné par l'équation (i — 2)«= I— /?; on trouve, en faisant P = \ /i = 1 4 , 62 P = l n = 29,24 />-A /' = 18,57 En jetant quinze fois les trois dés, la probabilité d'amener i5 est plus grande que |; elle est plus grande que | en les jetant trente fois et que ^ en les jetant quarante-neuf fois. 21. Le jeu du passe-dix, autrefois fort en vogue, donnait aux deux adversaires chance égale de gagner. Pierre jetait trois dés et gagnait si la somme des points sur- passait 10; il perdait dans le cas contraire. Le Tableau montre que, dans le cas de trois dés, les points su- périeurs sont précisément en même nombre que les points non supérieurs à 10; 11 a autant de chances que 10, la que 9, i3 que 8, etc. La même symétrie se rencontre pour les points obtenus avec cinq ou sept dés. Avec quatre, six ou huit, il existe un maximum pour lequel il n'y a pas de point conjugué. La raison en est simple. Sur un dé, le point 6 et le point i sont sur des faces opposées, le point 5 est opposé à 2 et 4 à 3. Si donc on jette sur une table an -h i dés, la somme des points marqués *. t CHAP. I. — É>'UMÉRATION DES CHANCES. '>^\ par les faces posées sur la Table, ajoutée à celle des points mar- qués parles dés, sera ^ ('2 n -h i).Sî l'une des deux sommes est plus grande que 7/1 -f- 3, l'autre sera au plus égale à 7/^ -f- 3. Celui qui parlerait d'amener un point supérieur à 7/1 -r 3 a donc pour lui la moitié des chances; lorsque 2/^ -f- i = 3, n est égal à i et 7/1 -I- 3 est égal à 10. Si l'on jouait avec cinq dés, il faudrait au passe-dix, pour laisser les chances égales, substituer le passe-dix sept. C'est pour cette raison que les derniers cliiflTres du Tableau ont été supprimés. Veut-on savoir, par exemple, le nombre des ma- nières d'amener 44 sivec 8 dés. Ce nombre est le même pour 28 -h 16 et pour 28 — iG, ou la: 11 est donc 33o. n«.iJ.v3tLITES. HVPITHE II. > • i \LES ET PKOBABILITÉS COMPOSÉES L'n Jr» poiiiU les plun imporlanls «le \a tbëorle dco prubal)ilUé<» el celui qui prête le plus aux illosloiit r»t la manière dont les probabiliics augmentent uu diml nuent pur lcur:i cnaibinalsons uiutu<'IIo<. I.APL\..E. » ic ^»ï\>blèincs isolés ne font pas une Uicorie. — 23. Thcorènic . . . '. it.iuK's. - 2i. Probabilités composées. — 25. Cas où le premier > luo sur la probabilité du second. - 20. Les théorèmes ne sont . « ;.iv'-iaus les cas pour lesquels la probabilité est déliuie; on compléli^ . ..•.-«. Les théorèmes deviennent généraux. - 27. Erreur commise i.vTu' du tir à la cible. — 2?^. — Erreur commise dans la théorie dos .• îticur commise dans l'appréciation des pronostics sur le temps. — • .'.viiic ivlutif aux tirages faits dans une urne. Fausseté d'un raisonnc- »4 «;»paifnce très plausible. — 31. Probabilité du brelan au jeu de la . ..*■ - ;12. Avantage du banquier au jeu de trentc-el-quaranle. - . ..JVN '.ur le jeu du baccarat. — 3'i. Prfd)Ièmc de la poule. ^>î 1 a si»liilioii des problèmes précédents n'a pas exigé de .. :K;pv'N nouveaux. Le compte des cas favorables rapproché de v.-.i d^-'» i*iiî> j)0.ssibles appartient à la théorie des combinaisons. ! îfj^v'nicux et bizarre Cardan, bon géomètre el grand ami des !v X. connaissait pour chaque coup le nombre exact des chances; ; 1 puldié sans devenir, pour cela, Tinventeur de la science du \ no '41'ience doit enchaîner les cas simples aux cas composés oi ivpoM'r sur des principes. Ceux du Calcul des probabilités sont .ui'«'»i simples que féconds. CHAP. II. PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 20 Deux théorèmes fondamentaux rencontrent des applications à chaque page pour ainsi dire de la théorie des chances. Nous les démontrerons d'abord dans les cas où la probabilité a été définie. L'étude des autres cas ne peut précéder, évidemment, la définition du sens exact attaché aux mots qui y figurent. 23. Probabilités totales. — La probabilité d'un événement étant, par définition, le rapport du nombre des cas favorables à celui des cas possibles, si l'on partage les cas favorables en plusieurs groupes, la probabilité de l'événement sera la somme des probabilités pour quil appartienne à chacun des groupes. On ajoute en effet les fractions de même dénominateur en ajou- tant les numérateurs. La probabilité d'amener avec trois dés une somme de points supérieure à i/\ est la somme des probabilités pour obtenir i5, iG, 17 ou 18. Le choix des groupes est arbitraire, sous la seule condition, bien entendu, dy enfermer tous les cas possibles sans qu'aucun s'y rencontre deux fois. Si, par exemple, pour calculer la probabilité d'amener sonnez une fois au moins en ^o coups, on faisait la somme des proba- bilités calculées pour chaque coup, on appliquerait mal le prin- cipe. Le sonnez obtenu à un coup n'empêche pas celui du coup suivant^ on compterait vingt fois, de cette manière, la série de coups dans laquelle sonnez arrive vingt fois. La probabilité d'amener avec deux dés le point 3 ou le point 4 n'est jjas la somme de la probabilité pour amener 3 et de celle pour amener 4« On peut, en effet, les amener tous deux; et le point 3 et 4, compté une première fois comme contenant 3, ne doit pas Têtre une seconde comme contenant 4* 24. Probabilités composées. — Un événement composé est. dé- fini par le concours de plusieurs événements simples que le hasard doit amener successivement ou simultanément. Le nombre N des cas possibles, lorsque les événements simples sont indépendants, est le produit (A| [Aj . . • [a;^ des nombres de cas possibles dans cha- a6 CALCUL DES PROBABILITÉS. Clin d'eux, chaque cas de l'un des groupes pouvant s'associer avec tous les cas des autres groupes. Le nombre des cas favorables su concours des événements simples dont la réunion forme Tévéne- ment composé est, par une raison semblable, le produit des nom- bres de cas mi, m 2, ..., m* favorables à l'arrivée de chacun d'eux. La probabilité de l'événement composé est donc /Wj /WJ/H3. . ./Wjt = fë)(l')-(S)^ JXl [Xj |l3 . . . |XAr c'est le produit des probabilités des événements simples. 25. La probabilité d'un événement composé est le produit des probabilités des événements simples dont il exige la réunion . Un cas doit être prévu, c'est celui où la probabilité du second événe- ment est influencée par la manière dont se produit le premier. Si, par exemple, une urne contient deux boules blanches et deux boules noires, quelle est la probabilité, en tirant deux boules de suite sans les remettre dans l'urne, pour obtenir les deux boules blanches? La probabilité d'en obtenir une au premier tirage est^^ mais au second, elle est douteuse : égale à | si le premier tirage a enlevé une boule noire, elle sera ^ seulement si la boule disparue est blanche. Quelle est celle de ces deux fractions qui doit servir de multiplicateur? C'est la seconde, évidemment. Dans le premier des deux cas supposés, l'événement demandé est devenu impossible. Peu importe la probabilité des épreuves qui viennent ensuite. La probabilité d'un événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité qu'acquiert le second quand on sait que le premier est arrivé. On a souvent commis des erreurs graves en oubliant les der- niers mots de cet énoncé. 26. Les deux théorèmes précédents sont et doivent être incom- plètement démontrés. La probabilité, en efiet, n'a été définie que pour une classe très restreinte d'événements. Il en existe d'autres, CHÀP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 2^ incertains comme eux, dans lesquels Ténuméralion des cas ne peut rien apprendre. Les principes leur sont-ils applicables? Sont-ils dès à présent démontrés pour eux? Les principes sont applicables. Ils ne sont pas encore démontrés. Comment le seraient-ils? Les probabilités dont ils donnent la mesure n^ont pas même été dé- Gnies. Quelle est la probabilité pour que la Seine soit gelée à Paris dans. le courant de Tannée iggS? Pour qu'un médecin appelé près d'un malade sache découvrir la nature, la cause et le remède du mal? Pour qu'un homme âgé de quarante ans, aujourd'hui bien por- tanty atteigne Tâge de soixante ans? Il faut compléter la définition ; tous ces cas lui échappent. La probabilité d'un événement, quelle qu'en soit la nature, est dite égale à une fraction donnée /?, lorsque celui qui attend l'évé- nement pourrait échanger indifféremment les craintes ou les espé- rances, les avantages ou les inconvénients attachés à l'arrivée de cet événement contre les conséquences supposées identiques delà sortie d'une boule puisée dans une urne dont la composition fait naître une probabilité égale à p. Comment, dans des cas tels que ceux qu'on a cités, justifier une telle assimilation? Ce n'est pas en ce moment la question. Si l'assimilation est impossible, on ne la fera pas. Si on la fait, il faudra la justifier. La définition, dans les deux cas, reste irréprochable. Lorsque l'assimilation sera faite et justifiée, on en acceptera les ' conséquences. On aura le droit de dire, par exemple : Si, après avoir appelé un médecin, on évalue à -j^ la probabilité pour qu'il vienne et à ^ la probabilité pour qu'il procure, s'il vient, la guérison du malade; sans discuter ces chiffres, celui qui les admet peut ajouter : La probabilité pour que le malade soit visité et giiéri par le médecin esiy pour moi, 10 ^- 3 — 10 Ii8 CALCUL DES PROBABILITES. Celui qui accepte, en effet, les probabilités -nj et ^ est, par défi- nition, dans le même doute que si, en présence de dix urnes in- discernables dont neuf renferment une boule blanche et deux boules noires, il cherchait la probabilité pour mettre la main sur l'une des neuf urnes dont la composition est connue et en tirer uAe boule blanche. L'identité des deux problèmes est admise-, elle fait partie de l'énoncé. Si on allègue l'impossibilité de mesurer en chiffres les probabilités dont nous parlons, l'objection serait aussi peu fondée que si, évaluant la longueur d'un champ d'apparence rectangulaire à 3oo™ et la largeur à loo", on contestait le droit d'ajouter, indépendamment de toute vérification, ces mesures, si douteuses qu'elles soient, et ces appréciations assignent au champ une surface de trois hectares. La règle des probabilités totales et celle des probabilités composées s'appliqueront à toutes les combinaisons de probabi- lités simples supposées évaluées en nombres. L'évaluation sera plus ou moins judicieuse, plus ou moins justifiée, les conséquences vaudront ce qu'elle vaut elle-même, mais sans introduire aucun doute nouveau. Les précautions prescrites dans l'application des deux principes sont indispensables, bien entendu, quand on les transporte aux cas nouveaux. Il ne faudrait pas dire, par exemple : La probabilité pour que la Seine soit gelée à Paris en 1995 est la somme des probabilités pour qu'elle soit gelée pendant chacun des mois qui composent l'année. Elle peut geler, en effet, en plusieurs mois différents, et (23) l'application du principe des probabilités totales n'est pas permise. Si l'on a évalué la probabilité pour qu'il gèle demain à ^, celle pour qu'il tombe de la neige à j, la probabilité pour voir à la fois de la glace et de la neige n'est pas j^, La gelée en effet, si elle se présente, change la probabilité de la neige. Nous citerons trois exemples intéressants d'erreurs commises par l'oubli de ces conditions nécessaires dans l'énoncé des prin- cipes. CHAP. II. PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 29 27. Problème XVI. — On tire à la cible, Llarme, sans être parfaite, ne présente aucun défaut systématique ; les dévia- tions ont en tous sens même probabilité. L^ hypothèse est-elle w réalisable? On le suppose. Quelle est la probabilité pour que le point Jrappé soit à une distance du but comprise entre r et r -\- dri Les données sont insuffisantes, cela semble évident. On a résolu cependant le problème par une fausse application des principes. Rapportons le point où frappe la balle à deux axes de coordon- nées ayant pour origine le centre de la cible, c'est-à-dire le point que l'on veut atteindre. Soient '^[x) dx la probabilité inconnue pour que l'abscisse du point frappé tombe entre ^ et :r + dx^ z[y)dy \di probabilité pour que l'ordonnée tombe entre y et Y 4- dy, La probabilité pour que la balle frappe le rectangle dx dy, dont les coordonnées sont x et r, est, d'après le principe des pro- babilités composées, o{T)o{y)dxdy, Cette probabilité, d'après notre hypothèse, ne doit dépendre que de la distance du point frappé à l'origine, et l'on doit avoir ?(^)?(7) = ¥{x^-^y^). Cette équation suffit pour déterminer la fonction îp. On en dé- duit, en prenant les dérivées successivement par rapport à x et à y^ x^{x) ~ y^{,y)' La fraction • est par conséquent constante, et l'on en con- clut que la fonction o(x), qui doit s'annuler quand x est infini, est de la forme Ce résultat, fort remarquable, n'est pas, malheureusement, accep- table. La connaissance de la valeur de x changerait, en efTet, la proba- bilité de celle de y et le facteur par lequel il faudrait multiplier 3o CALCUL DES PROBABILITÉS. '. Les deux observateurs s'acccordent pour prédire qu'il pleuvra demain. Quelle est la probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux? La probabilité pour que le premier se trompe est i — p, La probabilité pour que le second se trompe est i — p' . La probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux est une probabilité composée, mais elle n'est pas mesurée par le produit La probabilité composée est le produit de (i — p) parla proba- bilité pour que le second observateur se trompe, quand on sait que le premier a fait un faux pronostic. Les données du problème laissent cette probabilité complète- ment inconnue. Si les deux observateurs ont reçu les mêmes leçons, s'ils ont adopté les mêmes principes, en présence des mêmes faits ils por- teront le même jugement. Si l'un se trompe, l'autre se trompera aussi^ le second facteur du produit sera l'unité. L'accord certain des deux prédictions ne diminue pas la chance d'erreur. 3î>. CALCUL DES PIVOBABILITÉS. Si les deux méthodes sont différentes, les conclusions pourront Têlre aussi, sans pour cela devenir indépendantes. Certains sym- ptômes sont nécessairement apprécies de la même manière, et leur nombre inconnu laisse le problème insoluble. Si l'un des météréologistes annonce qu'il pleuvra, l'autre qu'il ne pleuvra pas, la probabilité pour qu'ils disent juste tous deux n'est pas /?/?' : elle est nulle. 30. Problème XVI. — Une urne contient trois boules mar- quées 1 , 2 <*/ 3. On en tire deux successivement , en remettant dans l'urne, après le premier tirage, la boule qui en est sortie. Quelle est la probabilité pour que le plus grand numéro sorti soit 2? Pour que 2 soit le plus grand des numéros sortis, il faut que 3 ne se soit pas montré et que l'on n'ait pas tiré deux fois le n** i . Pour qu'à l'une des épreuves 3 ne sorte pas, la probabilité est |. Pour qu'il ne sorte ni au premier ni au second tirage, elle est |. Pour que i sorte deux fois, la probabilité est ^; | est par consé- quent la probabilité pour qu'il ne sorte pas à l'un et l'autre ti- rage. L'événement demandé semble donc composé de deux autres dont les probabilités sont ^ et f; il ne faut pas cependant faire le produit de ces deux fractions. Il faut (25) multiplier ^ par la pro- babilité pour que 1 ne sorte pas deux fois, lorsque l'on sait que 3 n 'est pas sorti. Cette probabilité est | ; le numéro 3 étant écarté, il n'en reste en effet que deux. La probabilité pour que 1 sorte est ^, pour qu'il sorte deux fois {, et pour qu'il ne sorte pas deux fois, par conséquent, elle est f . La probabilité demandée est 7 ^ * — 3 • On aurait pu dire : Pour que le plus grand des numéros sortis soit 2, il faut que 2 soit sorti et que 3 ne le soit pas. La probabilité de n'amener 2 à aucune des deux épreuves est ^, celle de l'amener une fois au moins est, par conséquent, |. > CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 33 La probabilité | doit être multipliée par la probabilité de ne pas amener 3, sachant que 2 est sorti. Si 2 est sorti au premier tirage, la probabilité de ne pas amener 3 au second est |. Si a est sorti au second tirage, la probabilité de ne pas avoir amené 3 au premier est |. Acceptons donc cette probabilité | qui convient aux deux cas, nous trouverons pour la probabilité de- mandée 9 ^ 3 ~~ 27" Le désaccord avec le résultat précédent est un avertissement. Il n'était pas permis, comme nous l'avons fait, de partager la sortie supposée de 2 en deux cas distincts et de supposer successivement 2 sorti à la première ou à la seconde épreuve. Il a pu sortir à toutes deux; notre calcul fait entrer deux fois en compte le cas où les deux tirages auraient, l'un et l'autre, amené le point 2. 31. Problème XVII. — Probabilité des brelans au jeu de la bouillotte. La bouillotte se joue avec vingt cartes. On enlève d'un jeu de trente-deux cartes les sept, les valets et les dix. Chacun des quatre joueurs reçoit trois cartes. On retourne la treizième. Un joueur a brelan lorsque ses trois cartes sont de même es- pèce, trois rois, trois as, etc. Il a brelan carré lorsque toutes trois sont de même espèce que la retourne. Soit Pi la probabilité pour que i joueurs désignés aient des brelans. On déduit du théorème des probabilités composées ao . 3 . 2 _ , - P\ = 5 = 0,017544, ^ 20.19.18 ' 16. 3 . 2 , - 12. 3 . -}. 8.3.2 ^, , Pk — Pz = o , 0000006598 1 . '^ ^11. 10.9 ' ^ B. 34 CALCUL DES PROBABILITÉS. On peut avoir brelan en effet quelle que soit la première carte; la probabilité pour avoir une première carie est j|, celle pour que la deuxième soit de même espèce que la première est -j^, et pour que la troisième soit de même espèce que les deux autres la probabilité est ^j^. Cette probabilité p^ calculée pour un premier joueur à qui Ton donnerait trois cartes, sans s'occuper des autres, convient à l'un quelconque des trois, car la manière de distribuer les cartes est indifférente. Lorsqu'un premier joueur a brelan, la probabilité pour qu'un second l'ait aussi est changée. Il faut d'abord que la première carte rende le brelan possible. La probabilité est {y, car elle ne doit pas être celle qui complète le brelan déjà fait; pour que la deuxième carte soit pareille à la première, la probabilité est j^^ et pour que la troisième soit pareille aux deux autres elle est •^. On en conclut les autres formules se démontrent de la même manière. /?j, ^2? /?3j Ph sont des probabilités totales. Si l'on représente par TSi la probabilité pour que i joueurs désignés aient des bre- lans et qu'ils soient seuls à en avoir, on aura les relations ( jDj = njj -4- Snjî-h 3nyj-4- Wt. Il est clair, en effet, que la probabilité pour qu'un joueur ait brelan se compose de la probabilité xs^ pour qu'il l'ait seul, de la probabifité 3tïï2 pour qu'il l'ait en même temps que l'un ou l'autre de ses adversaires, de la probabilité ixs^ pour qu'il l'ait avec deux d'entre eux, ce qui fait trois cas, et de la probabilité m^ pour que les quatre joueurs aient brelan. On déduit des équations (i) ^i=Pi— 3/?î -T- 3/?a — Pk CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 35 et, par conséquent, nj4 = 0,000000659, TÏJ3— 0,000012948^ CT] = , 000386244 1 nji = 0,016345764. La probabilité pour qu'il n'y ait aucun brelan est Q = (i-R,)(i-RO(i-R3)(i-R4), R/ étant la probabilité d'avoir brelan pour le joueur de rang i quand les précédents n'en ont pas. On a évidemment R4=nTj, R3 = CTj -f- tîJj, Rj = CTi -4- 2TïJj-f- Wj, Rj = CTi-h SnJj-i- 3nT3-i- TÏJ4, La probabilité R4 pour que le quatrième joueur ait brelan, les autres ne l'ayant pas, ne diffère pas en effet de Wt, R3, probabilité pour que le troisième joueur ait brelan, les deux premiers ne l'ayant pas, est une probabilité totale. II peut avoir brelan tout seul, la probabilité est TU4; ou l'avoir en même temps que le quatrième joueur, la probabilité est TU2. Les autres formules se justifient par des raisons semblables. On en conclut Ri = joi= 0,017544, R,=:j5l — /?,= 0,OI7l3l2, Rj= jDj— 2/?i-H/?3= 0,016732, R4 = /?i — 3/?î-H 3/?3 — /?4= 0,1634576, Q = 0,93395. 32. Problème XVIIL — Quelle est la probabilité de la chance favorable réservée au banquier dans le jeu de trente et quarante? Le jeu de trente et quarante se joue avec un grand nombre de cartes, réunion de divers jeux complets mêlés en un seul, bien entendu. 36 CALCUL DES PROBABILITÉS. On abal une à une assez de caries pour obtenir une somme de points supérieure à 3o, les figures étant comptées pour lo et les autres cartes pour le nombre des points qui s^y trouvent marqués. Une seconde épreuve suit la première. Le hasard donne ainsi deux sommes toutes deux plus grandes que 3o et égales au plus à 4o. Le joueur parie pour celle des deux sommes qu'il choisit et gagne si elle est plus grande que l'autre. Si les sommes sont égales, le coup est nul. Un seul cas est ex- cepté, celui où Ton a deux fois 3i . Ce refait de 3i est le seul avantage réservé au banquier; il a droit, dans ce cas, à la moitié des mises. Nous supposerons le nombre des cartes assez grand pour que, pendant les deux premiers tirages, on puisse négliger l'influence des cartes sorties sur les probabilités des divers points. S'il y a huit jeux, par exemple, et par conséquent trente-deux sept, la sortie d'un sept diminue la probabilité d'en voir sortir un second. Il serait difficile de dire quelles sont les cartes dont la sortie ac- croît ou diminue la probabilité du refait de 3i. Nous négligerons cette très petite Influence. Soit P/t la probabilité pour que, en abattant successivement les cartes, la somme prenne à un certain moment la valeur n, La somme i ne peut se produire qu'au premier coup, si l'on abat un as. La probabilité pour cela est ~; on a i3 La somme 2 peut se produire de deux manières : 2 au premier coup; as au premier, as au second. On a ^'=ii^-ki = -h{'^Ti) La somme 3 peut se produire de trois manières : 3 au premier coup; passer par la somme 2 obtenue en une ou en deux fois et la faire suivre d'un as; commencer par un as, puis amener un 2. CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 87 On en déduit On a, en général, tant que n est inférieur à lo, ^"^ T3 "^ Tî ^^"^ 73 ^*'^- • "^ 73 ^''-»- On trouve ainsi Pi = 0,076927, P, = 0,082846, P3= 0,089212, P4= 0,096075, P»= 0,108465, P6= 0,11 1124, P7= 0,117995, P8= 0,129226, P9= 0,189166. A partir du point lo, les conditions changent; quatre cartes différentes^ en effet, les dix et les trois figures, peuvent amener dix points. On a Pio=4-+-47(Pi+P«+P3H-...^-P») = o,38o64i. Au-dessus de n = lo, la formule évidente I / P/i == T^ ( P/i— 1 ~+" Prt-t -+-... -H P/i-9 ) H 7 P//-10 P,, = 0,120218, P2Î= O, l426fo. Pi, = O, 124908, Pî3 = O , 145089, Pis = 0, 129618, P,i ^ O, i4736i, Pu = o,i343o4, P,5= 0,149543, Pu = o, 189898, P,6 = o , i5i 192, Pl8= 0,143167, P,7 = 0,132728, Pl7= 0,1^7143, Pî8= 0,154272, Pis = 0, 151978, P,9= o,i55382, Pi9 = o, 1 56o2 1 . P30 = o ,168488, PtO= 0,2l302i, P31 = 0,148218. Pfi = o, 140033, donne L^toicc Je lecture difficile, a trouvé, poui tivbtkbîlité du refait de 3i , 0,^1967. 1 .,,.. .*>.., >,i Jt i'iiiUueiice des cartes déjà passées sur la pro- v,,».:»:^' iv ivÀici i^ui ■iuiveiil et suppose huit jeux réunis. L'in- iL.u.v' >.vi vs'îUc. <>H le voit par la concordance du résultat exact ,iii ^.t\u'. nu l'tt sujiposant le nombre des jeux infini avec le ré- X.;,-»; Af'^vtxK'ho df l'auli-e. U «s- t4«l J*as croire que l'influence augmente lorsque, le jeu ^v»iil«w«aHl, !<■* caries deviennent moins nombreuses. Il s'agît, s-w l'ft'ot, de calculer l'avantage du banquier et non son bénéfice, \.in^lilc avec le hasard des coups. Le calcul doit être fait avant ituc )u prcniiiïre carte soit abattue; si l'on doit, avant d'épuîser les liiiil jou^, faire cinquante tailles, les probabilités de la cinquan- litanie sont, à ce moment, identiquement les mêmes que celles de lu première. Les cartes sorties n'auraient d'influence que si un joueur avait assez de mémoire pour se les rappeler toutes, et assez d'habilelé pour calculer en quelques secondes leur infiucnce sur la proba- bilité d'un refait. Le mérite serait grand, l'avantage bien petit. 33. Pnoni.kMKXlV. — Ext-H a^-antageux pour le ponic ou pour le bniujiiier de demander une carte au jeu du baccarat quand il a le point 5? L'élude mathématique du jeu de baccarat est compliquée par la nécessité d'énumércr les cas, toujours nombreux, en faisant pour dinciin un petitcalcul. Le ])onte reçoit deus cartes, le banquier en prend deux. Le ponte a droit de demander une carte qui s'adjoint aux deux pre- mic'res, on de s'v tenir en gardant son jeu. CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 89 Le banquier a les mêmes droits, mais il a Tavantage, avant de prendre sa décision, de savoir si Tadversaire a demandé une carte et de connaître celle qu'il a reçue. Chaque carte vaut, comme au trente et quarante, le nombre des points marqués sur elle. Les figures valent lo. Le gagnant est celui qui a le point le plus fort, les chiffres des dizaines ne comp- tant dans aucun cas : ii vaut i; 12 vaut 2; 28, si l'on a trois cartes, vaut 3. Le jeu se termine immédiatement si l'un des joueurs reçoit, quand on donne les cartes, Tun des points 8 ou g. Il abat et gagne si l'adversaire n'a pas un point meilleur. Dans ce cas, il n'est pas donné de cartes nouvelles. Tous les points, à l'exception de 10 (ou zéro) ont même pro- babilité quand on donne les cartes : la probabilité de 10 est j^^- o, 1479» celle de chacun des autres -^ = 0,09467. La dé- monstration ne présente aucune difficulté. Quand un joueur demande une carte, quel que soit le point qu'il ait, il a probabilité jj de le conserver en recevant un dix et probabilité -^ de le changer pour un quelconque des autres points, qui deviennent tous également probables. Nous traiterons une seule question. Lorsque le ponte a reçu le point 5, est-il avantageux pour lui de demander une carte? Il faut résoudre quatre problèmes : Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelle est pour lui la probabilité de gagner et quelle est celle de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, sait qu'il a l'habi- tude, quand il a ce point, de ne pas demander de carte? Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, croit qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de demander une carte? Le ponte ayant 5 et demandant une carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier connaît son habitude de demander une carte dans 40 CALCUL DES PnOBItOILITÉS. celte circonstance ou lorsqu'il croît savoir qu'il n'en demande Résolvons le premier problème. Le ponle a 5, Le banquier l'ignore. Ea le voyant s'y tenir, il ap- prend qu'il a 5, 6 ou ^. Ces trois cas ont chacun pour probabilité ^. Huit suppositions peuvent être faîtes : le banquier peut avoir o, i a, 3, 4) 5, 6 ou -. Les probabilités des huit bypotbèses étaient ~f pour le point o et 5^ pour les autres, au moment où les carte:) ont été données. Mais on n'a pas abattu; les points S et g ne sont plus possibles. Les probabilités deviennent et Que fera le banquier? S'il an, i, a, 3, .i, îl prendra une carte. Il pourra hésiter s'il a 5 ou 6, et îl faut résoudre cette question incidente : Dans les circonstances supposées, c'esl-à-dire le ponle s'y étant tenu et ayant l'habitude de ne pas tirer à 5, le banquie: doit-il lirer à 6? doîl-il tirer à 5? Nous ferons le calcul pour le cas où le banquier a le point fi: il se compose de deux autres : Quelle est la probabilité de gagner pour le banquier qui, ayant 6, demande une carte dans les conditions supposées? Quelle est la probabilité s'il ne demande pas de carte? Si le banquier ne tire pas ayant 6, il a probabilité i de perdre le ponte ayant 7, y de gagner le ponte ayant 5, | de faire coup n Si le banquier, ayant 6, demande une carte, îl acquiert la pro- babilité j^ d'avoir chacun des neuf points autres que 6 el ^ d'a- voir celui-là. La probabilité de perdre contre l'udversoire dont le point est 5, 6 ou 7 doii s'évaluer par l'énuméralion des cas ; lia la probabilité ^ de perdre avec les points u, t, a, 3, 4> la probabilité ~ pour avoir, avec le point 5, probabilité ; de faire coup nul et^ de perdre; la probabilité ~ pour avoir, avec l* WP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. ^l jf probabilité -j de gagner, { de faire coup nul et ^ de perdre ; otbilité "5^ pour acquérir, avec le point 7, probabilité | de ga- jperi \ de faire coup nul; probabilité j^^ enfin, de gagner avec le f jtàai 8 ou avec le point 9. La probabilité de gagner est, d'après cette énumération, celle de faire coup nul 73 3 "^ 73 3 "^ T3 :i ~" Ti La probabilité de gagner était ^; elle devient ^ : elle a diminué. Celle de faire coup nul a également diminué ; le banquier, dans les conditions supposées, ne doit pas tirer à 6. Un calcul fondé sur les mêmes principes et tout aussi facile montre que, dans les conditions supposées, le banquier doit tirer à 5. Sans énumérerles cas possibles, qui deviennent plus nombreux quand le ponte a reçu une carte supposée connue, nous nous bornerons à donner les résultats. Le ponte se tient à 5, le banquier sachant qu'il a cette habi- tude. Le sort du ponte qui a 5 est le suivant : Probabilité de gagner 0,444^94 » de faire coup nul. 0,085907 » de perdre 0,469400 Le ponte qui a 5 demande une carte, le banquier sait que telle est son habitude. Le sort du ponte qui a 5 est le suivant : Probabilité de gagner o, 444348 » de faire coup nul. 0,120935 » de perdre 0,434717 42 CALCUL DES PROBABILITÉS. Tels sont les résultats du calcul lorsque le ponte ne cherche pas à tromper le banquier sur ses habitudes. Si le ponte qui a 5 s'y tient, faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de demander des cartes, le sort est le suivant : Probabilité de gagner 0,4^9612 » de faire coup nul. 0,094890 » de perdre o,4i5497 Si le ponte, ayant 5, demande une carte en faisant croire au banquier qu'il a l'habitude de s'y tenir, son sort est le suivant : Probabilité de gagner 0,4471 13 » de faire coup nul. o, 126463 » de perdre o, 4^6424 L'étude n'est pas complète. Si le banquier ignore ce que fait le ponte quand il a 5, doit-il tirer à 6? Quelle est, dans cette indé- cision, la chance du ponte qui a 5? 11 est impossible de la calculer : elle dépend de la chance qu'il y a, quand il aura pris son parti, pour que le banquier se trompe ou devine juste en se demandant ce qu'il fait quand il a 5. En résumé, le ponte doit-il se tenir à 5, doit-il tirer? Si, sans jouer au plus (in, dès le début de la partie, il déclare franchement ses habitudes, il doit tirer à 5. Si les conventions du jeu permettent la ruse, il doit se tenir à 5, en faisant croire au banquier, s'il le peut, qu'il a l'habitude de tirer. 3i. Problème XX. — n-\-i joueurs 2^.^^ Aj, ..., A„^i jouent aux conditions suii^antes : A| et A2 jouent une première partie ; Ai remplace le perdant ; A4, A5, ... luttent successivement contre le perdant de la partie précédente, La poule continue ainsi j'usqu^à ce qu^un j'oueur ait gagné successii^ement tous les autres, et par conséquent n parties de suite. Quelle est la pro- babilité pour que la partie se termine au coup de rang xf CHÀP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 4 3 Le joueur qui gagne la poule au coup de rang x est entré au jeu au coup de rang x — /i -f- 1 ; il a gagné ce coup et les n — i suivants. On peut partager cette hypothèse en ai — i autres, en distinguant les cas d'après le nombre des parties gagnées par l'ad- versaire du joueur dont nous parlons au moment où celui-ci est entré au jeu. Soit p\ la probabilité pour que ce premier adversaire ait gagné une seule partie, la probabilité pour que cette hypothèse se pré- sente et fasse gagner la poule au coup de rang x est mais on a évidemment /^t:;^' yx-i = /'J j;pï Car, si la partie se termine au coup de rang x — i , le joueur qui la gagne avait une partie gagnée déjà au coup de rang x — /i -h I , et il en a ensuite gagné n — i sans interruption. La probabilité pour que la poule se termine au coup de rang x^ le joueur qui la gagne ayant rencontré d'abord un adversaire qui n'avait gagné qu'une seule partie, est, d'après cela, I Soit p^ la probabilité pour que le gagnant de la poule au coup de rang x ait eu pour premier adversaire un joueur ayant gagné deux parties déjà, le terme correspondant de la valeur de y'x sera On a, évidemment, par conséquent, ^«i* _ I J'or-J - />s j;^ ; I est le second terme de la valeur de^x- I I CU-CITL DES PROBABILITÉS. Le t^ttlsouDemeut successivement appliqué à chacun des cas dor^- ucrii I Ou a> évideminenl, •2"-* LViiuaùon (i)y à Taide de ces données initiales, fera connaître i^ |*owr ^ :--:/» 4- I et pour les valeurs suivantes. 35, Nous donnerons, pour terminer ce Chapitre, l'énoncé de uuf Iques problèmes empruntés pour la plupart à Moivre et dont U Holution est facile. PnuitkMRXXI. — Probabilité pour obtenir une /ois le point i, (*/ une /ois seulement, en jetant quatre dés. iU9b ' PiioBLÈME XXII. — Pierre parie que, en jetant cinq dés, ii obtiendra une /ois le point i et pas davantage. Quelle est la probabilité de gagner? 1— =0,59813. PiiODLÈME XXIII. — Quelle est la probabilité pour que, sur cent essais successi/s avec un seul dé, on obtienne une /ois au moins une succession de cinq as sans interruption? 0,OI05>6. Problème XXIV. — Pierre parie d^ amener en trois coups, avec deux dés, le point 5 et le point 7, chacun une /ois. Quelle est sa probabilité pour gagner ? 3^ = 0,0956. CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 45 Problème XXV. — Pierre entreprend d^ obtenir le point n avec deux dés avant qu'aucun autre ne se soit produit deux Jois. Quelle est la probabilité de gagner? 73o3 . Problème XXVI. — Pierre Jette trois pièces de monnaie, Paul en jette deux; celui des deux qui amènera le plus de faces gagnera. Si les nombres sont égaux, on recommencera répreuve jusqu'à ce qvLelle donne un résultat» Quelle est la probabilité pour que Pierre gagne? 8 ■ ■ ■ • I I Problème XXVII. — Pierre lance un dé et recommence au- tant de fois quHl faudra pour amener, soit deux fois le point i, soit Vun des points i ou 3. Quelle est la probabilité d^ amener deux fois le point i? I — • 9 Problème XXVIII. — Pierre et Paul jouent avec deux dés, Pierre gagnera par le point 7, Paul par le point 6. Paul joue le premier et ils jettent les dés alternativement jusqu* à ce que Vun d^eux ait amené le point qui le fait gagner. Quelle est la probabilité de Pierre? 3^ 61* Problème XXIX. — Pierre et Paul jouent avec deux dés; Pierre jette les dés deux fois. S'il obtient le même point, il gagne. Si les points sont différents, il continue à jeter les dés jusqu'à ce qu'il ait obtenu l'un des deux premiers points. Il gagne si c^est le premier. Quelle est la probabilité de gagner? ^'' =o,5563. 1296 4^ CALCUL DCi piOBxaiLrrts- Pboblème \XX. — On yV^r.' ^"> i'iir rinq pièces de monm Que 11*^ *f.%t U i p ro h' i h îlû'^ p* ;• /^ r ■/ '* V //r* * montrent trois pila deux facfs? • n Problème \XXI. — Pi-frr^ •^: Paul jouent à un d 'adresse . L e :r a i' nant. :ip rès •; h mi u e partie . m a njue un peu Le jeu de\rient èiZ'il lorijjue Pie^-re. plus habile que Paul, rend dt^nx points iur trois, '[ui /•••nt :za:zner la partie. Qut eu. n rhiitjue partie, ir probahidc-f d'i ::ain p*?ur Pierre? Pboblexe XAXII. — Pi-^rr»^ -?: P. ZjlI jouent aux condiiL ** n •:■ n r^fes dans le p n:- hlèm** pr^. ^:^i:^ n : . Pi,f rre peut, sans de V an t'j :se ii .s^^an d i;ze. r*fi.. in* unp •; in : sur trois, Oue lie €St pi i\ c ■'. : p n: h*. : h ilicr' p • irf :z . z^'^e - "t .7 -i partie ? Lit nrcorc = r est «ionaè par IVr^uaûon : — ;- - J' — ; J= — C -'. E' i : 3 1 i-T^ S. XAII I . — f "T ^ i.c-fie ;■: n : ie.i : i/i :nfs s'^ti a-.r - Pj -.1.1-*» WXr'v — Pt" < ,"' ' v:> £' 40 :ao idlets. :i * '/.':? -•:. p.''-'. .--'•"f *•>-•: t:,".".--:!. Oj,e'Le -fst u. jmfM/HU " «... r - - * r = ; 1 i'î 1 c «î 1 c T -"*. CHÀP. II. — PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 4^ Quelle est celle de les avoir tous les trois? — - = 0,008, à peu près. Problème XXXV. — Combien Pierre devrait-il prendre de billets, à la loterie indiquée au problème précédent, pour avoir chance ^ de gagner un des lots? 8252. Problème XXXVI. — Une loterie, sur looooo billets, doit donner loooo lots. Combien faut-il prendre de billets pour avoir chance \ de gagner un lot ? Le calcul donne 6,6. Avec 7 billets, la probabilité de gagner un loi, au moins, est 0,62172; avec 6 billets, elle est 0,46867. Problème XXXVII. — Une loteiie, sur 1000 billets, promet trois lots. Quelle est la probabilité, avec trente billets, de gagner un lot? .?Zi4?76_ =0,0871. 99700200 ' Problème XXXVIII. — On a dans une urne trente boules, dix blanches, dix noires, dix rouges; on en prend trois au hasard. Quelle est la probabilité pour avoir une boule de chaque cou- leur? Problème XXXIX. — En combien de coups, avec trois dés, peut-on parier, avec chance égale ^ d* amener trois as deux fois? 36 1 coups. Problème XL. — En combien de coups, avec trois dés, peut-on parier, avec chance égale, d^ amener deux fois le point 1 5 ? 45 coups. ■ r — i j'iij*. CHAP. 111. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 49 CHAPITRE III. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. Hoc ntrobiqae atar fandamenlo : nimirum, in aloan ludo lanti «ttimandam est cujaiqae sortom. son expec- tationem ad aliquid obilnendam, qaanlnm tl habaat, pos- slt denno ad ilmllem lortem sire expectationem perre- nire, nqua condltione oertans. HOTGKÏIS. 36. Définition de Tespérance malhématique. — 37. Assertion exagérée de Pois- son. — 38. La recherche de l'espérance mathématique et celle de la probabilité sont deux problèmes distincts. — 39. Exemple de la simplification d'un pro- blème par la recherche directe de l'espérance malhématique. — 40. Second exemple. — 41. Troisième exemple. — 42. Quatrième cxemple^xlans lequel la recherche de l'espérance mathématique fait connaître la probabilité. — 43. Cal- cul d'une espérance mathématique déduite des probabilités des divers cas pos- sibles. — 44, Problème sur le jeu de dés. — 45. Discussion de la formule ob- tenue. — 46. La valeur probable d'une fonction n'est pas déterminée par celle des grandeurs dont elle dépend. — 47. Exception relative aux sommes et aux produits quand les facteurs sont indépendants. — 48. Paradoxe de Saint-Pé- tersbourg. — 49. Insuffisance des explications proposées par Condorcet et par Poisson. — 50. La réponse du calcul est parfaitement raisonnable et n'a be- soin d'aucune justification. — 51. Insignifiance de l'explication proposée par Daniel Bernoulli et devenue célèbre sous le nom de théorie de l'espérance morale. 36. Le sort des joueurs a été la première préoccupation des créateurs de la théorie du hasard. On le nomme aujourd'hui es- pérance mathématique, il est la valeur équitable des avantages encore incertains que font espérer les conditions du jeu. L'espérance mathématique, dans un jeu équitable, est, pour chaque joueur, égale à sa mise qui, livrée au jeu, ne lui appar- B. 4 ■'■*( :)o <:Aixri. i)i.s I'iiobabu.itks. ticnl plus. Cette égalité traduit la dcHnition : le joueur échanj sa mise contre une espérance malhématique. Si TéquivaleiK n'existe pas, le jeu n'est pas équitable. L'espérance mathématique de celui qui a la probabilité p ( recevoir la somme S est mesurée parle produites. Si n personnes, en elFet, ont sur la somme S des droits égau: S ils peuvent équitablement la partager et prendre chacun -ou tirer au sort et accepter pour part la probabilité - d*oblenir S. 1 quelques-uns des avants droit, au nombre de m, s^associent, c ])Ourra leur offrir équitablement, soit le partage donnant à lei association — — ? soit la i)rol)abilitc — de recevoir S- Les dei Il * /* offres sont donc équivalentes. 37. Poisson a écrit : u Si le gain espéré par une spéculatic est (Joooo*^^ et que ^ soit la probabilité de l'obtenir, la pcrsoni qui devra recevoir cette somme éventuelle pourra considérer tiers de (ioooo*^' comme un bien qu'il possède et que Ton devn comprendre dans l'inventaire de sa fortune. » Poisson va trop loin. Le plaideur engagé dans un procès qu a neuf chances sur dix de perdre et qui, en cas de gain, doit 1 rapporter i million, mentirait en disant qu'il possède looooo Un homme prudent, sur une telle garantie, refuserait de I prêter ;')oo'^^ Son espérance mathématique vaut looooo*^^, ms vraisemblablement il ne trouvera pas d'acheteur. Cette confusion entre une espérance mathématique et la ccr titude d'une somme équivalente a fait naître de graves difl]cult< Nous aurons à y revenir. 38. Si la somme espérée est connue, la recherche de la prol bilité et celle de l'espérance mathématique forment un méi problème. Il en est autrement lorsque les conditions du jeu ii pliquent la possibilité de gagner ou de perdre, suivant les cas, pi sieurs sommes diflerenles. Si des événements ayant pour probabilités py , /?,, . . . , /;j| do 9- t CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 5l nent droit aux sommes S|, So, ..., S,,, Tespérance mathématique est Celui qui doit, suivant les cas encore incertains, recevoir Tune ou Tautre des sommes Si, S27 • • -, S^, peut vendre ses droits et, par des marchés équitables , échanger ses chances contre les sommes /7i S I, /72S2y ...,/?rtS„ qui donneront droit à n ache- teurs différents de toucher en son lieu et place, le premier la somme S|, si c'est celle qui lui échoit, le second la somme S2) ..., et enfin le dernier la somme S,|. . Le règlement des comptes ne fera naître aucune difficulté, puisque deux acheteurs, d'après les conventions, n'auront jamais à réclamer la même somme. L'espérance mathématique est connue quand les probabilités des divers cas possibles ont été calculées. Mais il est plus aisé, quelquefois, de la chercher directement sans s'occuper des termes qui la composent. 39. Problème XLIIL — Pierre et Paul jouent au jeu de ren- contre. Une urne contient jjl numéros marqués i, 2, 3, ..., jjl. Paul tire successivement les [jl boules et s^ engage à donner à Pierre i^'^ chaque fois qu^un numéro sortira à son rang. Quelle est V espérance mathématique de Pierre? S'il fallait évaluer la probabilité des divers cas possibles, le problème, sans être difficile, exigerait de longs calculs. En nommant pi la probabilité pour qu'il y ait i rencontres, l'espérance demandée est La somme est plus aisée à calculer que chacun des termes qui la composent. L'espérance mathématique de Pierre est, à chaque tirage, -• La somme espérée est en effet 1^', et la probabilité de l'obtenir -• 52 CALCUL DES phobâbilités. La probabilité au moment où le tirage va se faire dépend des nu- méros sortis antérieurement. Si le numéro i est sorti déjà, la pro- babilité de le voir au «*'*"• tirage est nulle. S'il n*est pas sorti, elle est -. Mais c'est au début du jeu qu'il faut la calculer, et la probabilité est alors - • L'espérance mathématique de Pierre, étant pour chaque tirage -) est, pour les [x tirages, [jl-; c'est-à-dire i*'. 40. Problème XLIV. — Une urne contient des boules noires et des boules blanches; la probabilité de la sortie d'une boule blanche est p, celle de la sortie d'une boule noire est q. On fait [X tirages en remettant chaque fois dans Vurne la boule qui en est sortie, Pierre recevra i^^ chaque fois qu'une boule blanche sortira, précédée et suivie par une boule noire. Quelle est, pour l^ ensemble des jx tirages, V espérance mathématique de Pierre? La probabilité pour que le tirage de rang i donne à Pierre le droit de recevoir i'' est pq^, car il faut le concours de trois évé- nements dont les probabilités sont X — = — : II 1 1 elle est plus petite que sa mise. Le jeu est avantageux à Pierre. ^. Problème LXVIIL — Un nombre n de joueurs ayant déposé chacun i^^ jettent un nombre |jl de dés, V enjeu total appar- tiendra à celui qui amènera la plus grande somme de points, ou sera partagé entre ceux qui auront amené le même nombre de points, plus grand que celui des autres joueurs, Pierre joue le premier, il amène k points. Quelle est, avant que les adversaires aient joué, son espérance mathématique? Les /i^' qui forment l'enjeu total appartiendront à Pierre si aucun des adversaires n'amène un point égal ou supérieur à k\ ils seront partagés entre m + i joueurs si, aucun n'amenant un point supérieur kk^ m des adversaires amènent k. La probabilité d'amener avec [x dés un point donné est connue 58 * CALCUL DES PROBABILITÉS. par le Tableau donné (19), qu'il serait aisé d'étendre au cas d'un plus grand nombre de dés. Nommons qk la probabilité d'un point supérieur à k et pk celle d'un point précisément égal à k\ la pro- babilité d'un point inférieur à k sera Pour que Pierre ait part à l'enjeu, il faut qu'aucun des points . ne soit supérieur à A'; la probabilité pour qu'il en soit ainsi est (i — Çfi)"~^' Soient/?]^la probabilité, dans cette hypothèse, d'amener le point k et r]^ celle d'amener un point inférieur. La probabilité pour que Pierre partage avec i de ses adversaires est î-i ^'3 . . . (n ï ) ,, ^tn-i-i 1 .2.3. . ./. 1 .'2.3. . .(/A I î)^*"' ^ L'espérance mathématique de Pierre est (^-ç,.)n-'n^rr'-^'^in-i)rr'pk I (n— l)(/l — 2) jn-i^'i . . l 'n-ll égale évidemment à ^'~f.^^''"' [(rl. + /,)"-/-'n, Pk et, à cause de rj^-\- pf^=z i, puisque r'/^ ^^Pk sont les probabilités de deux événements contraires, Pk il reste à calculer r'f^ et/>)^. Le rapport de z]^ à/>]^ est le même que celui de r/ç kpj^. L'hypo- thèse faite qu'aucun numéro supérieur à k n'est sorti diminue en effet le nombre des cas possibles, sans changer celui des cas favorables à l'arrivée d'un nombre de points égal ou inférieur à k. Les numérateurs de /J^ ^^ ^^ Pk sont, avec un même dénomina- CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. DQ leur devenu plus petit, ceux de rk et de p^. On a donc Pk Pk et, puisque r]^ +^]^ = i , ''A = » f'K -^ Pk Pk ^^ l'k -^ pk 46. Un problème intéressant peut être résolu : Pierre ayant obtenu le point A*, quel est le nombre d^ad\ev' saires le plus favorable à ses intérêts, c'est-à-dire quel est celui qui lui laisse la plus grande espérance mathématique? En accroissant le nombre des joueurs, on accroît la somme à par- tager, mais on diminue la chance d'y avoir part et celle de l'avoir tout entière. 11 faut déterminer n de manière à rendre (i) maxi- mum. En égalant à zéro la dérivée par rapport à /i, on obtient Cette équation fera connaître la valeur de /?. Si Pierre a amené le point le plus élevé possible, on a qf!= o; r" est nul et n infini. Pierre, dans ce cas, certain d'avoir une part, a avantage à accroître sans limite le nombre de ses adver- saires. L'espérance mathématique de Pierre ne grandit pas indéGni- nicnt. La formule (i), quand on y suppose qk=o et n infini, se réduit à 1 7k' L'enjeu total n devant être partagé entre tous ceux qui auront le point maximum, pour que chaque part soit -r « il faut que le nombre des partageants soit np'j^, p\y quand k est le plus grand des points possibles, ne diffère pas de pk» npk est le nombre 6o CALCUL DES PROBABILITÉS. probable de ceux d'entre les n adversaires qui amèneront le point maximum dont la probabilité est /7a* Le Tableau suivant donne les résultats relatifs au cas où Ton joue avec trois dés. Pierre ayant amené au premier coup l'un des points inférieurs au maximum i8, la première colonne donne le point obtenu, les deux suivantes donnent les probabilités dési- gnées dans la formule par /?a et qk \ le nombre d'adversaires le plus avantageux pour chaque valeur de k est inscrit dans la qua- trième colonne; la cinquième donne la valeur de (i — y*)"? proba- bilité pour que Pierre ait une part. 0,634140 o,555go2 k. Qk- Pk- n. «7 ! 216 3 216 98 , 1 56o( 16 4 216 6 216 31,4127 1 j 10 216 10 21G i3,i234 14 2<) 216 1 3 216 6,5174 i3 35 216 21 216 3,29i3 11 56 216 25 216 1,6404 10 8! 216 î*7 216 f 9 108 216 27 2 [6 u 0,529248 0,530862 0,558870 o,6ii2i5 » Si Pierre avant lancé six dés a obtenu cinq 6 et un 5, on aura 6 6* Pt^ = i;6 Le nombre d'adversaires le plus avantageux est i5i44 et la probabilité de recevoir une part est, dans ce cas, o,723o35. CHAP. III. ESPÉRAKCE MATHÉMATIQUE. 6l 47. Lorsque les valeurs probables de plusieurs grandeurs sont connues, on ne connaît pas pour cela la valeur probable d*une fonction donnée de ces grandeurs. La valeur probable d'une grandeur inconnue a est, par défini- tion, l'espérance mathématique de celui qui devrait recevoir une somme égale à a. Si a peut prendre, selon les décisions du hasard, les valeurs a,, tto, . . ., a,|, et que, pour chacune d'elles, les probabilités soient P\y Pu •••>/>//, la valeur probable de a est La valeur probable de a'^ est elle est très différente du carré de la valeur probable de a. Si deux grandeurs a et b ont pour valeurs probables A et B, la valeur probable de r n'est pas -=r» On peut même remarquer que si o est une des valeurs possibles de ft, si peu probable qu'elle soit, la valeur probable de 7 est infinie. 48. Deux cas importants sont à noter. La valeur probable d'une somme est la somme des valeurs probables des parties de la somme. C'est la conséquence immédiate de la définition. La valeur probable d'un produit, quand les /acteurs sont in- dépendants, est le produit des valeurs probables des facteurs. Soient a et 6 deux grandeurs. La première peut recevoir les va- leurs ai, ao, . . -, a/i, dont les probabiliti^s sont /?|, /?2, . . ., /^/i- ^21 seconde peut avoir les valeurs j3,, jîo, . . . , ^mj dont les probabi- lités sont Çi, Çi^ . . ., Çm- Les valeurs probables sont leur produit est la somme des termes tels que Piqi'^i^i'j 02 CALCUL DES PROBABILITÉS. qui représentent les produits de toutes les valeurs possibles a/^/' du produit ab par leurs probabilités />/(jr|'. Si l'arrivée de l'événement a exerçait une influence sur celle de fr, la probabilité de l'association de a, avec ^i» ne serait pas (23) le produit/?/ (7/'. Si, par exemple, b est égal à a*, les valeurs possibles de a étant a,, ao, . . . , a„, celles de b sont aj, a^, . . . , a,^. Si a est égal à a/, il est certain que 6 sera t.^, 49. Paradoxe de Saint-Pétersbourg, — On a opposé les in- dications du bon sens aux décisions de la théorie et pour con- damner les principes allégué leurs conséquences. La discussion, jusqu'ici, n*a pas dissipé la méprise. La théorie, pourtant, est irréprochable; il n'est pas juste de lui opposer Tabsurdité de ses conseils : elle n'en donne pas. Il est déraison- nable d'exposer au jeu une forte somme, indélicat d'accepter un risque qui peut rendre insolvable. Le Calcul des probabilités doit ignorer ces sages appréciations. On joue, c'est l'hypothèse. A-t-on tort ou raison? La question n'est pas posée. On cherche les conditions équitables du jeu sans se demander si elles sont raisonnables, ni établir aucune relation entre cette question, que l'on ne veut pas aborder, et le problème à résoudre. Le parti raisonnable, si les risques sont grands, est de ne pas jouer. On peut, en acceptant des conventions strictement équitables, faire un acte de folie ou commettre une escroquerie. La remarque, pour être incontestée, ne change pas la théorie du jeu équitable. La confusion est analogue à celle que faisait Poisson (37), en por- tant une espérance mathématique dans l'inventaire d'une fortune. Pierre, pour toute fortune, possède looooo*^, il veut avoir une chance de gagner loo millions. Rien n'est plus facile, répond sans s'émouvoir le géomètre qu'il consulte. Si le jeu est équitable, vous aurez 999 chances sur 1000 de perdre vos looooo**". CHAP. III. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 63 La réponse doit s'arrêter là. Si Pierre trouve 999 personnes dé- sireuses comme lui de gagner 100 millions et résignées comme lui à la presque certitude de perdre 100000'^'', ils organiseront une loterie de 1000 billets à 100000^*^ le billet. Le jeu sera équitable, la théorie le déclare, le bon sens le dé- montre, et Pierre, cependant, sera très justement interdit comme insensé. Le problème de Saint-Pétersbourg est devenu célèbre par l'in- génieuse combinaison des conventions faites pour dissimuler Pé- Dormité des mises, ou, pour être plus exact, des engagements. Pierre et Paul jouent aux conditions suivantes : Pierre jette une pièce de monnaie. Si elle montre face, il don- nera i*' à Paul. Si elle montre pile, il jettera la pièce de nouveau. Si face arrive au second coup, il donnera 2*^'' à Paul. La pièce sera jetée jusqu'à la première arrivée de face qui termine la partie. S'il a fallu la jeter n fois, Paul recevra 2""' ^^. Quelle est l'espérance mathématique de Paul? Elle est inGnie. Paul, en effet, recevra, selon le nombre des coups qui seront joués, une somme égale à l'un des termes de la suite illimitée I o { 8 'l'i Les probabilités pour lui de recevoir ces différentes sommes sont I I r I L'espérance mathématique de Paul est, par conséquent, I l ^ ! I IX--4-2X -7-+-4X 3-h...-|-'2«X 2 4^8 2«-*^l ' elle se compose d'un nombre infini de termes qui sont tous égaux Quel que soit le prix dont il paye la promesse qui lui est faite, le marché sera avantageux à Paul. Qui voudrait cependant risquer loo*^' à un tel jeu? 64 CALCUL DES PROBABILITÉS. 50. Les réponses proposées au prétendu paradoxe sont nom- breuses. D'Alembert écrivait à Lagrange : « Votre Mémoire sur les jeux me fait désirer beaucoup que vous nous donniez une solution du problème de Pétersbourg, qui me paraît impossible en admettant les principes connus. )> Les conditions du jeu impliquent contradiction, ont dit Con- dorcet et Poisson. Pierre prend des engagements qu'il ne peut tenir. Si face ne se présente qu'au centième coup, le gain de Paul représentera une masse d'or plus grosse que le soleil. Pierre le trompe en la lui promettant. L'observation est juste, mais n'éclaircit rien. Si Ton joue des centimes au lieu de francs, des grains de sable au lieu de cen- times, des molécules d'hj^drogène au lieu de grains de sable, la crainte d'être insolvable peut diminuer sans limite. La théorie ne doit pas faire la différence. Elle ne suppose pas non plus qu'avant chaque jet de la pièce on dépose la mise. Queibltque soit la dette de Pierre, la plume peut l'écrire, on réglera les comptes sur le papier; la théorie triomphera s'ils confirment ses prescriptions. Le hasard très probablement, on peut dire très certainement, finira par favoriser Paul. Quel que soit le prix dont il paye, à chaque partie, la promesse de Pierre, le jeu, s'il est tenace, l'enrichira sans limite. Pierre, insolvable ou non, lui devra une somme immense. 51. Si une machine pouvait jeter looooo pièces par seconde et enregistrer les résultats, Paul, en payant looo*^^ par partie, s'en- detterait sans doute d'une centaine de millions par seconde; il n'en ferait pas moins, après quelques millions de milliards de siècles, un bénéfice colossal. Les conditions du jeu le favorisent, et la théorie a raison. On peut, sans calculs, rendre l'assertion évidente : Supposons, pour ne pas aborder de trop grands nombres, que Pierre s'engage à faire i milliard de parties. Cherchons quelle somme Paul peut espérer recevoir, sans pré- sumer pour lui le hasard bénévole. Sur I milliard de parties, il faut s'attendre à en voir 5oo mil- CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 65 lions pour lesquelles Paul ne recevra que i**". On ne peut s'é- tonner d'amener face qne fois sur deux. Si le nombre est moindre, Paul aura du bonheur; nous ne voulons pas lui en supposer. La seconde moitié des parties jouées commencent toutes par l'arrivée de pile. Le second coup amènera face vraisemblable- ment aSo millions de fois : une fois sur deux. Paul, pour chacune de ces parties, recevra 2*^**; il doit, de ce chef, espérer 5oo millions. Les 2 00 millions de parties restantes commencent par deux fois pile; pour la moitié d'entre elles, on doit s*'y attendre, face arri- vera au troisième coup, Paul recevra 4*'; c'est encore 5oo millions qu'il peut raisonnablement espérer. On peut renouveler trente fois le même raisonnement et voir clairement que l'ensemble des par- ties doit vraisemblablement rapporter à Paul, d'après les condi- tions convenues, une quinzaine de milliards. Le hasard, évidem- ment, peut le favoriser et accroître la somme, ou le maltraiter et la diminuer; mais, en donnant lo*^*' par partie, 11 a des chances sé- rieuses de ne rien perdre. Si Pierre doit faire loo parties seulement, les chances sont diffé- rentes; Paul, en donnant iS^*" par partie, aurait grande chance de se trouver en perte. Les conditions du jeu lui seraient toujours avantageuses; mais son avantage résulterait des gros bénéfices possibles^ dont la chance est petite. Si, au contraire, au lieu de i milliard de parties, on en devait faire looo milliards, Paul, au lieu de lo^*^, pourrait donner 20'*^ par partie, avec chance sérieuse de recouvrer 20000 milliards, sans compter, bien entendu, pour rien dans cette appréciation sommaire la possibilité de gagner des sommes immenses, dont le calcul exact a dû tenir compte. 52. La réponse la plus singulière faite au prétendu paradoxe est celle de Daniel BernouUi qui, le premier, a tiré de l'oubli cette question autrefois proposée par son cousin Nicolas. 100 millions, suivant Daniel BernouUi, ajoutés à une fortune déjà acquise de 100 millions, ne suffisent pas pour la doubler. Quels avantages nouveaux peuvent-ils procurer? B. 5 6() CALCUL DES PROBABILITÉS. Il siibstilue, en conséquence, à l'espérance mathémlatique l'es- pérance morale, dans le calcul de laquelle une fortune dépend non du nombre d'écus dont elle se compose, mais des satisfactions qu'elle procure. Le problème étant ainsi posé, BernouUi a l'audace de le ré- soudre. La solution est simple. Un accroissement dx ajouté à une fortune x vaut — Celui dont la fortune était a et devient b gagne un avantage mesuré par f''^=lb-la. Jamais compte n'a été ni ne sera réglé de la sorte; mais, grâce à d'illustres approbations, la théorie de l'espérance morale n'a pas moins contribué à la célébrité de Daniel Bernoulli que ses ad- mirables travaux de Physique. 53. Buffon a accru par son éloquence l'importance, je veux dire le retentissement de l'idée de Bernoulli. La théorie de l'espérance morale est devenue classique, jamais le mot ne put être plus exactement employé : on l'étudié, on l'en- seigne, on la développe dans des livres justement célèbres. Le succès s'arrête là, on n'en a jamais fait et n'en pourra faire aucun usage. L'importance d'une somme d'argent diminue avec la fortune de celui qui la reçoit. « L'avare, dit BufTon, est comme le mathématicien : tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique. L'homme sensé n'en considère ni la masse ni le nombre. Il n'y voit que les avantages qu'il peut en tirer. Il raisonne mieux que le mathématicien. L'écu que le pauvre a mis à part pour payer un impôt de néces- sité et l'écu qui complète les sacs d'un financier n'ont pour l'avare et le mathématicien que la même valeur. Celui-ci les comptera par unités égales, l'autre se les appropriera avec un plaisir égal, au lieu que l'homme sensé comptera l'écu du pauvre pour un louis et l'écu du financier pour un liard. » CHAP. III. — ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 67 Un commentateur, qui n'est pas sans mérite, Quételet, a ajouté, pour faire mieux comprendre une théorie qu'il expose et approuve : « Ainsi 1000*' pour celui qui ne possède que 2000*^*" ont la même importance que 5ooooo*^^ pour celui qui possède 1 mil- lion. » Si, par ce fier dédain de la fortune lorsque le nécessaire est assuré, on échappe au reproche d'avarice, c'est pour en mériter un plus grave. Celui qui possédant un million en acquiert un second changera fort peu, pas du tout peut-être, les habitudes de sa vie. Est-ce là, pour qui n'est pas avare, le seul fruit de la richesse? Si l'homme sensé dont parle BufTon n'est pas un cynique égoïste, il pourra, sans thésauriser, faire bon usage des millions qu'on lui suppose. On pourra les doubler, les décupler et les dou- bler encoHB, sans ralentir la progression constante du bien qu'il peut faire. N'a-t-il pas une famille à enrichir, des misères à sou- lager, de grandes œuvres à créer ou à faire naître? Il évitera, s'il est sage, de jouer gros jeu, même à des conditions équitables; mais, s'il ne porte pas, si riche qu'il soit, looooo'*^ par jour à la roulette, la crainte de la perte l'arrêtera beaucoup plus que le mé- pris du gain. 68 CALCUL DES PROBABILITÉS. CHAPITRE IV. THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI, Uoc igitar est Illud problema, qnod CTulgandum hoc loco proposai, postquaiu Jam per Tlcennium pressi. et cujus tum nof itas, tam summa utilitas cum pari conjuncta diOicultato omnibus rrliquis hujus doclrlnaj capitibus pondus et prctiuin superaddere potcst. Jacobos Berjiovlli. 53. Régularité observée des résultats du hasard. — 54. Probabilité ^s épreuves, répétées. — 55. Evénements dont la probabilité est maximum. -^ 56. Valeur approchée du produit i.2.'6,..n. — 57. Probabilité maxima dans une série d'é- preuves. — 58. Probabilité d'un événement peu différent ^ plus probable. — 59. Fiction d'un écart représente par une variable continue. — 60. l*remière vérification. — 61. Seconde vérification. — 62. Calcul exact de la valeur pro- bable du carré de l'écart; elle ne dilTère pas de la valeur approchée. — 63. Troisième vérification. — 64. Calcul exact de la valeur probable de l'écart, elle n'est pas égale à la valeur approchée. — 65. La probabilité pour que l'écart soit inférieur à une limite donnée est donnée par une intégrale que l'on a ré- duite en Table. — 66. La probabilité d'un écart absolu inférieur à une limite fixe tend vers zéro; quand le nombre des épreuves augmente, c'est l'écart rela- tif qui tend vers zéro. — 67. La probabilité d'un écart a, sur ji épreuves, dépend 01 de —=: exemples numériques. — 68. Ecart probable et écart moyen; leur V/[x rapport. — 69. Représentation du nombre probable d'arrivées en introduisant un facteur dont la valeur détermine la confiance méritée par la formule. — 70. Ce qu'on doit entendre par jouer plus ou moins gros jeu, expression de laquelle dépendent les chances de perte sur un grand nombre de parties. — 71. Application du théorème de Bcrnoulli aux chances électorales. — 72. Dif- férences entre les conditions réelles et \çs données du problème précédent. — 73. Le théorème de Bcrnoulli suppose la probabilité d'un événement inva- riable, il suppose aussi que cette probabilité ait une valeur objective; re- marques sur cette question. — 74. Exeniple d'une série d'épreuves faites avec probabilité variable. o3. Le hasard corrige le hasard. Une vague expérience ré- vèle la justesse de celte maxime à ceux mêmes qui en ignorent IV. — thCoréme de JACQUES deukol'li.i. fx} «rigueur. Le moL rigueur n'est pasexagén'^. Les résultats de l'ac- n libre du hasard sont prédits avec cerlUude, sans gêner en rien B caprices. I certitude n'est pas celle d'un tliéorèmc de Géoméirie. Il t l'accepter dans le sens qu'indique Jacques Bernoulli, véri- 6 inventeur de l'un des plus admirables résultats de la Science malique : In iisii viiœ civili obi morafilcr cartitm pro fuie cerlo habetur. tas sortez sans abri par un violent orage, vous serez mouillé, ut cerlain. Certitude du théorème de lk;rnontli est de même sorte. La I l'identité, La même objection peut s'appliquer uiitt, osons dii'e avec aussi peu de raison dans les deux cas. ie, dites-vous, me mouillera, qu'en savez-vous? Chaque r le hasard, aucune n'a de dcslinalion; rien ftt pour aucune d'entre elles qu'elle ira s'abattre sur le de quel droit affirmer de l'cnscnible ce qui est (our chacune? l'assertion soit certaine à la inaniùre du carré de , on peut la produire avec entière conHance. Il y a tux promeneurs sortent ensemble et marchent sans se I la même pluie, non seulement ils seront mouillés bais ils le seront également. Si l'un d'eux accusait le lavoir donné la plus grosse part, il ne rencontrerait îëance que s'il affirmait n'avoir rien reçu. JDcnts fortuits ressemblent aux gouttes de pluie. Iifoieni assez nombreux, te hasard les distribue équi- I les cas possibles, sans en favoriser aucun, brème ([ue nous allons démontrer avec précision et le justifiera plusieurs dénioiistnitions. repose sur plusieurs propositions, dont chacune t de grande importance. XLVIL — La probabilili'-d'un événement estp, ■/ne/If contraire est q\ on fait ji épreuves c/nns ^O CALCUL DES PROBABILITÉS. les mêmes conditions, "Quelle est la probabilité pour que le premier événement se présente n fois, le second [jl — n fois ? Si l'ordre dans lequel les événements doivent se succéder était assigné, la probabilité demandée serait (24) le produit de n fac- teurs égaux à/>etde[jL — n égaux à q (l) p'^qV--'^. L'ordre restant indéterminé, l'événement peut être décomposé en autant d'autres, de probabilités égales, qu'il y a de combinai- sons possibles de [x objets dont n sont égaux à A et jx — /i à B. Ce nombre est I .2.3. . .(JL i.2.3.../i.i.2.3...2i. — n La probabilité demandée est donc 2) 5 j^- p'^qV--'^; 1.2.3. . .Al. 1.2.3. .. {1 — /i*^ ^ c'est le terme général du développement de (p -+- q)V-, Si l'on écrit le premier terme représente la probabilité pour que l'événe- ment dont la probabilité est q ne se présente pas une seule fois; le deuxième 9 la probabilité pour que cet événement arrive une fois; le troisième, pour qu'il arrive deux fois, etc. La somme des k premiers termes est la probabilité pour que cet événement, dont la probabilité est q, arrive au plus k -^ i fois sur [X épreuves. La somme de tous les termes est la probabilité pour que l'évé- nement arrive au plus jx fois, c'est la certitude, et la somme des termes est égale en effet à Tunité, puisque p -^q =z i. 53. Problème XLVIIL — La probabilité d'un événement estpy celle de V événement contraire est q ; on fait [x épreuves dans CHAP. IV. THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 71 les mêmes conditions. Quelle est, pour chacun des deux éi'éne- ments, le nombre d^ arrivées le plus probable? 11 faut trouver pour quelle valeur de n, jx étant donné, Tex- pression (2) 1.2.3. . ./i. 1.2. 3. ..({x — n) p'*qV' acquiert la plus grande valeur. Si Ton range les expressions (2), c'est-à-dire les termes du dé- veloppement de (p-hç)^y suivant Tordre des valeurs décroissantes de /i, le rapport d'un terme au précédent est Al -+- 1 «7 ]i^n p' La valeur cherchée de n doit rendre ce rapport plus grand que l'unité, et le rapport suivant, obtenu en changeant n en n — i , doit être plus petit que l'unité. Nous avons donc, pour déterminer /ï, Al -M q Il n p >i, n q <ï, |JL — TIH-I p ^^ 7 {n'i-i)q>iip- np, nqiLp n<\Lp'¥- 9. P- Le nombre entier n est compris, d'après ces formules, entre deux limites dont la différence p -hq est égale à l'unité. 11 est donc déterminé. On peut dire, en négligeant la fraction, que [jl/> est le nombre le plus probable d'arrivées pour l'événement dont la probabilité est/>; le nombre d^arrivées le plus probable pour Tévénement dont la probabilité est q est pi — [t-p = ^q. 3 7 li-* -r r- • t rir»»a.ï. Iw.*-— î- -. (n H- i) CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. ^3 à le devenir. On a, en effet, _„.., lY". •K'O V «/ Posons, pour évaluer le second membre, on en déduit . et, en remplaçant /( i H — j par les deux premiers termes de son développement en série, c'est-à-dire en négligeant -- -> Iz — x — ni ) = — . \/l 2/t*/ 'lit Par conséquent t 1 et, en remplaçant e*" par les deux premiers termes de son déve- loppement, I z =■ I -\- - - • in Nous pouvons écrire, en négligeant ~ , t}/(/j -4- 1) ï ^(n) in On a au même degré d'approximation = i / I -r- - = n ; n V n 'in la fonction ^{n) varie donc, quand on néglige —^9 suivantla même loi que yZ/î. Si l'on pose ^{n) = v/7aF(/0, ^4 CALCUL DES PROBABILITÉS. par conséquent 1.2.3. . .n = /i'»e-'»/nF(/i), la fonction F(n) variera très lentement, le rapport -~-. — r-^ se ré- duisant à l'unité quand on néglige — • On pourrait continuer le même mode d'approximation pour chercher la valeur approchée de F(/i), comme nous avons cher- ché celles de (f{n) et de ^(n)] mais il est permis de s'arrêter, parce que, d'après l'évaluation obtenue pour le rapport — ^t — r-^> on peut démontrer que F(/i) tend vers une valeur constante par laquelle on peut dès lors le remplacer si n est très grand. —^ — -^ se réduisant à l'unité quand on néglige -j> on peut poser F( n-^i) _ , , >j_ F(/i) ~' ni' X| ne grandissant pas indéfiniment avec /?, nous en déduirons, en changeant la valeur de /z, F(/i^2) _ X, F(/i-+.i) ""^"^ (nn-i)^' F(/i-f-3) ^ X, F(n-^p) ^^ ^ Ip h\n-h p —1) {^-^P — i)*' X|, }s27 . • • 7 ^p n'augmentant pas sans limite avec p. En multipliant les équations précédentes, on a le second membre, et par conséquent le premier qui lui est égal, tend vers l'unité lorsque, n étant de plus en plus grand, on donne à p une valeur quelconque, grande ou petite. On a, en effet. CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. ^5 tendant vers zéro lorsque n augmente. Le logarithme du se- cond membre de (3) est et, à cause de (4), —.(!-+- 0«)^-7-^^î(i-^ ôa) -4-...-+-; ^^- z-Ai-^^p). Cette expression tend vers zéro quand n augmente, parce que la série dont le terme général est -j est convergente ; la somme des termes qui, dans cette série, suivent — j est donc très petite, quel- que loin qu'on la prolonge, et elle reste très petite quand les termes sont multipliés par des facteurs qui ne grandissent pas sans limite. Nous pouvons donc poser, en nommant G la limite constante vers laquelle tend F(/i), i.2.3.../i = G/i'» c-'» //i. Le théorème, sous cette forme, était connu de Moivre; Stirling a trouvé la valeur de la constante. On a, d'après un théorème célèbre de Wallis, TC __ 2 2 4 4 2/1 2/1 a^iSâS 2/1 — 12/t-i-i' que l'on peut écrire ir __ 2*'»(i.2.3.../i)* 2 "" (l.2.3. .. 2/l)*(2/l -m) Si, dans cette formule, nous remplaçons i.2.3.../i et 1.2. 3... 2// par leurs valeurs déduites du théorème de Moivre, I.2.3.. . /t = Ge-'»/i''//i, 1 .2.3. . . 2/1 = G e-*'*(2/i)"»/îrn, elle devient î = G« "" 2 2(2/i-m; \ i 76 CALCUL DES PROBABILITÉS. et, lorsque n devient infini, Nous pouvons écrire enfin (3) 1 .2.3. . . /i = e-'*/i« /'iTin. Pour éprouver l'exactitude de cette formule, véritablement in- dispensable dans les calculs de probabilités, faisons /i = 20; nous trouverons i.ti.3.4.5...2o = 2432902008176640000, g-î0 2o*o/4oit = 2422786385510400000. Le rapport de ces deux nombres est 1,00417. 57. Les probabilités de deux événements contraires étant p et <7, la combinaison la plus probable, sur [x épreuves, est celle dans laquelle le nombre d'arrivées du premier événement est y-p ^^ celle du second jxy. Cette probabilité maxima est 6 ) pV-P qV-1 . 1.2.3. ..[!/>. 1.2.3. . .[ig' L'application de la formule de Stirling donne pour valeur ap- prochée e-V- \x^ ^2 71 |x pV-P qV-^ e'V-P ( \i.p y^P yj'i 71 {!/) e- {*V ( jjL çr ) H-^ ^2 ir ji çr ce qui se réduit, en ayant égard à la condition p -}- q = ij à (7) v/Jîr l^P^ Cette probabilité, la plus grande de toutes, contient v/[x en divi- seur. Elle tend vers zéro, quand le nombre des épreuves aug- mente. 38. Cherchons la valeur approchée du terme dans lequel Tex- / CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. j J posant de p est jjl/? — A, en supposant ce terme assez voisin du terme maximum pour que - et même -.- soient petits. ■ L'expression exacte est w 1.2.3. . .{\>.p — A).I.2.3...([Jt<7-i-/l) Le théorème de Stirling la réduit à On a, en négligeant —5» {1^-A-i--* \ v^p) V*^ ■>-l\ v-p ■>\>-^p^l / ( 1-4- (•^i^) '=('^^-^*-^.î)(À-^0 et, par conséquent, en négligeant - ^ > ^ {i/i-A-Hj ^ V {^7 + ^* 1 \ ^pl \ v-qJ '^\^\p 'il 2 |j. vi^, ar^/îf Si l'on pose, en effet, z -t. cette intégrale devient égale à l'unité en vertu d'un théorème très connu* L'épreuve réussit mieux qu'on n'était en droit de IV^fii^^^^ 8o CALCUL DES PROBABILITÉS. toute formule approchée doit en effet laisser craindre une erreur. Le résultat, ici, est rigoureusement exact. 61. Cherchons, d'après la formule (lo), la valeur probable du carré de l'écart, c'est-à-dire Tespérance mathématique de celui qui doit recevoir une somme égale à z-. Cette espérance est la somme des produits de chaque valeur de z'^ par sa probabilité: elle a pour expression, d'après notre formule, :==: j e i\i.p-pq Posons ^/'JL\Lpq = t, la formule devient (II) ^^^ f e-tW^dt = \Lpq. 62. Nous allons chercher directement la valeur exacte de Tes- pérance mathématique dont la formule (i i) donne la valeur ap- prochée. Posons (p-hq)\^ =pV--h A,/?H--i q -H AipV--^q^-+- . . . ■+- Aç^pP\>-q'/V-h Les termes de cette formule représentent rigoureusement les pro- babilités dont (9) donne la valeur approchée. La probabilité qui correspond à un écart h est où l'on a n = \Lq — // , h = |jL^ — n. L'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à h- est donc (II) ^{^q--nYXnpV-"q", la somme S s'élendant à toutes les valeurs de n. CHAP. IV. THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 8l L'expression (ii) peut s'écrire On a puisque l'on multiplie par it-^q^ tous les termes d'une somme égale à l'unité. L'identité (l3) (p-¥- y)l*=: 2 A„/>l*-«5r« donne, en égalant les dérivées par rapport à Çy préalablement multipliées par q^ et, en remplaçant {j> -\- q) par l'unité dans l'équation précédente qui est une identité, on en déduit S/iA^/^l*"'*^'* ~ \^q et, par conséquent, Sfxy/iArt/?^'-'»^'* — fA*y'. L'identité (i 3), différentiée par rapport à gr, donne, en multipliant ensuite les deux membres par q^ ^{\i-^i){p-^q)V'-^q^'\-^{p-^q)V'-^q = 2 Al* A„/?H-'»<7« et, à cause de j[? -+- 5^ = i , S Al* Art /?!*-'* ^r» = Ht([A — Oy^-^ v-q- Ces formules réduisent la somme (i?) à C'est le résultat obtenu (61). La substitution des valeurs appro- chées aux valeurs exactes n'a donné aucune erreur. Il ne peut pas toujours en être ainsi. Faisons une troisième épreuve. 63. Cherchons la valeur probable de l'écart z considéré en gran- B. 6 k .-. 8'2 CALCUL DES PROBABILITÉS. deur absolue; cela est nécessaire, car sans cela les termes négatifs détruiraient les termes positifs et le résultat serait nul. La valeur probable de ;;, d'après la formule adoptée pour re- présenter la probabilité d'une erreur z, est -. L'intégration s'étend de o à l'infini seulement, parce que nous ne considérons pas les valeurs négatives, dont on tient compte ce- pendant en introduisant le multiplicateur 2. Posons z — = = f. L'intégrale devient telle est l'expression approchée de la valeur probable de z. 64. Calculons exactement la valeur probable de l'écart. La probabilité d'un écart égal à z est le terme du développe- ment de (/? 4- q)^ dans lequel l'exposant de/? est jx/? -f- s et celui de (7, )xq — z. Il faut multiplier ce terme par -3, afin de former l'espérance mathématique de celui qui attend une somme égale à z. On a, à cause de /? 4- 9 = i , ^p -\- z et jxy — z sont les exposants de /? et de y dans le terme de (/> -4- q)^. Or, multiplier un terme par CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 83 c'est prendre la dérivée par rapport à/?, en retrancher la dérivée par rapport à q et multiplier la différence pdivpq. Nous devons donc prendre les termes de développement de iP "*" Ç)^ pour lesquels z est positif, c'est-à-dire *^ ^^ ^ 1.2 '^ ^ I.2.3...[l/).I.2.3...JJLy '^ ^ et retrancher la dérivée par rapport à ^ de la dérivée par rapport à/?, pour multiplier ensuite le résultat par pq. Les termes, on le voit aisément, se détruisent deux à deus: la dérivée par rapport à y du second est égale à la dérivée du pre- mier par rapport à /> ; la dérivée du troisième par rapport à q est la dérivée du second par rapport à p^ et ainsi de suite ; il ne reste que la dérivée du dernier par rapport à/?. 1.2.3. ..(A pV-Pq^1\i.qp, 1.2.3. . .{JL/> 1 .2.3. . ,\kq C'est le produit par ^-pq du terme maximum, c'est-à-dire, d'après la valeur approchée (57) de ce terme, v/2 [ATT/?^ V^^2TC Il faut doubler ce résultat, puisque nous n'avons pris que les va- leurs positives de 5 : il s'accorde avec l'expression obtenue (63). 65. Nous pouvons donc accepter avec confiance l'expres- sion (9) pour la probabilité d'un écart égal à z. La probabilité pour que z soit inférieur à une limite donnée a, c'est-à-dire pour qu'il soit compris entre — a et + a, sera ' / e'Wp^dz ^'2 [ITZ pq J-OL OU, en posant ,- = t^ 04) wa= -^ / e-''dt. 84 CALCUL DES PROBABILITÉS. Cette probabilité s'obtiendra dans chaque cas particulier à l'aide de la Table des valeurs de la fonction 2 TZ Jù que l'on trouvera à la fin du Volume. 0(^), on peut le voir à Tinspeclion de la Table, tend rapide- ment vers l'unité ; on a Q(3) = 0,9999779, e(3,7o) = 0,9999998. 66. On peut, sans consulter la Table des valeurs de la fonc- tion 6, déduire de la formule (9) d^importantes conséquences. L'écart zéro est le plus probable. Il a cependant une probabi- lité infiniment petite lorsque le nombre des épreuves devient infini. La formule qui représente la probabilité d'un écart inférieur à a s'annule pour a =0.11 faut remarquer qu'en substituant une variable continue à l'écart, qui nécessairement est entier, nous devons, pour représenter l'écart nul, prendre tout l'intervalle entre a = o et a = I. Nous n'avons plus alors une probabilité rigoureusement nulle, qui devrait diminuer la confiance inspirée par la formule. Si l'on assigne à a une valeur déterminée, quelque grande qu'elle soit, la probabilité pour qu'il ne la dépasse pas tend vers zéro lorsque |jl augmente sans limite. On peut regarder comme certain, par conséquent, que, le nombre des épreuves croissant indéfiniment, Vécart croîtra sans limite. La probabilité pour qu'il reste au-dessous d'une limite donnée est infiniment petite. Ce résultat fixe le sens du beau théorème de Bernoulli; l'écart relatif est de plus en plus petit, l'écart absolu de plus en plus grand. 67. La certitude, quand les épreuves se multiplient, de voir l'écart absolu grandir sans limite peut se démontrer a priori, indépendamment de toute formule. Le résultat le plus probable de [a épreuves successives est l'arri- MIIM»mU>^ CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOIJLLI. 85 vée (x/> fois de l'événement dont la probabilité est jd. Cette pro- babilité maximum, quoique plus grande que toutes les autres, tend vers zéro ; elle est (57) proportionnelle à -t=« Les autres, qui sont plus petites, tendent a fortiori vers zéro; et, si l'on en prend un nombre désigné, quel qu'il soit, leur somme ne peut manquer de tendre vers zéro lorsque, ce nombre restant fixe, [JL augmente indéfiniment. 68. Il faut insister, en donnant un exemple, sur cette distinc- tion entre l'écart absolu, qui doit grandir, et l'écart relatif, qui tend vers zéro. On joue à pile ou face. Combien doit-on faire d'épreuves pour que la probabilité d'obtenir pile ou face, sans préciser lequel, un million de fois au moins de plus que l'autre surpasse 0,01 ? Il faut déterminer {j. par l'équation 1000000 --= / c-^'eff =0,99. On trouve dans la Table de la fonction 6(0 e(i,83) = 0,99. Nous poserons donc 1000000 :^- = i,83; \/'- if on en déduit jji = 597 211 millions. I. La probabilité Wa d'un écart plus petit que a est, en gé- néral, il dépend du rapport -p: et tend rapidement vers l'unité quand ce rapport augmente. Si l'écart relatif- reste constant, --= = Vr "" 86 CALCUL DES PROBABILITÉS. augmentera sans limite et la probabilité d'un écart moindre que a se rapprochera de la certitude. Cherchons, par exemple, le nombre d'épreuves qu'il faut tenter à la roulette pour avoir 99 à parier contre i de voir le zéro sortir plus d'une fois sur quarante en moyenne. Le nombre de sorties le plus probable est une sur trente-sept-, si le zéro sort moins d'une fois sur quarante, l'écart est négatif et plus grand que f- — 7- = fx (0,002027). Nous avons e(i,65) = 0,98. La probabilité d'un écart plus grand que a, si l'on pose = 1,65, )/'X [ipq est donc 0,02; le signe étant donné, elle est 0,01. Nous poserons donc a - = 0,002027, = 1,65. En prenant on trouvera /•-* l^PÇ T 36 jji = 34848. Quelque petit que soit l'écart relatif assigné, on pourra faire un nombre d'épreuves assez grand pour rendre la probabilité de ne pas l'atteindre aussi grande que l'on voudra. 70. Deux écarts remarquables ont reçu des noms qu'il faut connaître. On a ® (0,4769363)= -. 2 GHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 87 L'écart a déGni par réquation . — • =0,476936 a donc probabilité égale d'être ou de ne pas être surpassé. Cet écart 0,47693/2^x7?^ se nomme \ écart probable sur jx épreuves. L'écart moyen est la valeur probable de l'écart; il a pour valeur (64) -F ^Vm = 0.79789 >/n^' yTZ Le rapport de l'écart probable à l'écart moyen est o,8463. Ils sont l'un et l'autre proportionnels à la racine carrée du nombre des épreuves. 71. On représente souvent le nombre d'arrivées de l'événe- ment dont la probabilité est jd, sur [x épreuves successives, par En assignant à p une valeur numérique donnée, la probabilité pour que le nombre d'arrivées soit compris entre les limites indi- fjuéespar celte formule est un nombre fixe, indépendant de [jl, de P et de g. Dans une série quelconque d'épreuves, il y a un à parier contre onde voir le nombre d'arrivées de l'événement dont la probabi- lité est p compris dans les limites lipdzo,/ij6g)/'2iipq; neuf à parier contre un qu'il sera dans les limites lip zh i,i6Z ^-iiipq, cl mille à parier contre un qu'il ne sortira pas des limites jx/? ± 2,327 /Tïïpq. 88 CALCUL DES PROBABILITÉS. 72. La formule (i4) permet de définir avec précision ce qu'on doit entendre ^dj^ jouer plus ou moins gros jeu, Pierre joue looo parties, l'enjeu est i*^^; Paul en joue loo, mais Tenjeu est lo^*^. Tous deux peuvent perdre lOOo'*'. Ils courent les mêmes risques, mais n'y sont pas également exposés. Supposons un jeu équitable; la probabilité de gagner est/>, celle de perdre est q. La mise de Pierre est a, celle de son adversaire est 6, et l'on a pb r=z qd. Si Pierre gagne ^p -^ h parties, il en perdra ^q — h\ son béné- fice sera {\Lp -^ k)b— (nq — h) a = h{a-^ b). Il est proportionnel à h, La probabilité pour que la somme perdue ou gagnée soit infé- rieure à A (a -r 6) = S est donc Vt\Lpff La situation faite aux joueurs par les conditions du jeu et par le nombre des parties est déterminée par le produit (a -\- b) yj^pq- Pierre expose i o*^^ par partie et joue ao ooo parties, avec chance égale de gagner ou de perdre. Paul expose également lo^*", mais sa chance de gain est ^ seu- lement; il doit, en cas de gain, recevoir 35o*^^. Combien Paul doit-il faire de parties, à ce jeu équitable, pour courir les mêmes risques que Pierre? Le nombre [x des parties est donné par l'équation 20 v^ôooo = 36o i//^^ » 20 000 La situation de Paul, qui joue 671 parties, serait exactement la même que celle de Pierre qui en joue 20000, si les formules "s CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. 89 étaient rigoureuses; elles ne sont qu^approchées. Il ne faudrait pas les appliquer à de petits nombres. 73. Supposons que, dans un pays qui compte lo millions d'élec- teurs, on en désigne 20 000 par un tirage au sort, pour leur faire élire un représentant. En supposant que le pays soit partagé entre deux opinions, 4 5ooooo d'un côté et 5 5ooooo de Tautre, quelle est la probabilité pour que le candidat élu appartienne à la mino- rité. Le problème est identique à celui-ci : La probabilité d'un événement est o,45, celle de l'événement contraire o,55; on fait entre eux 20000 épreuves, quelle Qst la probabilité pour que l'écart dépasse 1000 en faveur de l'événe- ment le moins probable. La combinaison la plus probable donnerait à la minorité 9000 électeurs sur 20000. Pour que le hasard la transforme en majorité, il faut un écart supérieur à 1000, dont la probabilité s'évaluera en divisant par 2 l'indication fournie par la for- mule (i4)) qui se rapporte à un écart inférieur à a dans un sens ou dans l'autre. La probabilité pour avoir un écart supérieur à 1000 est ^ / 1000 N ^ / V i — ef— ==) =1 — e(io). \/ioooo/ 9(10) diffère tellement peu de l'unité que l'événement peut être regardé comme absolument impossible. La probabilité de gagner deux quines de suite à la loterie serait beaucoup plus grande. L'expérience semble démentir la théorie. Les minorités sont représentées, et, sans qu'ily ait aucune relation entre leur nombre dans le pays et celui de leurs élus, celui-là est loin d'être nul. Le calcul précédent suppose, en effet, que, tous les électeurs étant inscrits sur une seule liste, on y prenne 20000 noms au ha- sard pour composer le collège électoral. Il n'en est pas ainsi; les électeurs d'un même département, d'un même arrondissement quelquefois ou d'une même ville ayant des intérêts communs, ne go CALCUL DES PROBABILITÉS. pouvant manquer de subir les mêmes influences, ne sont nulle- ment assimilables à un groupe de votants désignés indépendam- ment les uns des autres sur le pajs tout entier. 74. Lorsque la probabilité d'un événement est connue, on peut prédire avec presque certitude la valeur approchée du nombre d'arrivées de cet événement sur un nombre connu d'épreuves. Il faut cependant faire d'importantes réserves. Le théorème reste vrai quand la probabilité de l'événement est inconnue. Le rapport du nombre des arrivées de l'événement au nombre total des épreuves s'approchera certainement de cette probabilité inconnue, si l'on augmente sans cesse le nombre des épreuves. Si, par exemple, on puise dans une urne contenant des boules blanches et des boules noires, en remettant après chaque tirage la boule qui est sortie, le rapport du nombre de boules blanches sorties au nombre des tirages convergera vers la proba- bilité assignée par la composition de l'urne. Mais deux conditions sont nécessaires : la probabilité ne doit pas changer pendant les épreuves, et elle doit avoir une valeur déterminée. Un événement incertain n'a-t-il pas toujours une probabilité déterminée connue ou inconnue? Il faut se garder de le croire. »uelle estJa probabi lité pour qu'il pleuve demain? Elle n'existe pas. Non pas parce qu'elle varie d'un jour à l'autre avec l'état du ciel et la direction des vents ; mais parce que dans aucune circon- stance elle n'a de valeur objective, la même pour tous ceux qui l'évaluent sans se tromper. Il pleuvra ou il ne pleuvra pas, l'un des deux événements est certain, dès à présent, et l'autre impossible. Les forces physiques dont dépend la pluie sont aussi bien déterminées, soumises à des lois aussi précises que celles qui dirigent les planètes. Oserait-on demander la probabilité pour qu'il y ait éclipse de lune le mois prochain ? CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERJNO.ULLI. gi Un homme est âgé de quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans ? Ni l'événement cette fois, ni l'événement contraire n'ont, dès à présent, certitude égale à celle d'une éclipse, mais la probabilité n'a pas davantage, pour cela, de valeur objective^ indépendante des renseignements connus et du bon jugement de celui qui en fait usage. Le roi de Siam a quarante ans, quelle est la probabilité pour qu'il vive dans dix ans? Elle est autre pour nous que pour ceux qui ont interrogé son médecin, autre pour le médecin que pour ceux qui ont reçu ses confidences; très difierente enfin pour des conjurés qui prendraient leurs mesures pour l'étrangler le lendemain. Toutes ces probabilités sont subjectives, il n'en existe pas d'ob- jective.L'esprit se refuse à concevoir une urne contenant des boules blanches et des boules noires que l'on puisse composer chaque matin de telle sorte que la chance de vie pendant la journée puisse être remplacée, pour un individu désigné, parle tirage d'une boule dans celte urne. Les cas précédents ne peuvent être pris pour exemples de l'appli- cation du théorème de Bernoulli. Que le roi de Siam meure ou vive, il est impossible de renouveler l'épreuve. Il faut considérer, au lieu d'un événement isolé, une classe d'é- vénements définis tous ensemble sans distinction. La réponse alors est moins évidente. Quelle est la probabilité pour qu'il pleuve dix fois à Paris pen- dant le mois de janvier? On ne dit pas de quelle année. Pour qu'un habitant de Paris âgé de quarante ans vive encore dans dix ans ? On ne désigne pas l'habitant. Ces deux questions, semblables en apparence à celles qui ont été posées d'abord, en sont réellement très difierentes. Nous réu- nissons en effet, sans distinguer entre eux, tous les jours du mois de janvier de toutes les années et tous les hommes âgés de qua- rante ans, au lieu de désigner un seul jour et de s'occuper d'un seul homme. Supposons que les progrès de la Science permettent la prédic- 92 CALCUL DES PROBABILITÉS. lion des jours de pluie avec une certitude égale à celle des éclipses. Le Tableau dressé à l'avance soustrairait le problème à la théorie du hasard, mais pour l'y faire rentrer s'il s'agit d'un jour indéter- miné du mois de janvier choisi dans une année indéterminée. L'assimilation à une urne devient possible alors. Le nombre des boules est le nombre des journées de janvier pendant un grand nombre de siècles; celui des boules blanches, le nombre des jours de pluie. Une différence subsiste. Dans les épreuves relatives aux jours de pluie, on ne peut ni agiter les boules ni les remettre dans Turne. En termes plus clairs, l'événement observé un jour n'est pas sans influence sur celui du jour suivant. S'il s'agit des chances de mort pour un Français âgé de quarante ans, la question est moins évidente encore. On ne peut plus sup- poser le Tableau des événements dressé à l'avance avec certitude ni accepter, a priori, l'assimilation avec les tirages dans une urne. Il n'est pas permis d'affirmer la régularité de la proportion des décès dans une grande ville ou même dans un grand pays. Cette régularité est révélée par la statistique; elle est très re- marquable, mais nullement nécessaire. Le rapport du nombre des décès à celui des survivants est, pour un âge donné, à peu près invariable. Le rapport du nombre des naissances masculines à celui des naissances féminines est constant à très peu près, à toutes les épo- ques et dans tous les pays. Il serait impossible de le démontrer a priori. Le nombre d'hectolitres de blé récoltés dans un département varie d'une année à l'autre. Pourquoi celui des naissances est-il invariable? On ne saurait en dire la raison. La constance des rapports, quand elle est constatée, donne- t-elle le droit d'assimiler les chances de décès et celles des nais- sances pour l'un et Tautre sexe à des tirages faits dans une urne de composition invariable? La conséquence n'est nullement permise. CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. pS Les tirages au sort, si Turne est composée pour cela, seront d'accord, en moyenne, avec la statistique. C'est une vérité iden- tique. Mais de l'égalité des moyennes peut-on conclure celle des chances d'écart? Ce serait admettre ce qui est en question. Substituons aux hommes d'une même ville les moutons d*un même troupeau et faisons la statistique de l'abattoir; un marché fait pour un grand nombre d'années règle le nombre des victimes, la régularité est parfaite. On peut composer l'urne dans laquelle on tirera avec certitude, pour un nombre suffisant d'épreuves, un nombre moyen de boules noires égal à celui des moutons sacrifiés chaque jour. L'assimilation n'ira pas plus loin. Le nombre des boules noires variera d'un jour à l'autre; le nombre des moutons sera invariable. On fait une expérience sur les dés. On les introduit dans un cornet, on agite, on les lance et on note le coup. L'épreuve ré- pétée 20 000 fois confirme les prévisions théoriques. Tous les cas se produisent proportionnellement à leurs probabilités. L'expéri- mentateur se fatigue ; une seule chose importe après tout, c'est de mettre le hasard à l'épreuve. Il dicte les points sans jeter les dés, il s'interdit le choix, le hasard parle par sa bouche. Obtiendra-t-il les mêmes résultats? Aura-t-il looo doublets environ sur 6000 épreuves ? Le nombre des points impairs sera- ^"Jpeu différent de celui des points pairs? Il serait téméraire de l'af- firmer. L'improvisateur des coups de dés peut se dire : il y a loiig- ^emps que je n'ai appelé le double six, Timpartialité veut qu'il ait son tour. Le sort n'a pas de tels scrupules, et il pourra arriver qu'une trop grande conformité aux proportions prévues trahisse Intervention d'une cause perturbatrice. Si l'on jette deux dés 6000 fois de suite, le nombre le plus probable des doublets est 1000, l'écart probable est 0,476934/-^— = 19,4706 et l'écart moyen ^ y/5ooo = 23,0329. Si, en faisant 1000 séries de 6000 coups, tous les écarts sont inférieurs à 20; si la valeur moyenne des écarts, au lieu d'être a3. ^ 94 CALCUL DES PROBABILITÉS. est Inférieure à 10, on pourrait affirmer avec une certitude presque infaillible l'existence d'une cause régulatrice corrigeant les écarts du hasard. 75. Lorsque la probabilité d'un événement est variable d'une épreuve à l'autre, le théorème de Bernoulli n'est plus applicable. La généralisation proposée par Poisson sous le nom de loi des grands nombres manque non seulement de rigueur, mais de pré- cision. Les conditions supposées dans l'énoncé échappent par le vague à toute appréciation mathématique. On peut, dans un cas simple et digne d'intérêt, appliquer le théorème de Bernoulli, malgré la variation des chances pendant les épreuves. Supposons une urne contenant un nombre X de boules blanches ou noires, la probabilité d'en extraire une boule blanche est p^ celle d'extraire une boule noire est q. On fait [JL tirages sans remettre dans l'urne les boules qui en sortent. Si X et [jl sont de grands nombres, il est très probable que le rapport du nombre des boules blanches sorties à celui des boules noires différera peu de -• En ne remettant pas les boules, on change à chaque épreuve la probabilité de choisir une boule blanche; mais ce changement est, en quelque sorte, un régulateur de la proportion prévue par le théorème de Bernoulli. Quand la proportion d'une des couleurs est inférieure à ce rapport normal, la probabilité pour elle augmente et les épreuves suivantes ont plus de chance pour corriger l'irrégularité. On peut préciser cette indication. Soient X le nombre total des boules, \p celui des boules blan- ches, \q celui des boules noires. La probabilité de tirer sur [X épreuves \kp — k boules blanches et \kq -^ k boules noires est, comme on le voit aisément, 1.2.3. . .11 1.2.3... \Lp — k, i.2.3...(jiyH-X: 1.2.3. ..X/?. i.2.3...X^. 1.2.3. ..(X — fi) i.2.3...[(X — \^)q -^ k] 1.2.3. ..X.i.2.3...[(X — \l)p — k] CHAP. IV. — THÉORÈME DE JACQUES BERNOULLI. QO On a trouvé (S8) approximativement et, par conséquent, '•^•^•••'^ ' -_e *npg k-npq-fc^nq 1 .3.3... (/Ij9 — X:) 1 .2.3. . . (/igr -T- A) J'^u.Tzpq En remplaçant les fractions 1 .2 .3. . . fi. 1 . 2 . 3 . . . ( fx/> — A' ) 1 . 2 . 3 . . . ( fx ^ -T- A* ) T . 2 . 3 . . . f X — \x) [l.2.3...(X — \l)p — AJ[l.2.3...(X— {Jl)^-r-AJ 1.2.3. . .X/?.i.2.3...X^ par leurs valeurs déduites de cette formule, on trouve 4/ .-"—, celle de l'ad- versaire égale à q. On aura, en adoptant les notations du théorème (77), G =pq-^q{~p) = o, Si, sur [X parties, Pierre en gagne m et en perd [jl — m, son gain sera mq ^ (ix — m)p = m — {xp. La valeur probable de CHAP. V. — DÉMONSTRATIONS DU THÉORÈME DE BERKOULLI. lOI est donc (76) elle tend vers zéro lorsque [x augmente. On peut donc affirmer avec une certitude croissante que la différence entre le rapport — et la probabilité/? tend vers zéro lorsque le nombre des épreuves augmente. C'est le théorème de Bernoulli. La valeur probable de l'expression (8) a été obtenue déjà sous une autre forme. La valeur probable (62) du carré de l'écart sur |jl épreuves est ^pq- Cet écart est la différence m — ^p. La valeur probable de (iw — ^pY étant [A/?y, celle de m \« est ^' \^ C'est le même théorème. 80. Nous donnerons du théorème de Bernoulli une démon- stration plus simple encore que la précédente. Supposons deux événements contraires ayant pour probabilités p et q. Sur [jl épreuves faites entre eux, les nombres d'arrivées les plus probables sont \kp et ^-q] nommons écart la différence entre le nombre d'arrivées dç l'événement dont la probabilité est/? et le nombre le plus probable |jljd. On promet à Pierre une somme égale à la valeur absolue de l'é- cart, et non plus à son carré comme on l'a supposé dans la démon- stration précédente. Sans calculer Tespérance mathématique de Pierre, nous allons démontrer que, le nombre [a des épreuves grandissant indéfiniment, cette espérance est très petite par rap- port à [JL. Désignons par ç((Jt) l'espérance mathématique de Pierre. Si l'on double le nombre des épreuves, remier joueur sans se préoccuper du second, supposer qu'il change d'adversaire, qu'il en trouve toujours un disposé à jouer aux mêmes conditions; ou, ce qui revient au même, que celui contre lequel il entreprend la lutte ait une fortune infinie. Dans le premier cas, nous l'avons vu (82), le jeu doit finir tôt ou tard par la ruine de l'un des joueurs. La probabilité pour que le nombre des parties nécessaires atteigne une limite donnée tend vers zéro quand cette limite augmente. Dans le second cas, quand un seul des deux joueurs peut être ruiné, la ruine est également certaine si le jeu est équitable; la probabilité pour que le nombre des parties dépasse toute limite est infiniment petite. On peut le démontrer sans calcul. Supposons que Pierre pos- sède m francs et qu'il ait résolu de risquer une même somme à un jeu équitable, tant qu'il pourra déposer sa mise. Nous pouvons supposer qu'une première lutte s'établisse entre Pierre et un adversaire de fortune égale. Le jeu est équitable. i'i IIO CALCUL DES PROBABILITÉS. Pierre a chance ^ de sortir vainqueur de cette lutte : il possé- dera alors 2 m francs. Supposons-lui alors uiji second adversaire possédant comme lui 2 m francs, Pierre a chance ~ d'être ruiné par lui, mais chance ^ aussi de le ruiner et de posséder 4 fn francs. Pierre luttera alors contre un adversaire possédant 4^ francs, et il aura chance |, en le ruinant, d'en posséder 8m. La série est in- définie. On voit que, pour échapper à toutes les chances de ruine, Pierre devrait avoir autant de bonheur que si, jouant sans cesse à pile ou face, il ne perdait jamais une seule partie. Une telle per- sistance doit être évidemment considérée comme impossible et Pierre, tôt ou tard, se ruinera. L'assimilation avec le jeu de pile ou face est évidente. Pour en eflacer toute différence, il faut supposer aux parties de pile ou face des durées croissantes. Si Tune d'elles ne finissait pas, ia dé- monstration perdrait toute sa force. Un tel hasard (82) doit être tenu pour impossible. 86. La démonstration précédente, en montrant la ruine du joueur inévitable, n'apprend rien sur les probabilités relatives au nombre départies qui doivent l'amener. Nous pouvons, dès à pré- sent, démontrer que la valeur probable de ce nombre de parties est infinie. La contradiction semble choquante. La ruine est certaine, dit-on, et la valeur probable du nombre des parties qui la procurent est infinie. Si le nombre des parties est infini on ne pourra pas les jouer, la ruine ne s'accomplira pas : elle n'est donc pas certaine. La ruine est certaine. Il ne faut pas confondre le nombre des parties qui, vraisemblablement, seront jouées avec le nombre probable des parties ; il faut surtout ne pas oublier ce que nous entendons par certitude. Quand on dit la ruine est certaine, tôt ou tard, on n'entend pas affirmer qu'après un nombre de parties, si grand qu'il soit, la ruine est assurée comme un théorème de Géométrie. S'il en était ainsi, le nombre probable des parties ne pourrait pas, évidemment, surpasser et serait certainement très loin d'égaler celte limite infranchissable. CHAP. VI. — LA. RUINE DES JOtEURS. III La ruine est certaine, cela veut dire : la probabilité pour que le nombre des parties qui s'accompliront surpasse une limite don- née tend vers zéro quand cette limite augmente. La valeur probable du nombre de parties est infinie, cela veut dire : l'espérance mathématique de celui qui doit recevoir autant de francs qu'on jouera de parties est infînie. Les propositions ainsi comprises ne sont nullement contradic- toires. Supposons que Pierre, se mettant au jeu avec i**" seulement, c'est le cas le plus défavorable, soit décidé à jouer, sans interrup- tion, jusqu'à ce que ce franc soit perdu. La probabilité pour qu'il le perde, tôt ou tard, est une certitude; mais, quelle que soit la limite qu'on voudra assigner, il y a possibilité pour que le nombre des parties jouées la surpasse. La probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro quand la limite augmente. En disant que le nombre des parties ne peut pas être infini, on ne veut pas dire autre chose. Si l'on promet à Paul i*^^ par partie que jouera Pierre avant d'avoir perdu le franc qu'il possède en entrant au jeu, l'espérance mathématique de Paul est, par définition, le nombre probable des parties. Il faudra, pour la calculer, multiplier chaque nombre pos- sible par la probabilité correspondante. Or les nombres possibles vont à l'infini; il n'y a rien de contradictoire à annoncer qu'en les multipliant par des probabilités de plus en plus petites qui, sui- vant notre façon de parler, expriment des impossibilités, la somme des produits augmente sans limite. Le résultat est analogue au paradoxe de Saint-Pétersbourg, dans lequel nous avons rencontré déjà une espérance mathéma- tique rendue infinie par l'énormité des sommes dont la probabi- lité paraissait assez petite pour qu'on n'y attachât aucun prix. 87. Démontrons que la durée probable du jeu est infinie pour un joueur qui change d'adversaire et veut risquer la même mise, à an jeu équitable, tant qu'il aura possibilité de la mettre au jeu. Considérons d'abord deux joueurs, Pierre et Paul, possédant . * 112 CALCUL DES PROBABILITÉS. chacun 2m francs. Ils luttent à un jeu équitable jusqu'à la ruine de l'un d'eux. Soit ^(2 m) le nombre probable des parties qu'ils joueront, o{m) désignant, par la même notation, le nombre pro- bable des parties quand les deux joueurs possèdent chacun m francs. La lutte entre Pierre et Paul pourra, sans que rien soit changé aux chances de chacun, commencer par deux épreuves distinctes. Paul, dans une première série de parties, risquera m francs contre m francs de Pierre, et dans une seconde série il exposera la seconde moitié de son avoir contre la seconde moitié de celui de Pierre. Deux cas pourront se présenter : ou les deux luttes, quand elles seront terminées, auront le même vainqueur, qui aura ruiné son adversaire ; ou chacun gagnera l'une des deux séries, et les joueurs se retrouveront dans la situation primitive, possédant chacun 2 m francs. On en conclut {'à) ©(am) = 2cp( w) h — çp(2m). Le nombre des parties se compose, en effet, des nombres de parties faites dans les deux séries, et dont chacune a pour valeur probable ç(/^i), et de plus, éventuellement, du nombre de celles qu'il faudra faire encore si, à la suite des deux séries, on se retrouve dans la situation primitive, ce dont la probabilité est ^. L'équation (2) donne Supposons maintenant que Pierre, possédant m francs, ait ré- solu de jouer sans limite contre tout adversaire qui se présen- tera. On peut régler son jeu de la manière suivante : il luttera d'abord contre un premier adversaire possédant comme lui m francs. S'il le ruine, il possédera 2m francs^ on lui opposera un second adversaire de fortune égale. S'il ruine le second, il pos- sédera 4^^ francs et pourra lutter, à chances égales, contre un ad- versaire ayant comme lui 4^^ francs. Le jeu continuera jusqu'à la CHÀP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. Il3 rencontre d'un adversaire qui, à ce jeu toujours égal, réussira à le ruiner. On voit tout d'abord, comme on Ta remarqué déjà (85), que la ruine de Pierre est certaine; il ne pourrait l'éviter qu'en étant toujours favorisé par le hasard dans une série indéfinie d'épreuves pour chacune desquelles la probabilité est ~. Le nombre probable des parties est, d'après l'analjse précé- dente, (4) ?('w)-+-^«p(2m)-f-^9(4/w)-+-^ o,o34 39 0,007 40 o,ooî 3() 0,029 40 0,006 SO 0,001 31 0,026 41 o,oo5 82 0,000004 Le Tableau suivant donne le nombre des parties qu'il faut jouer pour que, les deux adversaires ayant à chaque partie probabilité ^ de gagner, et Tenjeu étant i^', celui des deux qui sera favorisé par le hasard ait une probabilité ^ de gagner une somme supérieure à un nombre donné : Bénéfice assigné dont la probabilité est y. Nombre des parties. 5o 5493 100 21975 200 87900 400 25i6o3 600 791 108 1000 2197522 Les parties, comme dans le cas précédent, seront jouées, quoi qu'il arrive. Si le jeu devait se terminer dès qu'un joueur a ob- tenu le bénéfice demandé ou dès qu'il ne peut plus déposer sa mise, les résultats seraient très différents. 91. Problème XLIX. — Pierre et Paul font un nombre illi- milé de parties à un jeu dont les conditions sont équitables ; leurs fortunes sont m et n. Quelle est, pour chacun d^eux, la probabilité de ruiner Vautre ? Le jeu devant se prolonger jusqu'à la ruine de l'un des joueurs peut être assimilé à une seule partie dans laquelle celui qui risque I l6 CALCUL DES PROBABILITÉS. m francs devrait, s'il est vainqueur, en obtenir m -H /i. L'espé- rance mathématique doit être égale à la mise, et, si Ton nomme/? la probabilité pour que Pierre ruine son adversaire, Téquation donne p{m H- n) = m P m >«« Bl \ On peut calculer directement cette probabilité. Soit^x Ist pro- babilité pour que Pierre ruine Paul au moment où il possède X francs et où Paul, par conséquent, en possède m-^-n — x. On pourra écrire ( 5 ) yx^ pyx-^rb -+- qyx-a- Lorsque Pierre, en effet, possède x francs, il peut, à la fin de la partie suivante, selon qu^il la gagne ou qu41 la perd, posséder x-^-b oxx X — a francs ; il y a donc probabilité p pour que^x se change en yx^by et probabilité q pour qu'il devienne ^x_a- L'é- quation (5) en est la conséquence. pb étant égal à qa^ puisque le jeu est équitable, la solution générale de Téquation (5) est a et ^ étant arbitraires. Cette valeur de Vx satisfait, on le vérifie immédiatement, et, renfermant deux constantes arbitraires, elle est la solution la plus générale. On a, pour déterminer les constantes, on en déduit et, par conséquent, Jo = O, y,n^n = I ; P = o, a = X m-f n qui s'accorde avec la solution précédente. Cette solution peut donner lieu à une difficulté. Si les enjeux CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 1 I7 a el 6 ne sont pas égaux à Tunité, Tun des joueurs pourra être forcé de cesser le jeu avant d'avoir tout perdu, possédant encore une somme inférieure à la mise exigée. Nous négligeons cette petite somme, qui, cependant, mettrait la formule en défaut dans le cas où elle formerait une partie notable de la fortune du joueur. 92. Problème L. — Les conditions restant celles du problème précédent, on ne suppose plus les conditions du jeu équitables. Quelle est, pour chacun des joueurs, la probabilité de ruiner l'autre? Un ingénieux artifice de Moivre permet de déduire la solution de la théorie de l'espérance mathématique. Donnons à Pierre, au lieu des m francs qu'il possède, m jetons de valeur a, a^, ..., a*"; a sera choisi ultérieurement. Remplaçons également les n francs de Paul par n jetons de valeur a'"'*'*, a*""*"^, ..., a*""*"" qui continuent la progression. Le jeu se faisant dans les conditions supposées, la mise de Pierre sera a jetons, au lieu de a francs, et celle de Paul b jetons. On conviendra qu'à chaque partie Pierre exposera toujours les jetons dont la valeur est exprimée par les plus hautes puissances de a, et Paul, au contraire, ceux dont la valeur est représentée par les plus petites. La série des jetons restant toujours la même, la séparation après chaque partie se fera en un point différent, mais Pierre aura toujours les premiers termes dç la série, et Paul tous les suivants. La chance, pour chaque joueur, de perdre tous ses jetons est indépendante de la valeur qu'on leur attribue et, par conséquent, du choix de a. Le jeu sera équitable si l'on pose Cette équation se réduit, quel que soit .r, à a« — I _ p Ii8 CALCUL DES PROBABILITÉS. c'est-à-dire, p -\- q étant égal à i , (6) yt)2«^-^— a«-|- çr = o. Le jeu, grâce à cet artifice, étant devenu équitable, l'espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa mise; et, si l'on nomme P^ la probabilité pour que Pierre, qui a m jetons, ruine Paul, qui en a /i, on aura a"* — r m — " 93. Le calcul de P,» peut se faire directement. Soit rx la probabilité, au moment où Pierre possèdes: francs, pour qu'il finisse par ruiner Paul, on aura, comme (91), Xx — pyx^b + qyx-a ; ph n'étant plus égal àqra, l'intégrale de cette équation est, comme on le vérifie aisément, (7) yar=C,-hCja^, C| et C2 étant des constantes arbitraires et a satisfaisant à la con- dition , î c'est-à-dire à l'équation (6) déjà obtenue poL^-^f* — a'^-f- y = o. Les constantes C| et C2 se détermineront par les conditions évidentes y (S = ^> y m s // = ï, et l'on trouve y m — «'«-»-«— I c'est le résultat déjà obtenu (92). L'équation (0) a pour racine a == î qui, évidemment, ne con- CHAP. VI. LA RUINE DES JOUEURS. I ÎQ vient pas ou qui, plutôt, sert à former le premier terme de la for- mule (7), Cl i^. 94. Si l'on suppose a = 6 = 1 et m = /i, la formule donne un résultat signalé par Huygens dans un cas particulier. On trouve y m — „ p m j5 //»_!_ qm et qtn 1— J'/« = m _4_ il m Les chances de ruine pour les deux joueurs qui possèdent chacun m francs, et exposent i*^^,par partie à un jeu dans lequel les pro- babilités de gagner chaque partie sont p pour l'un et q pour l'autre, sont dans le rapport de /?"* à ^r'». On peut le démontrer directe- ment. Les deux joueurs ayant même fortune et les enjeux étant égaux, les successions de perte et de gain qui peuvent ruiner Pierre cor- respondent une à une aux successions de gain et de perte qui peu- vent ruiner Paul; il suffit de changer les pertes en gains, et réci- proquement, pour passer d'une série à l'autre. Dans Tune des séries, le nombre des parties surpassera de m celui des gains ^ dans l'autre, ce sera le contraire. Les probabilités des deux com- binaisons sont donc entre elles dans le rapport de pm+h qh ptn qtn-i-hnf*^ qi>^ Ce rapport est celui des probabilités totales dont les termes sont en même nombre. 95. Problème LI. — Pierre joue à un jeu équitable ou non, mais dans des conditions invariables d^ une partie à r autre, contre tout adversaire qui se présente. Quelle est la probabilité pour quHl finisse par se ruiner ? La solution de ce problème, déjà résolu en partie (85), peut se déduire des résultats précédents. y 120 CALCUL DES PROBABILITÉS. La chance de ruine est la même, évidemment, pour Pierre que s'il luttait contre un adversaire de fortune infinie. Lorsque, Pierre possédant m francs, son adversaire en possède w, la probabilité pour que Pierre soit ruiné est (92) a'* — I (8) a"*-^" — I ' a étant la racine de l'équation p et q sont les probabilités de gain pour chaque joueur à chaque partie, a la mise de Pierre, 6 celle de son adversaire. Il faut, dans cette formule, supposer n infini. Trois cas peuvent se présenter: a est plus petit que l'unité, égal à Punité ou plus grand que Tu- nité. Si a est plus petit que l'unité, l'expression (8), en y supposant n infini, se réduit à l'unité. Il est certain que Pierre sera ruiné. Si a est égal à Tunité, la formule prend la forme J, elle a pour valeur le rapport des dérivées de ses termes par rapport à a n m -\- n égal à Tunité quand n est infini. Dans ce cas, comme dans le précédent, la ruine de Pierre est certaine. Lorsque a est plus grand que l'unité, la formule (8) a pour li- mite — • La probabilité de la ruine de Pierre dans sa lutte contre un adversaire de fortune infinie n'est égale, dans ce cas, ni à zéro, ni a 1 unité. 96. Il importe de chercher à quelles hypothèses correspondent les trois valeurs de a. L'équation qrga-k-b ^ ab-^ p = o a, dans tous les cas, la racine a =: i. Pour que l'autre racine réelle CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 121 et positive soit égale à l'unité, il faut que Téquation ait deux ra- cines égales et que, par conséquent, a soit racine de Féquation dérivée Cette racine double étant égale à l'unité, on doit avoir Le jeu, par conséquent, est équitable. Pour celui qui joue indéfiniment à un jeu équitable, a est égal à Tunité et la ruine est certaine. Ce résultat a été obtenu (85). Le seul cas où la ruine ne soit pas certaine est celui de a plus grand que l'unité : le jeu alors n'est pas équitable et les condi- tions favorisent celui des joueurs dont la fortune est limitée. L'avantage, quelque petit qu'il soit, fait disparaître la certitude de ruine. C'est le cas du banquier dans les jeux publics. Daiis tout autre, sa ruine serait certaine. Un avantage est pour lui juste et nécessaire; il importe seule- ment de ne pas l'exagérer. La chanCiC de ruine î lorsque a est plus grand que i, est petite. On peut, dans les con- ditions où se placent liabituellement les maisons de jeu, la con- sidérer comme nulle. 97. Supposons, comme à la roulette ordinaire, ic) i8 Les mises étant supposées égales à i^', a est donné par l'équation une des racines, comme toujours, est égale à l'unité. C'est l'autre qu'il faut prendre ; on a «-£ - £5 q l8* IP.2 CALCUL DES PROBABILITÉS. La chaDce de ruine du banquier est donc {?>)■■ n étant le rapport de Tavoir du banquier à la mise totale de Tun des coups. Si Ton suppose /i = 1000, on a ( ^yooo , 19/ 10** 98. Problème LU. — Pierre joue à un jeu dans lequel il a à chaque partie la probabilité p pour gagner et pour perdre la probabilité q . U enjeu est \^* pour chacun des deux adversaires. Quelle est la probabilité pour que Pierre, qui possède m francs, soit ruiné précisément après avoir fait ^parties, de telle sorte que la \k^^"^*' partie lui enlève son dernier franc? Pour que Pierre ait perdu m francs en [x parties, il faut qu'il ait perdu - — ; — - parties et gagne — • Le nombre [a étant tel que ces deux fractions soient des nom- bres entiers, c'est-à-dire de même parité que m, la probabilité pour que, sur (a parties, Pierre en gagne i— ^ — > est (o4) (9) i p « ^ « . \x — m IX H- m ' 2 2 Cette probabilité est plus grande que celle que nous cherchons. On compte, en effet, comme séries de parties faisant perdre Pierre en (A coups, toutes celles dans lesquelles, à la fin de la ja**""' partie, il est en perte de m francs. On doit exclure celles qui, avant de procurer la ruine de Pierre au [x*'"*' coup, l'ont procurée déjà à un coup antérieur. Pierre une fois ruiné, en effet, le jeu doit cesser; il n'est pas admis à exposer l'argent qu'il n'a pas. Le problème résolu (18) nous fait connaître le rapport du CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 123 nombre des combinaisons qui ruineront Pierre en jx coups au nombre total de celles qui assurent en [x coups, joués quoi qu^il arrive, la perte de ses ni francs. Si l'on considère, en effet, l'une de ces combinaisons et que l'on range les pertes et les gains dans Tordre où ils se sont produits, en les appelant en commençant par la dernière partie, l'excès du nombre des pertes sur celui des gains étant m, le rapport du nombre des combinaisons dans lesquelles, à aucun moment, les pertes et les gains ne seront en même nombre, au nombre total des combinaisons est (18) — > m étant la différence et [x la somme des nombres de parties gagnées et perdues. Le nombre des cas qui procurent la ruine de Pierre doit donc être multiplié par la frac- tion — • La probabilité pour que Pierre soit ruiné pour la pre- mière fois au jx*^*"' coup est u. — m u. -+- m (lO) — /> « fj « Î-- {i- ~ jx — m fx-f- m •2 Vt 99. L'expression précédente peut être remplacée, lorsque/? et q sont égaux à -J, par une valeur approchée très simple. Le facteur qui multiplie — est alors le terme dont le rang s'écarte de — du plus grand, dans le développement de {p -f- ci)^\ il a êlé calculé (58). La probabilité de ruiner en jx coups précisément celui qui joue à un jeu équitable à i*^*^ la partie, et qui possède m francs, est 100. La probabilité pour que la ruine s'accomplisse en (x coups précisément permet de calculer celle pour qu'elle ait lieu après le ^j^irme coup. Cette probabilité est la somme des valeurs que prend l'expres- sion (lo) quand on y remplace successivement (x par les valeurs JX -h 2, (X -f- 4ï ••• clc même parité, seuls nombres possibles de par- ties qui puissent procurer la ruine. 124 CALCUL DES PROBABILITÉS. Si y(fx) désigne l'expression (lo), la somme ?( fA) -r- ?( fX -^ 2 ) -+- q( [X 4- 4) H-. . . prolongée indéfiniment est la probabilité pour que la ruine de Pierre soit postérieure au (a**™* coup. Cette somme, pour de grandes valeurs de [a, peut être remplacée par c'est-à-dire, d'après la valeur approchée de cp(^)i yi T^ «/ji. z y z La probabilité pour que Pierre soit ruiné avant le [a* "" coaj> est, par conséquent, m r I ^ I e 3 z ^ z Si l'on pose — = t^^ cette expression devient ;»» i/t: i/o La Table des valeurs de la fonction -'^ f e-''dt = e{t) se trouve à la fin du Volume. On en déduit, en appliquant la formule au cas d'un joueur qui possède 100^*" et dont la mise est de i*^^ par partie, avec probabi- lité { de gagner ou de perdre : Probabilité d'élrc ruiné. Avant d'avoir fait 2000 parties 0,026 » 4000 » o,ii4 u loooo u o,3i54 Le Tableau suivant, calculé à l'aide de la formule (10), que CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 123 pour des petits nombres la formule approchée remplace mal, donne la probabilité de perdre lo^*" en un nombre précis de parties inférieur à loo. 1.2.3.4. . .(^.a? — i).io SX I . '2 . i . .,{X- -3) 1.2.3. . .(J7 -f- 5)\',j f ZlQ, . . 0,00097656 ^*î.. 0,00901427 z^l.. . 0,00654715 Zis. . . 0,002441^1 Z44.. . 0,00886698 ^ik'- 0,00640106 Z14. . . 0,00*396730 -46.. . 0,00870864 ^16" . 0,00625906 ^16.. , . 0, 00534057 -548' . . 0,00854268 ^n- . . 0,00612100 Z18.. . 0,00648498 Z50. . . 0,00837182 -580 < . . 0,00598692 Z^Q. , , . 0,00739290 ^5j. . . 0,00819821 ^Si- . . o,oo585677 Zfi, . . 0,00808596 -«V.. . 0,00802353 ^%k-' . 0, 00573047 ^14- • . 0,00859558 ^56. . . 0,00784911 ^86-. . 0,00560795 -SSS' • . 0,00895373 -Ssa. - . . 0,00767597 ^88-- . 0,00548910 'SSS' • . . 0,00918936 ZiQ, . . 0,00750490 -S90-- . 0,00537382 ZiO' ' . 0,00932720 Z^f. . 0,00733653 ^91 ' . o,oo5262o3 ^Sss* • . 0,00938780 ^tk" . 0,00717130 Zw . . o,oo5i536i ^n* . 0,00938780 ^«6. . . 0,00700953 ^96.' , • o,oo5o4846 ^36* • . 0,00934067 ^(8* . . o,oo685i5o -598* . . 0,00494647 ^3%' • , . 0,00925727 -570 • . . 0,00669733 -ZlOO' .. 0,00484754 ^kO* . . 0,00914618 101. Il est intéressant de chercher pour quel nombre [x de par- ties la probabilité de voir la ruine du joueur s'accomplir au [x*'*™* coup précisément a la valeur maxima. L'expression de cette pro- babilité, en supposant les enjeux égaux à i^** et la probabilité de gagner chaque partie égale à ^, est I .2-3. . .fX 1 [^ — ^ q fx-f- /yi m /i\|A 7 U) ' si Ton change (x en [x 4- 2, elle se multiplie par fîJl-+-l)(fJl-+-2) {^-'){^ m) 2 ) a)' (fX-+-2)' c'est-à-dire f^(fJt-+-0 (fx-ha)*— m» 120 CALCUL DES PROBABILITÉS. L'expression augmente avec [Ji, tant que Ton a c'esl-à-dire et la probabilité maxima correspond à m2— 4 SI m =: 100. On a 'nl^ = W^=. 333.. La probabilité maxima est égale à 0,0000925. 102. Si Ton remplaçait l'expression (10) par la valeur approchée /— m* 11': r n m la valeur maxima s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée par rapport à [x; on trouve _ ^^ [i — Y' La différence des résultats est, par sa petitesse, une vérifica- tion de la formule approchée. 103. Problème LIIL — Pierre et Paul jouent à un jeu de ha- sard, La probabilité de gagner chaque partie est p pour Pierre et q pour PauL L'enjeu de Pierre est a francs, celui de Paul b francs, Pierre possède m francs, Paul n francs; le jeu est équitable. Quelle est la valeur probable du nombre des parties qui seront jouées avant la ruine de l'un des joueurs ? ' En nommant j^x cette valeur probable lorsque Pierre possède X francs, c'est-à-dire l'espérance mathématique de celui qui aurait promesse de recevoir i'*" par partie jouée, on aura (1*2) JTx— H-/>^x+6-4- qyx-a- CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 12" 11 est clair, en effet, que le nombre des parties jouées comprend d^abord la partie par laquelle on commence^ qui certainement aura lieu, et qu'après cette partie Tespérance mathématique cherchée est devenue JKx+a ou Vx-ai selon celui des deux joueurs qui a gagné. La probabilité pour que la valeur de Tespérance mathématique devienne yx+b étant />, et pour qu'elle devienne yx-a étant q, Téquation (12) est la conséquence immédiate des principes. La solution générale de l'équation (12) doit contenir deux con- stantes arbitraires, et ne peut évidemment en contenir davan- tage. Posons y = a x' -f- px ■+- Y ; en supposant /?& = qa^ Téquation sera satisfaite si l'on pose fi et Y restant arbitraires. La solution générale est donc ^* Q ab Les conditions évidentes donnent et yo = 0, ym-*-n = ï = 0, fi — m-\- n P — ab y m ' mn Le nombre probable des parties est donc proportionnel au pro- duit des fortunes des deux joueurs; il devient infini (88) lorsque Tune des fortunes est infinie. I 28 CALCUL DES PROBABILITÉS. 104. M. Rouché a étendu la solution précédente au cas où le jeu n'est pas équitable. Il a résolu le problème suivant : Problème LIV. — Pierre et Paul jouent aux conditions énon- cées dans le problème précédent ; mais le jeu n^est pas équi- table, la différence pb — qa n'est pas nulle. Trouver la valeur probable du nombre des parties qui précéderont ta ruine de l ' un des jo ueurs . L'équation ^x = n- pyx-^b -^ qyx-a définit, comme dans le cas précédent, le nombre probable des parties qui restent à jouer lorsque Pierre possède x francs et Pail ni-\- n — X francs. On satisfait à cette équation, quelles que soient les constantes qui y figurent, excepté dans le cas traité précédemment, en po- sant (i3) .yx=Ga^-hG'ar-+-G% a étant la racine de Téquation et en prenant G' = {a -f- b)p — a Ces valeurs sont données par la substitution de (i3) dans l'é- quation, en écrivant qu'elle devient identique. C et C" restent ar- bitraires. Quelles que soient leurs valeurs, l'équation est satisfaite. On les déterminera par les conditions En nommant P la probabilité calculée (92) pour que Pierre finisse par ruiner Paul, on trouve, en efiectuant les calculs, . ,. (/m- n)P — m C^) >^"'= pb-ga ' résultat élégant qui peut s'énoncer ainsi : Le nombre probable des parties est égal au rapport de Cd' CHAP. VI. LA RUINE DES JOUEURS. I 29 vantage total de Vun des joueurs à r avantage du même joueur dans chaque partie. (/;i-|-/i)P est en effet l'espérance mathématique du joueur qui a probabilité P de posséder l'enjeu total {m-^n), m est la fortune de ce joueur, et le numérateur est l'avantage qui résulte pour lui de la décision prise de continuer le jeu indéfiniment. Le dénominateur est, pour chaque partie jouée, Texcès de son espé- rance mathématique sur sa mise. 105. Il semble facile de démontrer ce théorème directement. Supposons pb — aq positif, le jeu est avantageux au premier joueur. Soit n le nombre de parties qui seront jouées. Si/>|, /?2, . . .,/?|j. sont les probabilités pour que le jeu finisse en jTi, x^t . . . , Xji parties, le nombre probable des parties est (i5) p\Xi'\- piXi-k- pzx^-^,, .-^p^x^. Celui qui aurait droit à une somme égale à (i5) pourrait con- clure avec des acheteurs différents des marchés équitables pour leur vendre en détail les avantages qui, suivant les cas, pourront pour lui résulter du jeu. Si le nombre des parties est .Ti, un ache- teur recevrait la promesse du bénéfice correspondant; il devra pour cela payer PiXxipb — aq), puisque chaque partie jouée équivaut pour Pierre à un avantage pb — aq. Les ventes simultanées faites à des acheteurs différents ne peuvent faire naître aucune difficulté pour le règlement des Comptes. Quel que soit, en effet, le nombre des coups joués, l'un des acheteurs se substituera au vendeur, et les autres n'auront Hen à réclamer. La somme payée en échange de la totalité du gain espéré sera {Pi Xx-\- piXt-^.,,-^p^JC^){pb — qa ). Cette somme est l'excès, sur la fortune de Pierre, de l'espérance mathématique résultant pour lui de la détermination de conti- B. 9 l3o CALCUL DES PROBABILITÉS. nuer le jeu jusqu'à la ruine de Tun des joueurs, à un jeu inégal dont les conditions lui sont avantageuses. Cette espérance mathé- matique est le produit de l'enjeu (m-+-n) par la probabilité P de le gagner, et l'avantage du joueur est l'excès de celte espé- rance mathématique sur la somme qu'il possédait avant d'entrer au jeu, mais qui, une fois le jeu commencé, ne lui appartient plus. On peut donc écrire (piCti-^PiXi-^-,. '-^p^x^){pb — qa) = P(/n-+- n) — m et, par conséquent, V(m — /i) — m C'est le théorème de M. Rouché. 106. Nous avons plusieurs fois signalé des raisonnements plau- sibles, qui, lorsqu'on y regarde de près, manquent de rigueur el conduisent à des conclusions fausses. Celui qui précède conduit à une formule exacte. On peut cependant élever contre lui ua^ objection fondée. Lorsqu'un joueur est admis à jouer une partie inégale, doï^^ les conditions lui sont favorables, la probabilité de gagner la mi^^ b de l'adversaire étant/?, et celle de perdre une mise égale à ^ étant ^, l'avantage de jouer une partie dans ces conditions a poi^ ^ valeur équitable pb — qa\ le droit de jouer un nombre x A^ parties doit être payé x{pb — qa) ; c'est ce qu'il vaut. Mais quand ce nombre x^ au lieu d'être donné, est design ^ comme le nombre de parties jouées jusqu^à la ruine de l'un de'^ joueurs, ces parties, quoique le détail des pertes et des gains soi ^ inconnu, ne présentent pas les mêmes chances que si l'on connais ^^ sait seulement leur nombre fixé à l'avance et les conditions du jeu ^ Si, par exemple, le nombre de ces parties est assez petit pour qu^ la fin du jeu, que par hypothèse elles procurent, ait exigé la pert^ continuelle du second joueur, le droit, pour le premier, de jouet" chaque partie ne vaut plus pb — qa, il vaut b. CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l3l Le calcul de M. Rouché était donc nécessaire, et le raisonne- ment, quoique très spécieux, qui conduit au résultat exact, n'est cependant pas rigoureux. 107. La démonstration (105) ne s'applique pas au cas où le jeu est équitable. L'expression (i4) prend la forme f ; on peut en trouver la vraie valeur. La valeur probable du nombre des parties est P(m -+- /i) — m pb — qa ' on a (92) p= - — ^— » I — a'«-^« a étant racine de l'équation Si l'on suppose /76 — qa^=^ty t étant infiniment petit, a difi'ère in- fiiument peu de l'unité. Posons a = e'K La valeur de P devient . mh -f- - m^h^ 1 — C'»'» 9. A(m-f-/i)H (m-h/i)*H-... ^^ en négligeant le carré de A, ? = —"*- m -À'-'i> ^expression du nombre probable de parties devient, par la sub- stitution de cette valeur de P, hmn ^^ i^pport - est indépendant de m et de /i : le nombre probable des parties est donc C 771/1, l32 CALCUL DES PROBABILITÉS. C étant une constante ; et, comme le nombre des parties est égala l'u- nité quand on a m = a, /i= 6, il faut supposer C= -r- Onretrouve le résultat déjà obtenu. 108. Dans le cas où les deux joueurs possèdent au début la même somme, on peut trouver la valeur probable du nombre des parties par une méthode très différente des précédentes* Soit (p(/n) le nombre probable des parties lorsque chaque joueur possède m francs. Supposons que l'avoir de chacun soit doublé, le nombre probable des parties deviendra cp(2i7i). Si Ton fait dans Tavoir de chaque joueur deux parts égales à/n, on peut supposer que chacun expose d'abord, dans deux luttes séparées, la moitié m de ses francs contre la moitié de ceux de son adversaire. Après cette première série de parties, de deux choses Tune, Tun des joueurs a gagné deux fois, et Tautre est ruiné, ou bien chacun a gagné une série et ils se retrouvent tous deux avec 2 m francs. La valeur probable du nombre des parties est alors, comme au début, cp(2m). La probabilité pour que le premier joueur ruine son adversaire, lorsque tous deux possèdent m francs, est (92) n- X"* et, pour qu'il soit ruiné. ttn i-f- a"» La probabilité pour que l'un des joueurs gagne une série cl perde l'autre est le produit de ces deux probabilités, qu'il faut doubler puisqu'on ne dit pas dans quel ordre les événements doivent se succéder^ on doit donc avoir m (16) ©(2/;i) = 9.0{m) -h -^^^g^m)! TC^'^)) a étant (92) la racine de l'équation p a«+* — a« -+- ^ =0. CHAP. VI. LA RUINE DES JOUEURS. • 1 33 L'équation (i6) donne jette équation, si on la suppose vraie pour toute valeur de m, permet de déterminer la fonction ^ . Nous nous bornons à men- îonner ce problème, qui n'intéresse pas le Calcul des probabi- ités. 109. La probabilité dans un nombre donné de parties de la uine d'un joueur, dont l'adversaire est infiniment riche, a été lonnée par Lagrange, puis par Ampère dans le Mémoire sur a théorie du jeu, lequel a été son début dans la Science. Lorsque deux joueurs luttent Tun contre l'autre et que chacun peut ruiner son adversaire, le problème est très différent. La solu- tion suivante, qui se présente d'abord, n'est pas exacte. Soient m et n les fortunes des deux, joueurs. Supposons le jeu équitable : la probabilité pour chaque joueur de gagner une partie csl|, l'enjeu est i*^'. La probabilité pour que le premier joueur ruine le second est r- — > pour qu'il soit ruiné lui-même elle est • Si l'on sait que l'un des joueurs doit être ruiné, on peut, sans changer les chances, supposer à l'adversaire une fortune infinie. Si donc on nomme ç(/w, (Jl) la probabilité pour qu'un joueur qui possède m francs soit ruiné, en |jl coups précisément, par un ad- versaire dont la fortune est infinie, la probabilité pour que la Partie engagée entre deux joueurs, dont l'un possède m francs et •autre n francs, se termine en [jl coups précisément sera /w -H n • ' m H- n Le raisonnement n'est pas exact. Si l'on sait que Pierre a été ruiné par un adversaire dont la *oriune est finie, on en peut conclure que le hasard ne l'a pas favorisé : les combinaisons qui, débutant par un grand nombre de l34 CALCUL DES PROBABILITÉS. parties gagnées, auraient ruiné son adversaire doivent être ex- clues, celles dans lesquelles il gagne au début plus souvent qu'il ne perd sont rendues moins probables. La probabilité pour qoe là ruine se soit produite en |ji coups n'est plus égale à f (m, {x). HO. Problème LV. — Pierre et Paul possèdent chacun 2^, ils jouent jusqu'à la ruine de l'un d'eux. La probabilité de gagner chaque partie étant 5 et l'enjeu égal à i'"', quelle est la probabilité pour que le jeu se termine précisément en ^[k parties? Le nombre des parties doit être évidemment pair. Si le jea n^est pas terminé, chaque joueur possédera 2*^^; car, en un nombre pair de parties, la perte de chacun est un nombre pair; si donc elle n'était pas nulle, le perdant serait ruiné. Soit j'fiL la probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé en2|t parties, on aura Il est clair en effet que, si le jeu n'est pas terminé en 2 |x par- ties, ce dont la probabilité est y^, pour qu'il ne le soit pas ptf les deux parties qui suivent, il faut que chacun des joueurs gagn^ une partie et perde l'autre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi est i. De Téquation (18), on conclut (■9) 7,t=(i)''c, et comme, pour (x = i , on a^ji— j, C est égal à l'unité. La proba- bilité pour que le jeu ne soit pas terminé après 2[jl parties est donc (^)t*. Pour que le jeu se termine précisément en 2|x parties, n faut qu'il ne soit pas terminé en 2(jl — 2, ce dont la probabîH'^ est(^)t*"*, et que le même joueur perde les deux parties sui- vantes, ce dont la probabilité est ^. Le produit (\y est la proba- bilité pour que le jeu se termine à la 2[jl*^"* partie. CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l35 111. Problème LVI. — Pierre et Paul possèdent chacun 3*^^, «75 jouent dans les conditions définies dans l'énoncé précé- dent. Quelle est la probabilité pour que l'un des deux soit ruiné précisément au coup de rang |jl? Le nombre de parties doit être impair. Après a [jl + i parties, si le jeu n'est pas terminé, la perte et le gain seront un nombre impair, il doit être moindre que 3, il est donc l'unité : Tun des joueurs possédera 2^' et l'autre 4^'* Soit y^ la probabilité pour que le jeu ne soit pas terminé au (2(jl -|- i)'^™» coup, on aura Si, en effet, le jeu n'est pas terminé au ( 2 (jl + i )'^"* coup, ce dont la probabilité est j^iu il fa'? t, pour qu'il ne le soit pas au (2 |ùi + 3)""*, ou que chacun des joueurs perde une partie et gag^e l'autre, ou que celui qui a conservé 4*^^ perde les deux parties; la probabilité pour que l'un ou l'autre de ces événements se produise est |. De l'équation (20), on conclut On a d'ailleurs 3 car, pour que la partie soit terminée en trois coups, il faut que le même joueur gagne les trois premières parties, ce dont la proba- bilité est \. Il faut donc prendre G = i , et l'on a -(t) Pour que la partie se termine précisément au coup 2[jl4-ï, il faut qu'elle ne le soit pas au coup 2|jl — i et que le joueur qui possède 2*^^ seulement perde les deux parties suivantes, ce dont la probabilité est \, La probabilité pour que le jeu se termine au coup de rang 2 jjl -4- i lii I.AIJ.I !. -. rKS. pdrlics gagnées, aurai, i; ducs, celles dans h's«|ii. ne perd sonl reinlni - la ruine se soil |im-l". 110. PnOBLKMI I ' ils Jouent jnsi/ff */ di' gagner i'htifjn- est la prohnliilii a a parties ? Le nuiiiliH' n'est pas Iiti» pair de p;»' ' elle nrliiu ' S(uL ) . • Lucoup d'élégance cl de bon- pai'lH-s Il ,- I. . Il r,tl jouent run mntrr l'autre s possèdent chacun n franco /.<»• partie le perdant donne i^' . îHC lorsque l'un (/uelconque des ■ '.'st la probabilité P pour que h \t fin d'une partie de rang as^ .4 Joil encore se continuer, c'est que ^ un des suivants : '. • ri - 'Jl ), .... ^ t . . ., (n, /i), laïquant que Tun quelconque des deux i. par suite, l'autre a/î — /francs. I fiivbahilité pour que, après u parties, le .K lotininé et que Tétat des fortunes soit ai lo principe de la probabilité totale, .mImIiIi' de passer en une partie de Télat , • .'* - /). ou d'attention que/?JÎ""* esl «'gai à i, et que .v»»4'» do'» indices p'f. esl égal à i ou à zéro, suivant >. .uo do i - k esl égale à i ou diffère de i. D'a- ....i 'i^ donne les // relations « «« i :»• . 'l I ' o n T'i-i';-''- \ :\.' r»v;^'"rjU^^' îiv;* »^ . - • » CH.Vr. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. \3y t ml tirer '^«(ul); car, cette quantité étant connue, on aura, . Il proljabilité cherchée, Or, si l'on adjoignait aux équations ('22) celles qu^on obtient en cliangcant [x en [x H- i dans la seconde, |jl en |jl -f- i , |jl -f- 2 dans la troisième, ...,aen|jL-l-i,jjL-f-2, ...,|jL-h/i — i dans la der- nière, on aurait ^n(n-{'i) relations qui, par l'élimination des ^n{n -}- — I quantités ç dont l'indice diffère de i, conduiraient à une équation de la forme (23; çi( fjL 4- 71 )-+- Aiçi(fjn- n — I) -4-. . .-H A„cpi([x) — o. D'ailleurs, si «,, 0-2, . > - ^ an désignent les racines de l'équation caractéristique que Ton obtient en faisant dans (23) 'o, (P'),= «^, l'expression générale de 'fi([J«.) sera Sca^JJ", et, par suite, la valeur de Pji. sera ^Sca^/J^'S les constantes C|, c^, . .., Cn étant détermi- nées par les conditions initiales du problème. Cette détermination se fait élégamment de la façon suivante : d'abord, ni Pierre ni Paul ne peuvent être ruinés avant la fin delà /i'*"* partie; d'autre part, la probabilité pour que le jeu cesse juste après la n''*"® partie, c'est-à-dire la probabilité pour que Pierre ou Paul perde n fois de suite, est I I I 2/1 -i^n .2«-l De là résultent les relations linéaires (24) 2:cA-=o, 2cAflrit = o, ..., i:cAar' = o, Scyi-rt^"» = -^* qui permettraient d'obtenir C|, Ca, ..., c„ et, par suite, P^en fonc- tion des racines ai, a^^ . ., an- Mais ce que nous voulons, c'est l'expression de P(i en fonction des coefficients de l'équation carac- téristique. Or, si l'on pose (^ — ai)( 5 — a,) . . . (^ — fl;, ) = 6(-5) l38 CALCUL DES PROBABILITÉS. et si Ton ajoute les équations (24) après les avoir multipliées res- pectivement par les coefficients de /q, ^i, t^y ..., /""• danslecpio- tient e(z)-e(o on obtient ou, en multipliant par z — ak~~ a'»-* 6(5) et désirant par E(2) la partie entière du premier membre, E(z)-hS CkCCl I -5^*"* z — ak 2"-* 6(z) On voit par là que le coefficient de - dans le développement d premier membre est 2 P|i ; la probabilité cherchée Pji est donc égal"^ au coefficient de - dans le développement de Il reste à trouver Téquation caractéristique. Au lieu de la cher — cher par le procédé laborieux ci-dessus indiqué, nous l'obtiendrons rapidement comme il suit : les relations (22) montrent que, si To pose ' ?i(î^) = «^ on a de là résultent les équations CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. 1 Sg OÙ X désigne la quantité — 2a; et rélimination des ^ donne V„^^ X I 2 X I I X I I X I I X = o. Les valeurs évidentes Vl = X, Vj=X»-2, et Téchelle de relation V/i = xVn-i — Vrt— î, que Ton obtient immédiatement en développant le déterminant par rapport aux deux dernières lignes, prouvent que la fonction Y„ est celle que Ton rencontre dans la théorie de la division du cercle en parties égales et qui a pour expression 3) jr«-*-f-... l,'À ( i.À...r r désignant le plus grand nombre entier contenu dans ~n. Donc P(j.est le coefficient de - dans le développement de (— 1)^.2;; I*- » OU, ce qui revient au même, en posant I — •25 = -, P{i est le coefficient deyV--" dans le développement de (— })V-^ I i4o CALCUL DES PROBABILITÉS. A|- désignant le coefficient de x""^^ dans Yni^) et, par suite, étant égal à zéro quand l'indice i surpasse j/i. Ce quotient a pour expression L_J_(,H.B,j.«-B,^»+, Ba désignant le déterminanl d'ordre k Bo-'* +...). Bx.-(-i) _i\< Al 1 o A, A, I A, A, A, Aa-I A;t-Î O o o • • Al On voit par là que, si |jl — n est impair, Pj^ est nul, et que, si |JL — 71 est pair et égal à 2 A*, on a Une vérification s'offre ici d'elle-même. Pour /i = 2 ou /i = 3, le déterminant B/t se réduit à son ternie principal, et Ton retrouve immédiatement les résultats obtenus directement aux n^* 110 et 111. 113. On peut rattacher au problème de la ruine des joueurs l'espérance, acceptée souvent, d'accroître les chances de gain par une ingénieuse disposition des mises et du nombre des parties jouées. Toutes ces combinaisons sont illusoires. Si les conditions du jeu rendent pour chaque partie l'espérance mathématique égale à la mise, l'égalité existera, quoi qu'on fasse, quel que soit le nombre des parties. Nous nous bornerons à examiner un procédé plausible pour accroître les chances de gain en laissant celles de perte petites. Un joueur entre au jeu avec la résolution de continuer tant que le sort lui sera favorable et de se retirer après sa première perte. Le nombre des parties qu'il jouera peut être illimité et le bénéfice CHAP. VI. — LA RUINE DES JOUEURS. l4l immense; la perte, au contraire, sera nécessairement petite, égale tout au plus à la mise pour une seule partie. Lorsque Ton compare, cependant, les chances de perte à celles de gain, on les trouve, comme cela doit être, équivalentes, lorsque les conditions du jeu, a chaque partie, sont équitables. Soient p la probabilité de gagner une partie; a la somme à recevoir; q la probabilité de perdre; h la somme à pajer dans ce cas ; on a p-r-q =1. Le joueur a une probabilité q de perdre la somme b\ une pro- babilité pq de gagner a — b\ une probabilité p'^q de gagner la — bj etc. ; une probabilité p^q de gagner na — 6. Son espé- rance mathématique, au moment où il se met au jeu, est donc c'est-à-dire pqa{i'^ 2/Ï-+- 3/?*-!-. . .) ^ pqb{\ +/>-*-/>*-+-.. ') — qb et, en remplaçant les deux séries par leurs valeurs , et I (I— />)« !—/>'' q c'est-à-dire zéro si le jeu est équitable. L'avantage prétendu de la combinaison se réduit à accroître la valeur possible du gain, en diminuant proportionnellement la pro- babilité de l'obtenir. l44 CALCUL DES PROBABILITÉS. Deux urnes, par exemple, sont d'aspect identique : Tune con- tient une boule blanche et une boule noire; Tautre, dix boules noires et une blanche. On choisit une des urnes, on en fait sortir une boule, elle est blanche; quelle est la probabilité d'avoir choisi la première urne? Deux causes sont possibles : la première urne et la seconde urne; mais, contrairement à ce qui avait lieu dans les cas précé- dents, aucune de ces deux causes, supposée véritable, ne rend certain l'événement observé. On pourrait considérer comme causes possibles les deux boules blanches qui ont pu sortir. Tune de la première urne, l'autre de la seconde; mais ces boules n'ont pas même vraisemblance. La seconde, associée à dix autres boules, a moins de chances de sortir que la première et sortira certaine- ment moins souvent si l'épreuve est renouvelée un grand nombre de fois. 115. Le problème général peut s'énoncer comme il suit : Diverses causes E|, Ej, . . ., E,, ont pu produire un événe- ment observé. Les probabilités de ces causes, lorsque le ré- sultat n'était pas encore connu, étaient ïïT|, gt2, . . . , Wn- L'é^'é- nement se produit; la cause E/, lorsqu'on est certain que c'est elle qui agit, donne à l'événement la probabilité pi. Quelle est la probabilité de chacune des causes qui sont, on l'admet, les seules possibles? Le type des problèmes dont nous parlons peut être représenté par une urne contenant des boules blanches et des boules noires. L'événement est la sortie d'une boule; elle est blanche, on le sait. Mais chaque boule est marquée par un des numéros i , 2, 3, . . . , /i* Quelle est la probabilité pour que la boule blanche sortie soit marquée d'un numéro donné? Ces numéros représentent ici ce que l'on nomme les causes possibles de Tévénement, sans avoir rien de commun, bien entendu, avec l'idée de causalité. Si |Ji désigne le nombre total des boules, [jl/ le nombre de celles qui sont marquées / et, dans ces ;jl/, mi le nombre des boules CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. 1^5 blanches, le nombre total des boules blanches est ntx-h ni2-{- m^-T- . . .-\- m^. Elles sont toutes également possibles, puisque, placées dans la même urne, chacune, considérée individuellement, a chance égale de sortie. La probabilité pour que la boule blanche que l'on a tirée et dont on n'a pas vu le numéro soit marquée d'un e est mi -+- /Hf -+-... -h m^ Telle est la solution du problème. Il reste à l'exprimer en fonc- tion des données. On a par conséquent. La probabilité est donc, en supprimant le iacteur [jl, piwt ^— ^^^^^-^^^— — ^— —^^■^— ^^■^^-^— _^.^^_^ a Pl^l-r- ptnjf-^. . .-i-pn^n Le dénominateur est le même pour toutes les valeurs de i, et les probabilités des diverses causes sont proportionnelles, par consé- quent, aux produits de la probabilité de chacune, avant l'événe- ment (ro/), par la probabilité qu'elle donne à l'événement (pi) quand on la suppose certaine. 116. La démonstration peut se faire autrement. La probabilité cherchée est celle pour que l'événement qui est arrivé, on le sait, soit dû à la cause représentée par l'indice i. La probabilité pour que, avant l'épreuve, l'événement en ques- tion se produisît et fût dû à la cause désignée est un événement composé, et cela de deux manières : I® Il faut que la cause soit mise en jeu ; 2** Il faut qu'elle produise l'événement. B. 10 i '^ii CALCUL DES PROBABILITÉS. ()ià bien : 1^ 11 faut que révénement se produise; 2" Il faut que, étant produit, il soit dû à la cause désignée. On en déduit deux expressions de la même probabilité ^iPi= (Pl^l-^ Pi^t-^' "-^Pn^n)^y et, par conséquent, la probabilité x pour que Tévénement, étant produit, soit dû à la cause désignée par Fiodice i est celle qui a été obtenue (115) (i) x= ^ /?lGJl-r-/?iGJi-r-. . '-r-pn^n 117. Problème LVI. — Une urne contient jjl boules : les unes sont blanches y les autres noires ^ on ignore en quelle proportion. On tire k boules, en remettant à chaque fois la boule sortie. Il ne sort que des boules blanches. Quelle est la probabilité pour que l'urne ne contienne que des boules blanches? La question est mal posée. On ignore, dit Ténoncé, la proportion dans Purne des boules blanches et des boules noires. Toutes les hypothèses sont possibles. Il faudrait dire, en outre, quelle est, a priori, la probabilité de cha- cune. Si, toutes les combinaisons possibles ajant été préparées dans des urnes d'apparence identique, le hasard a décidé entre elles, les conditions sont autres que si Ton a puisé au hasard dans une urne de composition convenue, pour composer avec les boules ainsi tirées l'urne nouvelle dont nous parlons. Nous admettrons d'abord, pour préciser la question, que toutes les compositions de l'urne soient, a priori, également possibles. Toutes restent possibles après l'épreuve, à l'exception d'une réu- nion de boules noires, mais les probabilités ne sont plus égales. La combinaison dans laquelle, sur |ji boules, le nombre des blanches est n donne à l'événement observe la probabilité (^ Les probabilités désignées par ïïT|, ïïT2, •••, ts^ dans l'énoncé CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l47 général sont supposées égales entre elles; en les supprimant comme facteur commun dans la formule (i), on trouve la proba- bilité pour que le nombre des boules blanches soit n n* I-T-2*-+-3*-h...-h fJL* La probabilité pour que toutes les boules de Fume soient blanches est donc l -+■ 2* H- 3*-!-. . .4- |1* Si Ton suppose, par exemple, [x = 5, A* = 6, après avoir tiré six fois de suite une boule blanche d'une urne qui contient cinq boules, la probabilité pour que les cinq boules soient blanches est I H- 2* -H 3* -T- 4* -T- 0* il8. Si, au lieu de supposer toutes les combinaisons également possibles a priori, on avait composé l'urne en tirant au sort, à pile ou face par exemple, la couleur de chaque boule, le problème serait très différent. Les hypothèses possibles sur la composition de l'urne, au lieu d'être également vraisemblables a priori, ont les probabilités suivantes : 5 blanches ou 5 noires, (0'-» o3i25; 4 blanches et i noire ou 4 noires et i blanche, 5 ( - j =0, i562'5 ; 3 blanches et 2 noires ou 3 noires et 2 blanches, o(î)'=°> 3i25. Les probabilités désignées par gj,, cJ;., ..., m^i dans la for- l48 CALCUL DES PROBABILITÉS. mule (i) sont proportionnelles aux nombres i, 5, lo, lo, 5, i, et la probabilité, quand six fois de suite on a extrait une boule blanche, pour que les cinq boules de Tume soient blanches est = 0,35479. 5-+- 10. 2^ H- 10.3*^-+- 5.4^-1- 5* 119. Si, après avoir extrait les boules de l'urne, on ne les re- mettait pas, les résultats seraient différents. Il est clair, d'abord, qu'on ne peut, dans cette hypothèse, ex- traire plus de cinq boules, et que, si on les extrait toutes les cinq, il n'j a plus de problème. Supposons donc que l'événement observé soit la sortie de quatre boules blanches; les probabilités, a priori, des diverses compositions de l'urne étant proportionnelles à i, 5, 10, 10, 5, i, cherchons la probabilité pour que la cinquième boule qui reste dans l'urne, la seule que Ton n'ait pas vue, soit blanche. L'événement observé est la sortie de quatre blanches. Les hy- pothèses possibles lui donnent pour probabilités : i, |, o, o. 0, o. La formule (1) devient, en y substituant les valeurs de Wi et de/?i. I = I I -+- 5 X I 3 -+-0 2 Ce résultat est évident a priori. Après avoir vu quatre des boules , sachant que pour les cinq la couleur a été tirée au sort, on n'a acquis sur la dernière aucun renseignement. Les circonstances pour elle sont les mêmes que si, lorsque Ton procédait à la formation de l'urne, le hasard avait désigné la couleur blanche aux quatre premières épreuves. On ne devrait y voir aucune raison pour qu'il la désignât une cin- quième fois. 120. Problème LVIL — Une urne contient des boules noires ou blanches en proportion inconnue. On y /ait [x tirages, en re- CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l49 mettant dans Vurne, après chaque tirage, la boule qui en est wrtie. On a obtenu m boules blanches et n boules noires. Quelle 3st la composition la plus probable de l'urne? L'énoncé, comme celui du problème précédent, n'est pas suffi- samment précis. Toutes les hypothèses sur la composition de l'urne étaient pos- sibles avant l'épreuve. L'étaient-elles également? Il est nécessaire le le dire. Nous le supposerons d'abord. Soit X la probabilité assignée à la sortie d'une boule blanche par la composition de l'urne. La probabilité de l'événement ob- servé, la sortie de m boules blanches et de n noires, est Le nombre des combinaisons qui peuvent se présenter est indé- pendant de x^ et la probabilité de Févénement observé, que l'on connaisse ou non Tordre de sortie des boules, est proportionnelle à Ce produit doit remplacer la probabilité désignée par pi dans la formule (i); les probabilités mi sont supposées égales entre elles, et la probabilité de chaque valeur supposée pour a:, propor- tionnelle au produit />|Gj/, est, dans le cas actuel, proportion- nelle à La valeur de x la plus probable rendra ce produit maximum. En égalant la dérivée à zéro, on trouve X I — X m n La composition la plus probable est celle qui rend les probabi- lités de sortie des boules blanches ou noires proportionnelles aux nombres de fois qu'elles se sont montrées. 121. Chaque hypothèse sur la valeur de a: a une probabilité. Nous devons en chercher la loi. Il ne peut être question d'assî- l5o CALCUL DES PROBABILITÉS. gner la valeur de l'une de ces probabilités. Toutes les hypothèses ayant été supposées possibles et leur nombre étant infini, la probabi- lité de Tune d'elles, rigoureusement désignée, est o; mais la pro- babilité pour que x soit compris entre z et z -h dz est propor- tionnelle à dz. La loi des probabilités est celle des valeurs de la fonction à laquelle elles sont proportionnelles. Pour étudier cette fonction dans le voisinage du maximum, posons m X = h Ê, n I — X = £. Le maximum étant \m-hn/ \m-hn/ ^ ^ la valeur voisine sera, en posant x =p — s, i — x = g -^ tj p^q"^ étant indépendant de £, la probabilité est proportionnelle au produit ou à Im ^\ , \n\{ni — i) 'imn n{n — Ois' en négligeant les puissances de e supérieures à la seconde. Or, à cause de m n m -^ n — = - = = m -I- n, P 9 P^^ l'expression précédente peut être remplacée par I — 6« %pq CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l5l OU, au même degré d'approximation, par e ^Pf , et, par conséquent, la probabilité pour que la composition de Turne donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité m p = h t ^ m-¥- n et à celle d'une boule noire n ^ m -r- n est proportionnelle à el peut être représentée par _ e*(m-»-n) Ge ^Pl , G étant indépendant de e. Cette formule équivaut à celle qui a été trouvée (58). On a, dans les deux cas, obtenu n fois sur |x épreuves un événement ' dont la probabilité est/>. La différence e, égale à /), est rem- placée par h égale à n — /?|x. La probabilité d'une valeur dési- gnée de h est proportionnelle à A» e *^A"7. La seule différence des deux théorèmes consiste en ce que, dans un cas (S8), p est donné exactement, le doute porte sur la valeur de n\ dans la formule actuelle (121), n est donné exactement, le doute porte sur la valeur de p, 122. La formule précédente est déduite d'une hypothèse qui se réalisera rarement. Toutes les probabilités désignées par x ont, en général, a priori, des valeurs inégales. 1 l52 CALCUL DES PROBABILITÉS. Problème LIX. — Une urne contient N boules. On a tiré au sort la couleur noire ou blanche, avec probabilité ^pour cha- cune des boules. Sur [x tirages, faits dans V urne ainsi corn' posée, on obtient m boules blanches et n noires. Quelle est la composition la plus probable de l'urne? La probabilité pour que, dans une urne ainsi composée, le nombre des boules blanches soit >5 est approximativement (58), si N est grand et z petit, La probabilité de la sortie d^une boule blanche est, dans cette hypothèse, I z Posons T^=y; la probabilité d'une valeur désignée de y est proportionnelle à (4) C N =c->Nj«. La probabilité de l'événement observé est proportionnelle à Les probabilités désignées par Wi et pi dans la formule géné- rale (116) doivent être remplacées par (4) et (5). La probabilité de la cause, c'est-à-dire de la valeur y, est pro- portionnelle au produit (6) e-«'r'(i-^)"'(l+:^)'. En égalant à zéro la dérivée du logarithme, on obtient, pour déterminer la valeur dey qui rend (6) maximum, l'équation -. m /i — iNy ! =o •^ I — ly i-f lïy CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 53 OU, comme ^ est petit, — iNy — m(i -H 27) -h n(i — 2j) = o, d'où n — m y = a(IN -^ m-h n) La plus grande probabilité correspond à n — m 2 ( IN -H 771 -f- n ) La composition la plus probable de l'urne donne à la sortie d'une blanche la probabilité , I n — m N-4-2m il) 2 2(N-+-/nH-n) 2(N-Hm-+-/i) m Cette fraction est comprise entre ^ et On aurait pu le prévoir. Avant le tirage d'aucune boule, les chances pour les deux couleurs étaient égales, le rapport le plus vraisemblable était celui qui donne la probabilité \, Si le tirage indique pour l'une des couleurs la proportion de m à m -H n, c'est une raison pour croire au même rapport dans l'ensemble des boules. Si ces deux indica- tions ne s'accordent pas, la probabilité la plus plausible est entre les deux. Si N est très grand, la formule (7) est très voisine de ^, quels que soient les nombres m et n; si, au contraire, m et m -4- /i sont très grands, elle est voisine de > quel que soit N. Ces conclusions du calcul pouvaient également se prévoir. Si le nombre N est très grand, on a fait, pour 'choisir les cou- leurs des boules de l'urne, un très grand nombre d'épreuves, don- nant chacune à la couleur blanche une probabilité ~. Il est certain, d'après le théorème de Bernoulli, que le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules de l'urne diffère peu de ^. Cette certitude est assez grande pour ne pas être notablement amoindrie par les couleurs, quelles qu'elles soient, de quelques boules tirées de l'urne. Si cependant, après un nombre immense l54 CALCUL DES PROBABILITÉS. dressais, on trouve entre le nombre des boules blanches et le nombre des boules sorties un rapport très différent de |, on se trouvera en présence de deux certitudes inconciliables. Nous adoptons, on le voit, le sens vulgaire du mot certitude. On tire au sort mille fois entre la couleur blanche et la couleur noire, en leur donnant des probabilités égales. Dans Turne contenant les boules dont les couleurs sont ainsi désignées se trouveront, à très peu près, autant de boules blanches que de boules noires : on peut le tenir pour certain. Sur m -H /i tirages, on obtient m boules blanches; le rapport du nombre des boules blanches au nombre total diffère peu de > on peut aussi le tenir pour certain. Les deux rapports cependant sont très inégaux. On est évidemment dans un cas exceptionnel , possible assurément, mais fort rare. Supposons, par exemple, N = iooo. Dans l'urne composée de looo boules, contenant vraisemblablement, d'après la manière dont elles ont été choisies, 5oo blanches environ, on fait 4 ti- rages. On tire 4 boules blanches. La composition la plus probable de l'urne, d'après la formule (7), est telle que le rapport du nombre des boules blanches au nombre total soit 1008 _ IÎ16 2008 201 La démonstration supposant un grand nombre d'épreuves faites dans l'urne n'est plus applicable, il est vrai, au cas où le nombre m -f- /i se réduit à 4* Le résultat est cependant peu diffé- rent du véritable. On a vu 4 boules blanches; amenées par le ha- sard, elles sont presque certainement différentes; on ne sait rien sur les 996 autres. Le nombre des boules blanches le plus \Tai- semblable est, pour cette portion de l'urne, 498; cela fait, en tout, 5o2 pour le nombre le plus probable des boules blanches et pour probabilité la plus vraisemblable 'i02 25 1 1000 DOO Si, dans la même urne composée de 1000 boules, on a fait CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 55 40000 tirages et obtenu 22000 boules blanches, le rapport le plus probable donné par la formule (7) est 45000 _ 5 81000 9 22 peu différent du rapport — indiqué par le résultat du tirage; les motifs qu'on avait d'abord de croire à un rapport voisin de ^ se trouvent en quelque sorte annulés par les 4oooo épreuves qui les contredisent. Tous ces chiffres, nous devons le répéter, sont pos- sibles, mais absolument invraisemblables. La probabilité pour que, sur 1000 boules dont la couleur a été désignée par le sort, avec chance égale pour blanc et pour noir, le nombre des blanches soit inférieur à 55o est (65) KO ^ , e-^'dt^ i-h -e(/5) *■* i/tî •/ Deux, cas, en effet, sont possibles : ou les noires sont en majo- rité, ce dont la probabilité est^; ou Técart est positif et compris entre o et 5o. On a = /5 =^ 2,236i, v/5oo 6(2,23) = 0,99838, \ -+- -®(^>^3) = 0,9991. Il j a plus de mille à parier contre un, a priori, qu'un tel écart ne se produira pas. Nos hypothèses cependant le rendent pro- bable. La sortie de 22 000 blanches sur 4o 000 tirages dans une urne contenant nombre égal de blanches et de noires présenterait une anomalie plus singulière encore. Si la probabilité de tirer I boule blanche est |, la probabilité d'en obtenir moins de 22000 sur 40000 tirages est 2000 ï 1 /.v»'"^ , I -^ MîonvniLiTKS. Il ni 11';, que révénomenl doit t'irc ■ ritnicnl conlrairo rommr impos- ''»oo() épreuves, •.>.2(k.k) fois .ilnlité est .',. - ai^on au problème précédent des ques- • 'lies. . I-. vlémenlenl des pn'visions dont la pro- . . ou présume, nalurellemenl, l'inlluenee ■te el Ton est conduit à chercher la pro- . 1 ■ . ..-.iMe. ( )u n'a pas, d'une part, les données ..(i.-, 'laulnî pari : ou il existe une eause, ou il i>la nellelé pn)mise par la forme de renoncé. Ml dit : il y a une cause? . t\' lie m<)uuai(! looo fois, elle a monlré lace ,■ Il prohahililé pt)ur (pie cet écart soit ilù au .. '■ ré'^ulh' de rimperfeelion de la pièce? . . , ■».>sNii)les sont en nombre infini. ; -r parfaile. r. I à l'arrivée' de face une proi)abililé quclconciue ■ IN peliu* (pie !,. "'".rrNé, l'arrivée de Tuo f(jis face sur looo coups .\v'r loules les hvpolhèses : il se peut cpie, la nièce ■ l».i-.ai'd ail amené ee pelil écari; que, la pièce l'a- X. .■ de lace de manière à rendre Téeart le plus pro- tpie n>, le hasard ail eomplélé Li dinV-renct*; (jiie i»iidt.d»le un écarl plus i;rand. beaucoup plus i;rand . iMi que, iii(''*j;ale en sens opposé, elle donne prohai)!- x. de pile ]dus fré'(piente (pie celle de face, vA (|iie le . : (iil .lit ainem* l'exeès lo. ,.i.v'iue!il, dira-t-on peut-élre, parce que tant d'hvpo- . ln»^■.ibIes (pi'il V a lieu de chercher la probabililé de CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 137 La recherche ne peut aboutir : les données sont insuffisantes. La solution varie, en effet, avec la probabilité a priori de telle ou telle imperfection de la pièce, et cette probabilité n'est pas connue. Si Texpérience est faite dans un pays où la fabrication des monnaies a une grande perfection, les grands écarts, a priori, sont presque impossibles, et, parmi les petits, ceux qui favorisent face ont même probabilité que ceux qui favorisent pile. Si les pièces, par leur relief exagéré, favorisent toutes le même résultat, le problème est autre que si, par un autre accident de la fabrication, elles favorisaient le résultat contraire. Il faut rem- placer par une hypothèse les renseignements qui font défaut. L' hypothèse adoptée est inouïe. Toutes les probabilités, depuis o jusqu'à i, données par la pièce à l'arrivée de face sont supposées, a priori, également vrai- semblables. On a cherché quelquefois, non la probabilité de chaque hypo- thèse, mais la probabilité pour que la chance donnée à l'arrivée de face soit plus grande que ^. Surpasse-t-elle ~ de un cent-millionième seulement, il faudra donner à cette différence imperceptible le nom de cause et laisser croire, d'après la dénomination adoptée, que l'écart observé est dû à cette imperfection de la pièce. Il n'est pas inutile de traiter, pour ne laisser aucun doute, un cas célèbre pris pour exemple par Poisson. i24. Buffon a jeté une pièce de monnaie 4o4o fois et obtenu ao48 fois face. Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce de Buffon donnât à l'arrivée de face une probabilité plus grande que celle de pile. Avant de résoudre la question, il semble naturel de chercher si cet écart de 28, qui substitue 2048 fois face au chiffre probable 2020, est assez invraisemblable par lui-même pour rendre sus- pecte la pièce qui l'a donné. La probabilité d'un écart k pour un événement dont la proba- l58 CALCUL DES PROBABILITÉS. bilîté est/7 est I — *1- jx désignant le nombre des épreuves et q la probabilité i — p de l'événement contraire. La probabilité d'un écart moindre que A, en valeur absolue, est /2 [xt: /7g J^ /ir J^ \ /2 fx/?9 y Il faut, dans cette formule, faire h = a8, [jl = 4o4o. On peut, sans erreur sensible, remplacer pq par |; on aura = 0,0236. La Table des valeurs de la fonction donne 6(0,62) = 0,619. La probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire la proba- bilité pour que, la pièce étant parfaite, l'écart soit égal ou supé- rieur à 28. est donc o,38. Si Ton recommençait 1000 fois l'expérience de Buflbn, avec des pièces parfaites, on obtiendrait 38o fois environ un écart supé- rieur à 28. Si donc le hasard est la cause du résultat obtenu, il n'j a pas sujet d'étonnement. Résolvons cependant le problème. Soient ^ 4- w la probabilité donnée par la pièce de Buflbn à l'ar- rivée de face; ^ — :; celle qu'elle donnait, par conséquent, à l'ar- rivée de pile. Toutes les valeurs de z, entre — ^^^^j sont suppo- sées également probables a priori. La probabilité de l'événement observé était, avant l'épreuve, proportionnelle au produit i^-m-') \ 199Î CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 5c) En prenant le logarithme de ce produit, remplaçant ll-'hz] par l- -h l(i-^iz) = l- -\-^z — 2z^j il z\ par l — h/(i — 2^) = / ^z — iz^, on voit qu^en supprimant un facteur constant dont la présence ne change rien, la probabilité de l'événement était, pour une petite valeur de 5, proportionnelle à La probabilité pour que z soit positif est donc proportionnelle à / et pour qu'il soit négatif, à on a 1 g-8080rt-lUsrf^j et, en posant OLZ—^zzzt, P« ^- /- P« P* /- 1 a on a également Le rapport de la probabilité pour que z soit positif à celle pour qu^il soit négatif est donc 56 \ \/8Ô8Ô/ i — b( '.-== \ l6o CALCUL DES PROBABILITÉS. Si Ton désigne par/?' et q' ces deux probabilités, on déduit de ^, =4,263, , 4,263 o Poisson a trouvé o,8io43. 12o. Une difficulté pourrait s'élever, le principe du calcul étant admis, sur la formule d'approximation employée. Après avoir désigné la probabilité cherchée par | -{- .s, et annoncé que toutes les valeurs de z seraient traitées comme également vraisemblables a priori, nous avons négligé les puissances de z supérieures à la seconde. Cela est permis. Lorsque z en effet n'est pas petit, la probabi- lité de l'événement observé peut être considérée comme nulle, aussi bien que l'exponentielle qui la remplace. C'est pour la môme raison que, z étant compris entre o et ^, nous pouvons étendre les intégrations de o à oo. 126. Si Buffon, au lieu de jeter la pièce 4o4o foîs, l'avait jetée I fois seulement et qu'il eût obtenu face, l'événement, on en conviendra sans peine, n'apprendrait rien sur la qualité de la pièce. Cherchons cependant, en appliquant les mêmes principes, la probabilité pour que la pièce ait une tendance à favoriser face. Soit X la probabilité que la pièce donne à l'arrivée de face. La probabilité de l'événement observé étant x et les probabilités de toutes les hypothèses étant supposées égales a priori, la proba- bilité de chaque valeur de x est proportionnelle à ;r; la proba- bilité pour que x soit compris entre ^ et i est proportionnelle à / ' , I I 3 et, pour qu'il soit compris entre o et -J, à / xdx= \; CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. l6l le rapport est 3 et les probabilités dont la somme est l'unité sont Une telle conséquence suffirait pour condamner le principe. 127. La régularité du rapport des naissances masculines et fé- minines a beaucoup occupé les géomètres. On a commis, en étu- diant des anomalies toujours petites, des erreurs semblables à celles que je viens de signaler. On a assimilé les naissances à des tirages au sort faits dans une urne de composition constante, dans laquelle le rapport du nombre des boules blanches à celui des boules noires différerait peu de celui des nombres de naissances indiqué par la Statistique. Une telle substitution n'est légitime que si les écarts obser- vés sont compris dans les limites et suivent les lois que la lliéorie montre certaines dans une suite d'épreuves réglées par le hasard. S'il arrivait que, dans la France entière, le rapport, d'une année a 1 autre, présentât de trop grandes variations; ou si, au contraire, '* se maintenait dans de trop étroites limites, il faudrait conclure, avec grande probabilité, qu'une cause intervient pour régler le 'ïasard ou pour le troubler. ^a régularité de la proportion à Londres entre les années 1629 ^^ '710 a été admirée comme un miracle par un savant, novice encore à la théorie du hasard. Nicolas Bernoulli, digne héritier de ^^^ oncle Jacques et éditeur de son beau Livre, montra au con- ^ï*aire dans les chiffres signalés la confirmation des principes, ^^oaettant l'assimilation des naissances à un tirage au sort, sur '^Ooo naissances annuelles, tel était le chiffre moyen pour la ville ^ Londres, il est très vraisemblable que l'excès du chiffre des S^**Çons sur la valeur moyenne ne surpassera pas une fois en ^^^t ans i63; c'est l'écart le plus grand que l'on ait observé à Uondres. La probabilité d'un écart inférieur à une limite "k entre le nombre ^es naissances masculines, sur i4ooo enfants nés annuellement, et *^ nombre supposé le plus probable, 7200, a pour expression très B. II l()2 CALCUL DES PROBABILITÉS. approchée \}/2[Lpq On suppose, bien entendu, que, par une règle de trois, on ramène toujours le nombre des naissances à i4ooo. Si l'on fait [jl = i4ooo, X= i63, le produit pq pouvant être remplacé par j, on trouve pour probabilité ^(ï,949) = 0,994 ; il y a donc plus de cent à parier contre un, chaque année, pour que le hasard n'amène pas l'anomalie dont Arbuthnot admirait la petitesse et qui s'est produite une fois seulement en cent ans. 128. On peut se demander jusqu'où devrait aller la régularité pour qu'il y eût lieu de s'en étonner. Cherchons, pour préciser la question, quel est l'écart qu'il y a dix mille à parier contre un de franchir une fois au moins en cent ans. Nous avons vu (15) que, si la probabilité d'un événement est -> il y a dix mille à parier contre un que, sur 9,2/1 épreuves, Té- vénement se produira au moins une fois. Si l'on a 9,2/1 = 100, c'est-à-dire — =0,092, il y aura dix mille à parier contre un pour que l'événement dont la probabilité est - se produise une fois au moins sur cent épreuves. La probabilité pour que l'écart, pendant une année, sur, i4ooo naissances soit plus grand que \ est Déterminons X de telle sorte que cette probabilité soit 0,092 et, par conséquent, e (-=_=:,) =0,908. CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. 1 63 La Table donne X -7=- =1,19- On peut remplacer 2 \kpq par 7000; on en déduit ^ = 99- Si, dans un siècle, Técart n'avait pas une seule fois dépassé 99; si, sur i4ooo naissances annuelles, le nombre des garçons s'était maintenu entre 7300 et 7100, une cause régulatrice serait presque certaine; il y a dix mille à parier contre un, a priori, pour que le hasard, sur cent épreuves tentées dans la même urne, ne main- tienne pas une telle régularité. 129. Buffon a signalé une commune de Bourgogne dans laquelle, sur 2000 baptêmes enregistrés pendant cinq ans, le nombre des filles «a surpassé de 20 celui des garçons. Il est né dans cette commune, sur 2000 enfants, 39 garçons de moins que le chiffre normal. La formule donne 0,92 pour la probabilité d'un écart, en plus ou en moins, inférieur à 39; 0,08 est, par conséquent, celle d'une anomalie au moins égale à celle qu'a signalée Buffon ; les statisticiens la rencontreraient souvent, s'ils la cherchaient. 130. Laplace a trouvé, pendant le xviii* siècle, la proportion des garçons aux filles plus petite à Paris que dans l'ensemble du pays, Il au lieu de j^, chiffre normal adopté alors, auquel les do- cuments nouveaux et plus nombreux ont substitué -j-y. Quelle est, se demande Laplace, la probabilité pour que cette différence soit due à une cause? « A Paris, dit-il, les baptêmes des enfants des deux sexes s'écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1745, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 1784, on a baptisé dans celte capitale 393386 garçons et 377605 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24; il paraît donc qu'à Paris une lG4 CALCUL DES PROBABILITÉS. cause parliculière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes. » Si Ton applique à cet objet le Calcul des probabilités, on trouve qu'il y a 238 à parier contre i en faveur de Texistence de cette cause. » Laplace supprime les détails. Ni ses calculs ne sont rapportés, ni les principes sur lesquels ils reposent. 131. Faut-il croire à un écart fortuit ou affirmer Texistence d'une cause? Les données ne sont pas suffisantes. Comment se prononcer de la même manière si les études antérieures ont appris que le rapport varie très rarenient, ou si l'on constate, partout où les documents sont nombreux, des écarts comparables à ceui dont s'étonne Laplace? La solidité plus ou moins grande de la règle qui se trouve en défaut doit faire apprécier différemment les conséquences. Il n'est pas inutile d'insister. Si l'on assimile la distribution des naissances entre les deux sexes à des tirages faits dans une urne, la probabilité pour que le hasard produise, sans l'intervention d'aucune cause perturbatrice, sur 770941 naissances, un écart relatif égal ou supérieur à -— — -— =z 0,00142, est 4i 49 Si donc on dresse des listes pendant un temps suffisant, le ha- sard seul, on peut l'affirmer, produira i3 fois sur 1000 environ, dans un sens ou dans l'autre, un écart égal ou supérieur à celui dont s'est préoccupé Laplace. Si des causes autres que le hasard amènent aussi des anomalies, le statisticien, en classant par groupes de 770000 naissances les registres de tous les temps et de tous les pays, trouvera un certain nombre de rapports anomaux égaux ou supérieurs à celui de Paris. Parmi ceux-là, quelques-uns seront dus au hasard, i3 sur 1000 environ, cela peut être tenu pour certain, si les chiffres CH\P. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l65 sont suffisamment grands. D'autres écarts seront dus à des causes; nous en saurions à peu près le nombre, si la statistique était faite en retranchant du nombre total le nombre probable de ceux que le hasard a produits. Nous n'avons qu'un seul fait : est-il dû au hasard? Il serait téméraire, impossible même, d'en rien dire sans accepter sur les probabilités a priori quelque convention arbi- traire. 132. Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un retard de 1*, quand la température de la chambre dont le chronomètre ne sort pas s'élève de lo*^. L'observation a été renouvelée vingt fois. Quelles sont les probabilités pour que la chaleur soit la cause du ralentissement et pour que le concours des deux faits soit fortuit? Le possesseur d'un chronomètre a remarqué une avance de i* le lendemain de chaque jour où les artilleurs se sont exercés au champ de tir voisin. L'observation a été renouvelée vingt fois. Quelles sont les probabilités pour que l'ébranlement causé par le tir ait changé la marche du chronomètre et pour que le con- cours soit fortuit? Le possesseur d'un chronomètre a remarqué un ralentissement de 1*, chaque fois que la planète Mars passe au méridien entre mi- nuit et i^ du matin. L'observation a été renouvelée vingt fois. Quelles sont les probabilités pour que la planète influe sur le chronomètre et pour que le concours soit fortuit? Les problèmes sont identiques. Les réponses ne peuvent cepen- dant être les mêmes : n'est-ce pas une raison pour reconnaître les données insuffisantes? 133. Les habitants de Saint-Malo s'étaient persuadé, il y a un siècle, que, dans leur ville, le nombre .des décès à l'heure de la marée haute était plus grand qu'à marée basse. lC6 CALCUL DES PROBABILITÉS. Admettons le fait. Supposons que, sur les côtes de la Manche, on ait remarqué une plus grande proportion de naufrages par le vent du nord- ouest que par aucun autre. Les chiffres recueillis à l'appui des deux remarques étant sup- posés en même nombre et inspirant même conflance^ on sera loin d'en déduire les mêmes conséquences. Lorsqu'on sera conduit à accepter comme une certitude l'in- fluence du vent de nord-ouest sur les naufrages, les gens pradent*^ exigeront des preuves nouvelles pour reconnaître seulement vrai- semblable l'influence de la marée sur la dernière heure des Ma- louins. Les problèmes, cette fois encore, sont identiques; l'impossibilité d'accepter une même réponse montre la nécessité de faire inter- venir la probabilité a priori de la cause qu'on veut apprécier. 134. Le fermier d'une niaison de jeu a installé une ix)ulette nou- velle. L'instrument, sur loooo coups, a amené la rouge 53oo fois et 4700 fois la noire. L'acheteur refuse le payement et demande une indemnité : les joueurs ont remarqué les sorties plus fréquentes de la rouge et en ont profité. Un procès s'engage. On allègue le Calcul des probabilités. Jamais, dit le fermier, machine bien construite n'a donné un tel écart. 3oo coups sur 10 000 ne peuvent être Tefl'et du hasard. La probabilité de la rouge n'est pas j comme elle devrait. Peu importe, répond le mécanicien, la statistique des parties jouées : on ne peut pas garantir les caprices du hasard; la machine, construite par d'excellents ouvriers, a été vérifiée avec soin. Aucune pièce n'est imparfaite; on ne montre ni roue mal centrée, ni cases inégales, ni nivellement défectueux. Le tribunal nomme un expert. Quelle décision doit-il conseiller? L'écart observé est un indice. Quelle en est l'importance? L'application du principe (Ho) suppose des données qu'on n'a pas. Les probabilités des diverses hypothèses, que nous nommons les causes, sont proportionnelles au produit de leur probabilité a priori par la probabilité qu'elles donnent à Tévénement. CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. 167 L'événement est l'arrivée de 53oo fois rouge sur loooo épreuves. La cause inconnue, c'est la valeur de la probabilité, donnée par la machine, à l'arrivée de la couleur rouge. La probabilité a priori, désignée par xsi dans la formule (H5), est complètement inconnue; en supposant, comme on l'a fait dans des cas analogues, toutes les valeurs également probables, on proposerait une hypothèse inacceptable. Si, réellement, la roulette favorise la rouge, un très petit écart est plus probable qu'un grand, un très grand est impossible. Les grands écarts sont, en outre, d'autant moins probables que le mécanicien a meilleure réputation et qu'il a employé de meilleurs ouvriers. L'expert doit répondre : Les faits connus de la cause ne permettent pas l'évaluation des probabilités : il manque l'appréciation a priori de la probabilité qu'on veut connaître a posteriori. Le calcul serait sans issue. Il faut simplifier la question. La machine, suivant l'une des parties, donne à la sortie de la rouge une probabilité peu différente de o,53. Le résultat de loooo épreuves ne permet pas, suivant lui, d'en douter. La machine, suivant l'adversaire, donne, comme elle doit, à la sortie de la rouge une probabilité voisine de o,5oo. Le soin apporté à la construction ne permet de croire à aucun défaut grave. Précisons les deux dires : La probabilité de la rouge, dans l'un des systèmes, serait com- prise entre 0,499 ^^ o,5oi ; suivant l'autre, entre 0,529 ^^ o,53i. Laissons de côté le cas très possible où les plaideurs se trompe- raient tous deux, et cherchons le rapport des probabilités de leurs assertions. Soient x la probabilité pour que la roulette donne à la couleur rouge une chance comprise entre 0,629 et o,53i ; y la probabilité pour que la chance soit comprise entre 0,499 ^^ o,5oi, x+y n'est pas égal à l'unité. Le rapport — > sans faire connaître les deux probabilités, apportera un renseignement ut'de. 1 ■ 'i*t CilLGUL DES PROBABILITÉS. Soient TUi la probabilité a priori pour que la machine, d*après iH qu*on savait avant sa mise en œuvre, en tenant compte de sa bonne apparence, de la bonne renommée du- constructeur et de l'apparente sincérité de ses déclarations, donne à la sortie de la couleur rouge une valeur comprise entre o,499 ^^ o,5oi ; w^ la probabilité, évaluée toujours avant l'épreuve, pour que, malgré les garanties énumérées, elle donne une probabilité comprise entre 0,529 et 0,53 1. nji et xa^ sont inconnus. Soient jD| et /72 les probabilités que les deux hypothèses sur le mérite de la roulette donneraient à l'événement observé, on aura (H5) y " ^iPi En nommant X la probabilité de la sortie de la rouge, la proba- bilité qu'elle donne à l'événement observé est proportionnelle à Si Ton suppose on trouve X| — o,5oo et Xj — o,53o, X,»300(i_X,)"00 X»»oo(,. .xo^-oo =0,0000000008. Le rapport varie peu quand Xi et X2 restent dans les limites as- signées. On peut donc supposer — — 0,00000001 5; Pt par conséquent. r> uti i wi y 1 000000000 mj 6G6()6G6(> mj ro, — est inconnu. Si le constructeur est très habile, ce rapport est TJT{ très grand; il est invraisemblable qu'une pièce détestable sorte d'ateliers dignes de confiance; mais, quelle que soit la confiance, CHAP. VII. — PROBABILITÉ DES CAUSES. 169 en divisant le rapport qui la mesure par 66666666^ il est à craindre que le quotient soit petit. Si vous croyez qu'un défaut tel que celui qu'on soupçonne ne peut se produire qu'une fois sur un million, il restera 66 à parier contre i qu'il s'est produit cette fois-là. 135. Les restrictions proposées peuvent s'appliquer aux consé- quences déduites par Mitchell du rapprochement fréquent de deux étoiles dans le ciel. Deux hypothèses sont possibles : Pour être aperçues dans la même direction, deux étoiles n'ont rien de commun, leur vraie distance est immense; Les deux étoiles, au contraire, sont voisines dans l'espace ; c'est pour cela qu'elles sont rapprochées dans le ciel. En comptant les étoiles de i", de a® et de 3" grandeur et les supposant indépendantes les unes des autres, Mitchell a calculé le nombre probable des groupes dont la distance est inférieure à une limite donnée. Il ne faudrait pas croire que toutes les distances angulaires soient, a priori, également probables : les petites le sont moins que les grandes. Considérons une première étoile, peu importe la position qu'elle occupe. Si une seconde étoile est placée au ha- sard, pour qu'elle se trouve à une distance angulaire de la pre- mière comprise entre 6 et 6 -f- rfO, il faut que le hasard la place dans une zone comprise entre deux cercles ayant pour pôles la première étoile et pour rayons sphériques et -h rfO. La surface de cette zone est d'autant plus grande que 6 s'approche davantage de - ; elle est proportionnelle au sinus de l'angle dont on cherche la probabilité. La probabilité pour qu'une étoile se trouve à une distance inférieure à y d'une étoile donnée est le rapport de la zone à une base terminée par le petit cercle dont y est le rayon sphérique à la surface de l'hémisphère sur laquelle on suppose l'étoile placée au hasard. Ce rapport, égal à i — cosy, peut être re- présenté, si y est petit, par — . I~0 CALCUL DES PROBABILITÉS. SI, par exemple, on prend on aura Y = lo' = — ?— = 0,0020089, * 1080 > î' î'» i- = 0,0000042807 = 2 236362 Le nombre des étoiles des trois premières grandeurs étant égal à aSo, on peut former — - — - = 26335 combinaisons deux à deux. La probabilité pour que le hasard procure deux étoiles à distance inférieure à 10' est celle d'obtenir i boule blanche en 26335 ti- rages dans une urne contenant une seule blanche et 236362 noires. Cette probabilité est (I ^ S6335 L^ngénieux argument de Mitchell ne peut pas cependant fournir d'évaluation numérique. La recherche plus ou moins rigoureuse- ment faite delà probabilité pour que le hasard ait produit les groupes observés n'est pas le seul élément de la question. C'est le seul, cependant, que l'on fasse intervenir. Si Ton trouvait, en étudiant le ciel, trois étoiles de i '^*^ grandeur ayant, à i* près, la même as- cension droite, la probabilité pour que le hasard produise un tel rapprochement est plus petite assurément que la formation for- tuite du groupe des Pléiades. En conclura- t-on, avec la même vraisemblance, que ce rappro- chement doit avoir une cause et que ces étoiles, dont la déclinai- son diffère de 40^ ou 5o** peut-être, sont solidaires et forment un système? Personne, assurément, n'y songera, et la raison en est que la probabilité a priori, désignée par tïj/ dans nos formules, est trop petite. Comment déCnir, d'ailleurs, la singularité dont on juge le ha- sard incapable? Les Pléiades semblent plus rapprochées les unes des autres qu'il n'est naturel. L'assertion est digne d'intérêt; mais, si l'on veut CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. 1^1 traduire la conséquence en chiflres, les éléments font défaut. Faut-il, pour préciser cette idée vague de rapprochement, cher- cher le plus petit cercle qui contienne le groupe? la plus grande des distances angulaires? la somme des carrés de toutes les dis- tances? l'aire du polygone sphérique dont quelques-unes des étoiles sont les sommets et qui contient les autres dans son intérieur? Toutes ces grandeurs, dans le groupe des Pléiades, sont plus petites qu'il n'est vraisemblable. Laquelle d'entre elles donnera la mesure de l'invraisemblance? Si trois étoiles forment un triangle équilatéral, faut-il faire entrer cette circonstance, assu- rément peu probable a priori, au nombre de celles qui révèlent une cause? L'intervention du hasard dans la formation de l'univers est inacceptable. Une loi règle tout, cela n'est pas douteux. Quelle est cette loi? voilà la question. Il n'est pas admissible qu'on demande s'il y en a une et que l'on évalue la probabilité de la réponse. Si l'étude du ciel suggérait plusieurs lois, on pourrait les mettre en balance et non choisir l'une d'elles, celle du groupement par attraction mutuelle, pour l'opposer à l'ensemble des autres, réu- nies sous le nom vague de hasard. Lorsque plusieurs étoiles semblent voisines sur la voûte céleste, leur proximité dans l'espace est la première explication qui se présente. Ne peut-on pas en imaginer d'autres? Si l'ensemble des étoiles forme un réseau régulier, si le Soleil en est un sommet, les lois géométriques de cette immense cristal- lisation peuvent exiger des alignements. La Terre, voisine du So- leil, aperçoit, pour ce motif, beaucoup d'étoiles dans une même di- rection. L'hypothèse, dira-t-on, ne mérite pas examen. Raison de plus , si on la condamne par l'appréciation des probabilités a prioriy pour ne négliger dans aucun cas le rôle indispensable qu'elles doivent jouer. 136. On a attaché beaucoup d'importance à la recherche de la probabilité des événements futurs, déduite des événements ob- servés comme corollaire de la probabilité des causes. 1^2 CALCUL DES PROBABILITÉS. Le problème peut s'énoncer ainsi : Plusieurs causes peuvent produire un même événement dont Ja probabilité dépend à la fois de la probabilité pour que chaqae cause agisse et de la probabilité que, dans ce cas, elle donne à Tévénement. Si les probabilités des causes sont t7|, tîTs, . . ., m^,, et celles qu'elles donnent à Tévénement />|, p^^ .. ., p^ Ist probabilité, a priori, pour que l'événement se produise, est On fait un certain nombre d'épreuves, dans des conditions telles que la même cause, on ignore laquelle, a agi dans toutes. Si les causes sont des urnes de compositions différentes, que le hasard peut désigner pour qu'on y fasse le tirage, une même urne a servi à tous les tirages. La connaissance des résultats obtenus change les probabilités, qui ne sont plus, pour les différentes causes, T3|, Wa, . . . , TSn- On demande la probabilité pour qu'une nouvelle épreuve, faite dans les mêmes conditions que les précédentes, procure l'arrivée d'un événement désigné. Une urne, par exemple, contient des boules noires et des boules blanches en proportion inconnue. Toutes les suppositions sont ravalement possibles. On a fait [// tirages ; il est sorti m boules blanches et n noires. Quelle est la probabilité pour que le (a H- i)""* tirage amène une boule blanche? Soit œ la probabilité donnée par la composition de l'urne à la sortie d'une boule blanche. Toutes les valeurs de x sont, a priori, également probables, La probabilité qu'une valeur x donne à l'événement observe est ./M {I — jr)«. La probabilité pour que x soit compris entre x el x -\- dx peut donc être représentée par Gx"*[ I — x)'*dx. CHAP. VII. PROBABILITÉ DES CAUSES. l'j'^ j étanl indépendant de x, La probabilité pour que x soit compris între o et i est la certitude. On doit donc avoir = G r a7"»(i - x)'*dx = G T(m-{-i)T(n-+-i) ^ •■ • r(/7H-/l-+-2) ' lonc ~~ r(/n-f- i)T(n -r-i)' ?t la probabilité pour que le rapport du nombre des boules blan- ches au nombre total des boules soit compris entre x ei x -h dx est r(/n-+-w-f-2) „, „ , c'est-à-dire I.2.3.../7»-T-/l-^I r 5 a:"» ( I — ar)» tfa:. l.a.J.../^. 1.2.0... 71 La probabilité pour qu'une nouvelle épreuve amène une boule blanche est la somme des produits des diverses valeurs de la pro- babilité X par la probabilité pour que chacune soit la véritable. :î 'est-à-dire V{m-^n-\-'i) r^ ^.. . , r(/n~/i — 2)r(/n-+-'2)r(/i-f-i) I x"^^^(i — x\^dx^=- — -\ "(m-+-i)r(/i-M) Jq ^ ^ r(m-M)r(/i-M)r(/n-r-/iH-3)' >n a rf/n H- n -+- 2) I r(/n -h /i -h 3) /nH-/i-4-2 r(/n-f-2) r(/n-ri) et la probabilité demandée est m -f- î T/t H- /i -h 2 137. Les applications faites de cette formule ont été presque toutes sans fondement. On a osé chercher la probabilité pour que le Soleil se lève demain. Pour chercher la probabilité d'un événement, il faut accepter 1^4 CALCUL DES PROBABILITÉS. son contraire comme possible. Une urne est donc supposée qui contient des boules blanches et des boules noires. La probabilitë d'en tirer i boule blanche représente celle de voir le Soleil se lever. Jamais il n'a manqué : cela dure depuis six mille ans. L'urne, consultée 2191600 fois, a donné aipiSoo boules blanches. La formule donne pour la probabilité d'un nouveau tirage sem- blable aux précédents îiioiôoi — = 0,099999543. 2191602 ^^^>f^^ ^ Est-il besoin d'insister sur l'insignifiance d'un tel calcul? Représentons-nous le premier homme au premier coucher du Soleil. Il devrait, pendant sa première nuit, s'il raisonne comme Condorcet, assigner la valeur | à la probabilité de le revoir. S'il comprend la question et s'il se la pose, les chances pour lui se- ront beaucoup moindres. Le Soleil a disparu; s'il est éteint, qui le rallumera? S'il est tombé dans la mer, comment en sortirait-il? Sans avoir cependant la science parfaite que lui supposent les théologiens, le premier homme se persuadera sans doute, après cent apparitions, que le Soleil tourne autour de la Terre; rien alors ne doit lui faire craindre un arrêt brusque, l'absence du So- leil au cent et unième jour ne Tétonnerait pas moins que celle des objets éclairés chaque matin par ses premiers rayons; faudra- t-il, en invoquant la formule, supposer qu'après cent jours w probabilité de les revoir est -J-J^? L'absurdité serait précisément la même. Le lever du Soleil, après une année, sera pour le premier homme une certitude. ^ Si le temps doit la confirmer et l'accroître, c'est par la décou- verte des lois astronomiques et non par le succès renouvelé d'uD même jeu de hasard. CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 1^5 CHAPITRE VIII. LOI DES ERREURS D'OBSERVATION. in dor Astrunomte Ist die Praxis eine Aufi^abe der Wahncheinlichkclts-Rechnang, dio Théorie eine Auf- gabe dor hOheren Mechanik. Bembl. 138. Postulatuin de Gauss. — 139. Autre hypothèse faite impIicitemcDt. — 140. Cas dans lequel le postulatum est rigoureusement exact. — 141. Con- séquence des suppositions acceptées. — 142. Comparaison du résultat avec une formule connue; accord apparent, mais non réel. — 143. Autres con- tradictions résultant de la loi admise. — 144. Conséquence d'un autre mode de combinaison des mesures. — 145. L'observation confirme la règle de Gauss, les erreurs constantes étant écartées. — 146. Méthode de vérification. — 147. Résultats de Bradley discutés par Bessel. — 148. Détermination du para- mètre k; diverses formules. — 149. Vérifications possibles. — 150. Valeur pro- bable du carré de Terreur commise en adoptant la première formule. — 151. Valeur probable pour la seconde. — 152. Comparaison des deux résultats. — 153. Les formules peuvent être remplacées par d'autres qui sont préférables. — 154. Autre modification accroissant la confiance méritée par la formule. — 155. Autres méthodes pour calculer k. — 156. Groupement des observations deux par deux; valeur probable de la plus grande erreur. — 157. Autre dé- monstration du résultat. — 158. Valeur probable du carré de la plus grande des erreurs considérées deux à deux. — 159. Groupement des erreurs trois par trois. — Distinction nécessaire entre l'erreur véritable et l'erreur présumée. — 160. Cas plus général. — 161. Discussion de la démonstration précédente. — 162. Expression qui caractérise la précision d'un système de mesures. — 163. Ce qu'on entend par poids et par précision. — 164. Si la loi de probabilité était autre, ces deux mots n'auraient plus de sens précis. — 165. Est-il permis d'écarter les mesures rendues suspectes par leur différence avec la moyenne? — 166. Valeur probable de la plus petite des erreurs commises. — 167. Com- binaison d'observations qui n'inspirent pas égale confiance. — 168. Partage d'une grandeur en plusieurs parties mesurées séparément. — 169. Évaluation donnée par Fourier en Egypte. — 170. Discussion relative à la détermination de la constante k déduite d'un système d'observations. 138. La loi rigoureuse de probabilité des erreurs d'observation varie sans doute avec la grandeur mesurée, comme avec le choix 1*^6 CALCUL DES PROBABILITÉS. de rinstrument et rhabileté de Tobservateur; elle est inaccessible aux géomètres. Eulcr, Bernoulli, Lagrange et Laplace ont fait des hypothèses démenties par les faits et mal justifiées par des preuves sans vrai- semblance. Gauss, plus heureux, a déduit d'un raisonnement fort simple une loi que la démonstration laisserait douteuse^ mais que les con- séquences justifient. Lorsque plusieurs mesures d'une grandeur inspirent une con- fiance égale, la valeur la plus probable est la moyenne de celles qu'on a obtenues. Tel est le poslulatum de Gauss. Tous les observateurs , avant qu'il fût pris pour base de la théorie, y avaient adhéré en en fai- sant usage. S'il suffisait d'admettre une règle aussi plausible, la théorie serait parfaite. A la condition énoncée, il faut, malheureusement, en ajouter plusieurs autres qu'on ne dit pas. Nous devons signaler d*abord une différence essentielle entre la valeur la plus probable d'une grandeur et la meilleure valeur à adopter. La valeur la plus probable est celle dont la probabilité est la plus grande. Peu importent les autres. Elles doivent toutes, ce- pendant, diriger le choix à faire. S'il est utile d'accroître la pro- babilité des petites erreurs, il est désirable aussi de diminuer celle des grandes. S'attacher seulement à choisir la valeur la plus probable, c'est imiter le joueur qui, pouvant espérer un grand nombre de gains différents et craindre un grand nombre de pertes, prendrait ses décisions de manière à accroître la chance de gagner le plus gros lot, sans aucunement se soucier des autres. En disant : u En présence de plusieurs mesures d'une même grandeur, le parti le meilleur est d'adopter la moyenne », et : u La moyenne entre plusieurs mesures est la valeur la plus pro- bable )), on énonce deux propositions différentes. On a eu tort de les confondre. CHAP. VIII. LOI DES ERREURS D OBSERVATIOPJ. I^^ Supposons, pour donner un exemple, que Ton cherche l'origine probable d'une plante d'espèce connue cueillie en France. Dans la liste des loo localités où Tespèce se rencontre , on en trouve trois dans la même commune du Cantal et les autres dans g'j communes différentes du Finistère. La commune la plus probable est en Auvergne; l'origine pro- bable de la plante, la Bretagne. 139. Après avoir proposé le postulatura qui a été admis sans difficulté, Gauss représente par çp(A)rfA la probabilité pour que l'erreur d'une mesure soit comprise entre A et A 4- rfA ; la fonc- tion cp(A) est l'inconnue qu'il veut déterminer. Ici encore s'élève une objection. La probabilité d'une erreur A est-elle une fonction de A? Ne dépend-elle pas de la grandeur mesurée? Si Ton fait une pesée, si l'on mesure un angle, lorsque le poids est un nombre exact de milligrammes, lorsque l'angle contient un nombre exact de secondes, n'a-t-on pas plus de chances d'évaluer juste que s'il faut ajouter une fraction? Si cette fraction, que l'instrument ne donne pas, est exactement égale à \^ n'a-t-on pas, en l'évaluant, moins de chances d'erreur que si elle est 0,27? En disant, sans explication : Soit çp(A) d/A la probabilité d'une er- reur A, on s'écarte, dès les premiers mots, de la rigueur promise en quelque sorte par la forme géométrique de la démonstration. 140. Il est un cas où, le postulatum étant rigoureusement dé- montrable, la conclusion cependant n'est qu'approchée. C'est une preuve décisive contre l'exactitude de la théorie. Supposons que la grandeur à mesurer soit le rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules, dans une urne de composition inconnue. On tire un certain nombre de boules ; nous le désignerons par {JL. Sur ces [JL boules, m sont blanches. La fraction — peut être considérée comme une mesure du rap- B. 12 im.. L 1-8 CALCUL DES PIlOBABILITÉS. port cherché. L'instrument qui l'a donnée est d'autant plus précis que le nombre des tirages est plus grand. L'opération recommen- cée n fois donne les mesures successives — , , • • • 1 — - - . La valeur la plus probable du rapport cherché déduite des /îjx tirages est m, -+- mi -4- . . . -+- ntn elle est, on le voit, la moyenne entre les valeurs successivement obtenues par n mesures qui méritent même confiance. Si la dé- monstration que nous allons donner était irréprochable, la con- clusion devrait, dans ce cas, s'appliquer en toute rigueur. 141. Soient .r,, d:*2, . . . , x,^ les valeurs d'une même grandeur données par n mesures successives, faites dans les mêmes condi- tions et dignes de la même confiance. La valeur la plus probable de la grandeur inconnue est, on le suppose, la moyenne a?! -f- ar^ -+-... H- Xfi X = n Si z est la valeur véritable, les erreurs successivement commises ont été z — Xi, z — .r^, . . . , z — x„. La probabilité, avant l'é- preuve, de ce concours de mesures, c'est-à-dire celle de l'événe- ment observé, est proportionnelle au produit La probabilité pour que la valeur exacte soit z est proportion- nelle à (i): la valeur la plus probable est celle qui rend ce produit maximum : elle doit donc rendre nulle sa dérivée et, par consé- quent, aussi celle de son logarithme, et l'on doit avoir 0'(Z-X,) O'(z-Tt) , , ^'C^-^H^^^ ^{Z — Xi) o(z—Xz) t^{Z — Xn) Cette équation, d'après le postulatum, doit être satisfaite par la T CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. I ^9 valeur .7*1 -+- JTj -f- . . . H- X„ z = . n Si Ton pose oUn) _ oi U) l'équation (2) peut s'énoncer de la manière suivante : La somme des valeurs de la fonction F(//) doit être nulle lorsque celle des valeurs de la variable est elle-même égale à zéro. Si l'on considère deux valeurs u^ et 112 de la variable, on doit avoir F( wi)-+-F(— Ml) = o; la fonction est impaire. Si l'on en considère trois, u^^ U2 et — Ux — u^i on doit avoir On déduit de cette équation bien connue la forme de la fonc- tion F; elle est proportionnelle à la variable. L'équation (3) donne o(w) 3n en déduit, en intégrant, l o(u) = h c * 2 lïl, en remarquant que o(u) doit s'annuler quand u est infini, O et k étant des constantes. On peut déterminer le facteur G. La probabilité d'une erreur comprise entre z cl z -\- dz étant celle d'une erreur comprise entre — oo et ^- oo est l8o CALCUL DES PROBABILITÉS. elle représente la certitude. Il faut l'égaler à l'unité. On en déduit, en se rappelant Téquation bien connue f^\-'^^'^^dz = ^^T., C- ^' et la loi de probabilité des erreurs est représentée par (4) 4-e-^^'^'dz, une seule constante servant à distinguer et à caractériser les cas. 142. La vérification dont nous avons parlé (140) semble con- firmer le résultat. Si, sur |JL tirages faits dans une urne, on a rencontré m boules blanches, la probabilité pour que la composition de l'urne donne m pour rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules est (121) yjLTz m( (JL — ni) Le théorème semble confirmé; il est mis en défaut : la for- mule (5) est seulement approchée, elle devrait être rigoureuse- ment exacte. 143. La règle des moyennes, il importe d'insister sur ce point, n'est ni démontrée ni exacte. S'il était admis que la moyenne entre plusieurs mesures fût toujours la valeur la plus probable, il en résulterait des contradictions. Quand on mesure une grandeur, on mesure, par cela même, toutes les fonctions de cette grandeur, son carré par exemple, ou le logarithme du nombre qui la repré- sente. Pourquoi la valeur la plus probable du carré ne serait-elle CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. i8i i moyenne des valeurs obtenues pour le carré, et la valeur ble du logarithme, la moyenne des logarithmes? valeur la plus probable d'une grandeur dont les mesures ssives sont .r,, Xy, . . ,, Xn serait alors représentée par l'une utrc des formules or I ~T~ or m "T" • • • ~T~ or fi n ré de la première est, en effet, la moyenne des carrés, et le ihme de la seconde, la moyenne des logarithmes, le faut pas, pour écarter l'objection, faire une distinction les grandeurs directement mesurées et celles qui résultent calcul. Un mécanicien pourrait, bien aisément, annexer à alance une aiguille marquant le carré ou le logarithme du Ce carré ou ce logarithme deviendrait alors la grandeur ée. Le postulatum admis dans un cas devient donc im- »le dans les autres. seconde supposition indispensable à la démonstration, la ►ilité d'exprimer la probabilité d'une erreur en fonction de erreur seulement, implique également contradiction. Une eur étant égale à X, on lui trouve, en la mesurant, la va- 'i] l'erreur est X — Xt. L'erreur sur le carré est X^ — x''^. m 1 pose X — Xi = z, ra '2 babilité d'une erreur z étant (p(5), celle de l'erreur 2Xi z carré sera aussi o( z'). Elle n'est pas une fonction de l'er- ommise. . L'importance du résultat justifie l'étude et la discussion ieuses des détails. Nous résoudrons encore le problème t: jauss avait adopté, au lieu de la moyenne, un autre mode I l8?. CALCUL DES PROBABILITÉS. de combinaison des mesures, quelle loi des erreurs en aurait*ll déduite? En supposant que (7) ?(-^i» ^i ^/i) représente la valeur la plus probable d'une grandeur dont les \a- leurs successivement obtenues sont oti, X2, • • • » ^/i> quelle est la loi correspondante pour la probabilité des erreurs? En général, nous allons le démontrer, il n'existe pas de loi. exprimant la probabilité d\ine erreur A en fonction de A, qui puisse justifier Tadoption de la fonction (f. Le problème ne peut être résolu que pour certaines formes très particulières. En désignant par :; la valeur de la grandeur mesurée et par ^(A) la fonction de A à laquelle est proportionnelle la probabilité d^unc erreur A, la valeur la plus probable z doit rendre maximum le produit La dérivée par rapport à z de ce produit doit être nulle et, si l'on pose on doit avoir (8) F{z — xi) -{-F(z — Xi) -T-. . ,-^¥(z — Xn) — o, Z étant lié à 0^1, Xo, . . . , ^/i par la relation ;; = tpl'xi, Xtj .. ., X„). Pour que l'équation (8) puisse être satisfaite par une fonction F, il faut que les valeurs z — Xt, z — X2t . . ., -3 — ^^ de la variable, auxquelles correspondent les valeurs de la fonction dont la somme doit être nulle, ne soient pas indépendantes les unes des autres. Les n fonctions de n variables doivent être liées par une relation. 11 faut et il suffit, pour cela, que leur déterminant fonctionnel soit nul. CHAP. VIII. - LOI DES ERREURS D OBSERVATION. l83 On doit avoir dxi d(f dxi — I d(^ dx\ d^ dxi d^ dxi ■ • ■ • dXn d^ dXn d^ dxi d^ dxi • • • d'o dXn = o. ce qui donne Téquation linéaire d^ d^ dxi dx% dxii d^ — ^ = I, dont rintégrale est (9) © = X\-^ X\-\- . . .-\- Xfi n ¥{xi~- x^,x^— Xx, j ^n ^l). Telle est la seule forme possible de la fonction (p, pour laquelle la recherche, telle qu'on l'a faite, puisse donner une loi de proba- bilité. La forme obtenue pour

ooo 0,33... 1761 0,66.. 0,01.. 3.{ 0,34... 1814 0,67... 0,02.. loS 0,33. . . 1866 0,68... 0,03.. iGi 0,30... 1919 0,69.. 0,01.. '21 5 0,37... »97i 0,70.. 0,0Î).. '^Ccj 0,38... *>.oji3 0,71. 0,0<».. . 3x3 0,39.. 2075 0,72 0,07.. 0,40... 2127 0,7;: 0,08.. 43o 0,41... 2179 0.7: 0,09.. 484 0,42... 223o OJ 0,10.. . 538 0,43... 2282 0. 0,11.. 591 0,44... 2334 Il 0,15.. 045 0,43. . 2385 « o,i:j.. • <>9î) 0,46... 2436 0,M.. 752 0,47... 2488 0,13. 8ofi 0,48... 2539 0,10.. . 859 0,49... aigc 0,17.. 913 0,50... 261: 0,18.. . 966 0,51... 2Gu 0,19.. 1020 0,52... •^7 0,20.. 1073 0,53... '.» 0,21., 1126 0,54... 0,22.. . 1180 0,55... 0,23.. . 1233 0,56... 0,2i.. . 1286 0,57.. 0,25.. 1339 0,58.. 0,26.. . 1392 0,39. 0,27.. . 1.145 0,60 0.28.. 1498 0,61 0,29.. . i55i 0,«i i 0,30.. . 1604 0.1 0,31.. . i656 ._ "■* mtm^àèm 0,32.. . «709 (' ^ .1 ^ *^»i 19.2 iu,9 5,1 ••7 dr réioîle polaire iSi3. ont donné : CHAP. VIII. LOI DES ERREURS » d'observation. .87 Nombre Nombre Nombre Nombre m. sur 10000. m. sur 10000. m. sur 10000. m. sur 10000. i,6l... 73i3 2,00.. 8227 2,83.. . 9454 3,70.. . 9870 1,66.. 7371 2,03.. . 8332 2,90.. . 949^ 3,73.. . 9886 1,68... 749.8 2,10.. . 8433 2,93. . 9534 3,80.. . 9896 1,70... 7485 2,15.. . 853o 3,00 . 9570 , oD . . 9906 1,72... 7540 2,20.. . 8622 3,03... 9603 3,90... 9915 1,74... 7594 2,23... 8709 3,10... 9635 , Vti . . < . 9923 1,76... 7648 2,30.. . 8792 3,13... 9664 4,00... . 9930 1,78... 7701 2,33... . 8870 3,20 .. 9691 4,10.. . 9943 1,80... 7753 2,40... . 8945 3,23... 97>6 4,20... 995 i 1,82... 7804 2,43.. 9016 0, oU . • < 9740 4,30... 9963 1,84... 7854 2,30... . 9082 3,33... 9762 4,40... 9970 1,86... 7904 2,33.. . 9^46 3,40... 9782 4,30.. • 9976 1,88... 7952 2,60... 9205 3,43... 9800 4,60... 9981 1,90... 8000 2 , 63 . . . 9261 3,50... 9818 4,70... 9985 1,92... 8047 2,70... 9314 3,33... 9834 4,80... 9988 1,94... 8093 2,73... . 9364 3,60... 9848 4,90... 9991 1,96... 8i38 2,80... 94 II 3,63. . 9862 3,00... 9993 1,98... 8i83 La valeur de k est inversement proportionnelle à l'erreur pirobable. Si l'on a posé, en effet, 2it Vit */o X 2 I 2 on trouvera kX = 0,47693 «t, par conséquent, X désignant Terreur probable, la valeur cor- respondante de k est ^_ 0,47693 148. Bessel a trouvé par la discussion des 470 observations de Bradley, en réduisant les nombres par une proportion à l'hypo- thèse de 100 observations seulement, les nombres suivants pour les erreurs variant de o'', 4 : l88 CALCUL DES PROBABILITÉS. Déclinaison d*une étoile. k — 0*, 43539. Nombre Erreu rs. des erreurs. Nombre cà M à o',4 22,0 I9ï5 0,4 0,8 19,3 18,3 0,8 •.-i 18,3 16,2 1,2 1.6. 9,3 i3,6 1,6 a,o 9,0 10,6 2,0 a, 4 7,7 7,9 2,4 s, 8 3,3 5,5 2.8 3,a 5,0 3,6 3,2 3,6 a, 7 2,2 3,6 4,0 1,3 1,3 4,0 • • • 2,0 î,4 L'élude des observations d'ascension droite de la même étoile a donné : k = o',2283. Nombre Erreu rs. des erreurs. Nombre calculé 0,0 a 0,1 38, 33.5 0,1 0.2 28,0 28,0 0.2 0,3 17,7 19'=» 0,3 0,4 8,0 lO:9 0,4 0,5 4,7 5:1 0,5 0,6 2,0 2,0 0,6 0,7 1,0 0.7 0,7 0,8 0,3 0,0 Cent déterminations de l'ascension droite de l'étoile polaire faites à l'observatoire de Kônigsberg, de 181 3 à 181 5, ont donné : \ CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATIOW. 1 89 Erreurs. 0,0 à i 0,4 0,4 0,8 0,8 1,2 1,2 1,6 1,6 2,0 2,0 2,4 2,4 2,8 2,8 3,2 3,2 3,6 3,6 • • • A" = r,3o93. Nombre des erreurs. Nombre calcule 25 24 ,9 22 21,9 «9 18,2 II ^3,7 9 9,5 8 6,0 2 3,4 3 1,8 I 0,9 0,6 149. Nous devons dire maintenant comment on détermine le paramètre k. Deux cas peuvent se présenter : si les mesures ont porté sur une grandeur exactement mesurée avant ou après les observations qu^on discute, toutes les erreurs sont connues avec certitude. Si, au contraire, les mesures ont été prises sur une grandeur qui n'est connue que par elles, les erreurs sont incertaines comme la gran- deur elle-même; et, en donnant ce nom A^ erreur à la différence entre chaque valeur observée et la moyenne, on ne peut avoir qu'une évaluation vraisemblable et approchée. Nous traiterons d'abord le premier cas, auquel se ramène le second. La détermination approchée de k peut se faire d'un grand nombre de manières. 11 suffit, en effet, de calculer la valeur pro- bable d'une fonction quelconque de l'erreur commise dans une observation. La moyenne des valeurs de cette fonction, dans une série suffisamment nombreuse, en vertu du théorème de Bernoulli, différera peu de la valeur probable. En les égalant, on obtiendra la valeur de k. On peut ainsi déduire la valeur approchée de A' de la valeur lt)0 CALCUL DES PROBABILITÉS. probable de Terreur prise en valeur absolue, du carré de l'errear. du cube et, en général, d'une puissance quelconque de l'erreur. La probabilité d'une erreur z étant la valeur probable de z^ considéré comme essentiellement positif, est La valeur probable de z^ est 1J_(...-V.= J,; celles de z^ et de 5*, ih r^ I — ^ / C *'-*^'rf>5 = — --» V TT ,/o k} y T. ok Ç^ 3 En admettant que, sur un grand nombre d'épreuves, la moyenne des valeurs d'une grandeur diffère peu de la valeur probable, en nommant ei, ea, ..., e„ les erreurs successivement commises dans n observations, on pourra écrire e\ -V- e^ -\- . . ,-\- en Si i n n A/û' e\ eî-+-. ..-+-cj ^ n = ! n aA'' e\ '^- e\ -^ . . .-^^î — n ! n A-Î^TT € ^ ~" €'2 ~i • • .-4- ci S, 3 n 71 4^' V loO. Chacune de ces équations donne une valeur de k; elles doivent s'accorder et s'accordent, en effet, dans les applications, CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. I9I il^une manière très satisfaisante. On en déduit ces relations re- marquables. S|, Sa, S3, S4 désignant la somme des erreurs, prises en valeur absolue, la somme des carrés, la somme des cubes, la somme des quatrièmes puissances, on doit avoir ap- proxînnativemenl n TT m -1 n m Ces formules singulières, dont le premier membre est fourni par le hasard, méritent tant de confiance qu'un calculateur à qui des observations sont remises et qui trouve ces égalités en défaut peut tenir pour certain qu'on a retouché et altéré les résultats im- médiats de Texpérience. 151. Il importe d'évaluer la confiance méritée par les valeurs de la constante k que nous venons d'obtenir. Cette appréciation consistera dans le calcul de la valeur probable de Terreur com- mise en adoptant une des équations précédentes. Lorsque nous écrivons, par exemple, (11) —7= = o, réquation n'est pas rigoureuse. Nous savons que, pour de grandes valeurs de /t, la moyenne des erreurs diffère peu de — —9 qui est A/tc la valeur probable. Quel que soit n, une grande différence est pos- sible, cela est évident; mais elle est peu probable. Nous aurons une appréciation de la confiance méritée par Té- 19'^ CALCUL DES PROBABILITÉS. quation (ii) en cherchant la valeur probable de On comprend la nécessité d'élever l'expression au carré. Elle peut être positive ou négative : sa valeur probable est nulle, cela ne prouve nullement la précision des mesures; les grandes va- leurs peuvent être détruites dans la somme par des termes de signes contraires. On a n La valeur probable de chacun des termes du second membre est connue. Le carré d'une erreurs? a pour valeur probable -j^; Terreur e/, qui est prise ici en valeur absolue, a pour valeur probable — î^» et le produit e/e/' de deux erreurs a, par conséquent (48), pour va- leur probable —r^* La valeur probable de l'expression (12) se ré- duit, en ayant égard au nombre des termes de chaque somme, à elle tend vers zéro lorsque n augmente. 152. Cherchons la valeur probable de (i3) //»2_L-^â_i_ -4-/»* f \2 cette valeur étant calculée, bien entendu, de même que la précé- dente, avant les opérations faites et sans qu'on puisse prévoir ni présumer quelles sont les plus grandes erreurs. L'expression ( i3) peut s'écrire 19 II _ v^V _i v^îVî !__ v^?_j l_, /i» ^ /i« ' * k^n ' ^k^ CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATIOW. 19^ La valeur probable s'obtiendra en remplaçant e^, quelque soit /. par sa valeur probable r-r^> eje]^ par —n et ej par •— r^« On a ainsi pour valeur probable de (12) 3 n.n — il I I I 152. On peut se demander quelle est, entre ces deux évalua- tions d'erreur à craindre, celle qui justifie le mieux la formule correspondante. Il ne faut pas se borner à comparer les résultats ; — r-, ( i — - ) et — -ri pour donner l'avantage au plus petit. En admettant que ces expressions donnent une appréciation de Terreur à craindre, ces erreurs ne portent pas sur la même inconnue. La première est commise dans l'évaluation de — r^; Tautre, dans celle de — t^* Ce qu'il faut assurer évidemment, c'est la petitesse de l'erreur com- mise sur k, Soit^ cette erreur, l'erreur sur t sera — jj J"? ^^ sur ^ elle sera, en négligeant bien entendu ^2, — Tâ.Xî '® carré de l'erreur commise sur — j^. est donc —77 :^^, et le carré de l'erreur I ^ 1 1 commise sur — r, est T^y - Les résultats obtenus doivent donc s'énoncer de la manière suivante : La valeur probable de ^ y^ est -L. ( i — ~ j ; La valeur probable de jr^y^ est — j-- Par conséquent, eu adoptant la première formule, celle qui dé- duit k de la moyenne des erreurs, la valeur probable de^^ est — ( I ) = i,3i4i, 2n \ ir/ 2/1 2 et, en adoptant la seconde, c'est-à-dire en déduisant k de la B. i3 ig4 CALCUL DES PROBABILITÉS. moyenne des carrés des erreurs, la valeur probable de^* est in La seconde formule doit être préférée. 153. Les formules précédentes peuvent être remplacées ] d'autres qui donnent une plus grande chance d'exactitude. Nous résoudrons d'abord le problème suivant : Déterminer la valeur de \ qui rend minima la valeur pi bable de 04) \k ~ n / Celle expression peut s'écrire (l5 TT 77 1- A*— - H ^^CiCi. • k* k n n^ n* * En remplaçant les erreurs e/ et leurs carrés par les valeurs pr< bables, on a, pour valeur probable de (i5), i il X* X«(n— i) 1 ou X* / I 7. 2 \ 2X I 'ik^\n^^Tz rnz / k^J-jz ^*' Le minimum correspond à X 2 V^TC X \n Tz mzj \ n Il convient donc, pour diminuer les chances d'erreur, de rempla- cer la formule par (16) 1 _ i/ir k ~ in CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. I gj 154. Nous déterminerons le facteur X par la condition que la valeur probable de l'expression «\ï (.7) (■l-XtUl '^'^---''-' soit la plus petite possible. Cette expression peut s'écrire En faisant le calcul comme au n" 153, on trouve pour valeur pro- bable de cette expression r^ minimum correspond à / 1 n\ n-H a On diminuera donc la valeur probable du carré de Terreur à craindre, en substituant à la formule I _ 9.(«î -4- «I -h. . .-4- 6j) F* "" n la formule, probablement plus exacte, 1 2{e^ ■+• el -+-. . .-4- ej) (i8) A' /i -i- 2 155. Les déterminations de la valeur approchée de A* sont en nombre infini. On peut poser le problème d'une manière différente. Les observations sont faites, on connaît les erreurs, quelle esf la valeur la plus probable de A*, la valeur probable de k et celle deA-2? On sait que la valeur la plus probable n'est pas la valeur pro- 196 CALCUL DES PROBABILITÉS. bable et que la valeur probable du carré n'est nuUement égale au carré de la valeur probable. Soient et, ^2, . . . , e/2 les erreurs successivement commises, k la valeur inconnue du paramètre caractéristique de la série d'obser- vations. L'événement observé étant l'arrivée successive de n erreurs dy ^2, . . ., e,i, la probabilité de cet événement était, avant l'é- preuve, proportionnelle au produit » 7:* des probabilités simples. La valeur de k la plus probable est celle qui rend ce produit maximum. Le maximum correspond à celui du logarithme nlA —k^{e\ -i- e| -l-...-hcJ), c'est-à-dire à la valeur de k qui annule la dérivée j — 2k(e\ -r-el -{-,.. -^ cl), C'est une des formules déjà obtenues. Au lieu de la valeur la plus probable de A', on peut chercher la valeur probable, qui doit, en général, être préférée; la valeur probable est l'espérance mathématique de celui qui, après les mesures prises, attendrait une somme égale à k. La probabilité d'une valeur de k est proportionnelle à En désignant la somme des carrés des erreurs par S2, on peut . la représenter par On déterminera G par la condition CHAP. VIII.. LOI DES ERREURS D OBSERVATION. ig^ qui exprime que la probabilité pour que k soit compris entre o et ao est égale à l'unité. On a r par conséquent, G = r (^) La probabilité d'une valeur k du paramètre est n-*-i ■"^^ ' A-«e-s.A». La valeur probable de k est la somme des produits obtenus en multipliant chaque valeur de k par la probabilité qui lui corres- pond qui se réduit à a-o Si l'on suppose n très grand, en remplaçant la fonction r(^) par sa valeur approchée T(x) = e-x^x-i ^-iTzx, on trouvera n n € » *"7k - '(ï-^O V "''(ï^') e -■-• (f - r V'" (" - ;) 19^ CALCUL DES PROBABILITÉS. n h I 2 peut, n étant très grand, être remplacé par Tunité n 1 et, en supprimant le facteur commun e * *, on peut écrire n Le produit e M n j a pour limite Tunité, et l'on voit ai- sément que, pour de grandes valeurs de /i, le rapport n a pour limite — r^» La formule nouvelle est donc d'accord avec celles qui donnent f S, > •2 A* n I S) 2A* /i-h-;». lorsque n devient très grand. lo6. La loi de probabilité étant admise, on peut chercher à Tavancc la probabilité d'une combinaison quelconque des résul- lats des mesures. La valeur moyenne de la quantité calculée, si le nombre des mesures devient grand, différera peu de sa valeur probable. Nous résoudrons quelques problèmes dont les solutions, remar- quables par leur simplicité, permettent d'élégantes vériOcatîons. Si, après avoir fait un grand nombre d'observations, on les groupe deux par deux en chargeant le hasard de les associer, et que, dans chaque groupe, on choisisse la plus grandç des deux er- reurs, la valeur probable de cette erreur peut se calculer : elle est le produit par \l'i de la valeur probable d'une erreur prise au ha- sard. La probabilité pour que, sur deux erreurs prises au hasard. CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. 1 99 riine soit comprise entre z et z -h dz et l'autre plus petite que z est [ji premier facteur est, en effet, la probabilité pour que l'er- reur, positive ou négative, soit comprise entre 3 et z -h dz; le se- cond, la probabilité pour que la seconde erreur soit plus petite que z. On multiplie par 2, parce que l'une ou l'autre des erreurs cherchées peut être la plus grande et égale à z. Lai valeur probable de z s'obtiendra en multipliant la probabi- lité par ;; et faisant la somme pour toutes les valeurs de z 2 f ^e'^'-*dz.z f '^e-^'^'dz, Jù VTC Jù vît En intégrant par parties et remarquant que le terme intégré dis- paraît aux deux limites, cette expression devient yiz Jo k ^TZ -; c'est le produit par y' 2 de la valeur probable d'une erreur. La valeur probable d'une grandeur quelconque différant peu, sur un grand nombre d'épreuves, de la moyenne arithmétique des valeurs fournies par le hasard, l'application de ce théorème à une série de mesures d'une grandeur connue donnera et a donné à plusieurs reprises une vérification des formules. 157. Le théorème précédent, remarqué expérimentalement par M. le commandant Delauney, peut s'obtenir plus directement. Soient x« et x^ deux mesures prises successivement, ^ — — peut être considéré comme une mesure. En nommant e^ et e^'^ts erreurs commises sur e^ et e^, le carré de l'erreur sur celte mesure nouvelle sera (19) 4 200 CALCUL DES PROBABILITÉS. J^ valeur probable de ei €2 est nulle, puisque les valeurs posi- tives de -— r"« Mais cette erreur peut être la somme ou la différence des deux erreurs commises sur x^ et j;2 • 1^ somme, si ces erreurs sont de même signe; la différence, si elles sont de signes con- traires. Les deux suppositions ont chacune pour probabilité ^; on a donc, en nommant G et P la valeur probable de la plus grande et celle de la plus petite des deux, c'est-à-dire On a aussi par conséquent, A V ^ 158. On peut, en chargeant le hasard de grouper les erreurs deux à deux comme dans le calcul précédent, calculer la valeur probable du carré de la plus grande. LVxpression de cette valeur, obtenue par un raisonnement tout semblable, est CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 201 En intégrant par parties, faisant porter l'intégration sur ze~^^^*dz et remarquant que le terme intégré disparaît aux li- mites, cette expression devient e^^^^^dz étant la différentielle de l'intégrale par laquelle il est multiplié dans le premier terme. On a 4 r*^-A'zv^ r e-k'z^dz=-^; *- •' on a aussi I / ze-'i^'^* dz = et la valeur probable du carré de la plus grande erreur est 2 - . 159. On peut grouper les erreurs trois par trois, en chargeant le hasard de les associer, et chercher la valeur probable du carré de la plus grande des trois. Un raisonnement identique aux précédents donne pour cette valeur probable ^^ f" z^e-f^'^-'dzl fe-^'^'dz) . Intégrons par parties , en faisant porter l'intégration sur ze^^*^*dz; en posant, pour simplifier l'écriture, f 6-^^*=' dz = w ( z), et n'écrivant pas le terme intégré, qui s'annule aux deux limites, nous aurons ^ / zw(z)XB(z)e^^^^dz=^ \ €-^''*-'zm(z)= j — -r^ m\z) dz -I La substitution de ces résultats dans l'expression (20) donne, pour la valeur probable cherchée, I / 1^'S \ 160. Dans toutes les formules précédentes, que les observa- tions soient faites ou projetées seulement, ce sont les erreurs vé- ritables qui sont introduites. 11 arrivera très souvent (dans l'immense majorité des cas, on peut le dire) que, la grandeur étant déterminée par les observations seulement, les erreurs, évaluées par la différence de chaque *. mesure avec la movennc, différeront des erreurs véritables qui restent inconnues. En remplaçant Terreur véritable par Terreur présumée, on ob- tiendra une valeur approchée de la constante A'. On a proposé, dans ce cas, des règles de correction fort simples, dont la démon- stration, malheureusement, peut laisser des doutes. Le problème est celui-ci : ^,, Xj, . . . , x,i étant les mesures successivement prises d'une grandeur X, si Ton adopte la valeur ^, j^t -i- arj -t- . . . -^ Tn n Terreur probable est d'autant moindre que n est plus grand, pourvu que Ton ait pu , comme nous le supposons toujours dans ce Chapitre, écarter les erreurs constantes. CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'obSERVATION. 2o3 La formule ^i) c? -4- e| -f-. . .-+- e^ n lera remplacée par ex — a:i)*-i-(X — x^y -h . . . -^ (\ — XnY I Cette valeur de —Tj n'est pas, je n'ose pas dire exacte (il ne faut espérer dans aucun cas qu'elle le soit) , mais conforme à la formule qu'on voudrait appliquer. La formule (22) donnera — r^ toujours plus petit que — r^ dé- duit de (21). La correction la plus plausible consiste, nous allons le montrer, à multiplier la formule (22) par —^3—; ce qui, lorsque n est grand, en changera très peu la valeur. L'expression (22) proposée pour représenter —r^ peut être transformée par l'introduction de l'erreur E commise en adoptant la moyenne X pour valeur de la grandeur mesurée. Les différences X — ^« , X — X2, . . . , X — Xfi sont rigoureu- sement égales aux différences E — ^«, E — e^ E — e„, et la formule (22) peut s'écrire , n identique à (2i) n n mais E, étant l'erreur commise sur la moyenne, est égale à la moyenne des erreurs, et la somme e^ -f- ^2 -^- • • • -H de diviser la somme des carrés des erreurs présumées par n — 1 et non par /i, dénominateur prescrit pour la somme des carrés des erreurs réelles. 161. La formule précédente prend, dans un cas plus général, une forme différente, très élégante et très souvent appliquée. Soient X|, Xj, .... X^, p grandeurs de même espèce mesurées CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 2o5 par les mêmes procédés, avec le même instrument et les mêmes chances d'erreur. Chaque mesure a été reproduite plusieurs fois : la première, /î« fois^ la deuxième, n^ fois, ...\ la dernière, iip fois, les erreurs successivement commises étant e\j e!,, . . , ^ e„^ pour la première mesure; e^ye\, . . . , e„^ pour la deuxième-, e^l*\ e^^\ . . ., e'f^ pour la dernière. La formule (21), évidemment ap- plicable, donnera I C| ~~~ Cj ^^ ... "*" €^ "+" €j ~t~ Cj ~T~ . . . ~r" C^ —r~ ... -^~ €f ~t~ ... -t~ ^n Supposons que, les valeurs véritables des grandeurs mesurées restant inconnues, on remplace chacune d'elles par la moyenne des résultats obtenus en la mesurant. Si E*'' est l'erreur ainsi com- mise sur Tune d'elles, les erreurs apparentes seront et la substitution de ces erreurs apparentes aux erreurs véritables remplacera, comme on l'a vu (160), la formule (26) par^ e,-f-ej H- ...-+- €„^ Cj -T-6j -f-...-f-e„^ H -+- . . . I /l] fU ^ ' aAr* /Il -+- /ij-T-. . .-r- Ai,, Mais e', , e^, ..., e'^ étant les erreurs commises dans la mesure d'une même grandeur et le paramètre de précision étant /r, on a approximativement ey — g;«-f-...-4-g;» _ j_ /Il ~" 2 À* La même réduction peut se faire pour les fractions relatives aux autres grandeurs, et la formule (27) devient 2)t« 2A'« _ f / ^—P \ N désignant le nombre total /i^ 4- /i 2 + •••-+- 'ï/» des mesures prises. 2o6 CALCUL DES PROBABILITÉS. La formule conseillée dans ce cas est, d'après cela, I S(X/-a:/)« '}.k^ N > S (Xi — XiY élanl la somme des carrés de toutes les erreurs pré- sumées et N — p l'excès du nombre total des mesures sur le nombre des grandeurs mesurées. Si les erreurs réellement commises étaient connues, il faudrait diviser la somme de leurs carrés par N et non par N — p. La démonstration suppose, malheureusement, que Ton puisse regarder comme nulle la somme des produits des erreurs considé- rées deux à deux. 162. Les erreurs ^1,^2, ...,^71 étant approximativement con- nues dans chaque application de la méthode, on pourra, dans chaque cas, vériGer approximativement aussi l'exactitude de l'hv- pothèse faite en supprimant le terme Se/e/ . Cette vérification, si n est grand, entraînerait, il est vrai, des calculs hors de proportion avec l'importance du résultat. Il est digne de remarque que, dans l'expression dont les termes, les uns positifs, les autres négatifs, ont tous, a priori, si on les considère isolément, même valeur probable, le nombre des termes négatifs doit, le plus souvent, l'emporter sur celui des termes positifs. Soit 2[JL le nombre des épreuves. Le cas le plus probable est celui où; parmi les erreurs, il s'en trouverait jx positives et a né- gatives; le nombre des produits e/C/v dont le signe est négatif se trouve alors égal à [jl^ et le nombre des produits positifs est }jl([jl — i). La différence est [Ji. C'est une raison, dans ce cas, si l'on ne sait rien de plus, pour présumer que cette somme arbi- trairement négligée sera négative. Si Ton nomme jx — a le nombre des erreurs positives et u -t- a celui des erreurs négatives, le nombre des produits e/eiv obtenus CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS D OBSERVATION. 20^ en multipliant une erreur positive par une erreur négative sera jjL* — a» ; celui des produits positifs est - ( [x — a ) (' jx -h a — I ) -f- - ( IX — a){ [i — a — i) = jx* -h a* — [i. Le nombre des produits négatifs sera le plus grand, si Ton a a» < jx — «2, La probabilité pour qu^une erreur soit positive est ^; par consé- quent, la probabilité pour que, sur 2 [terreurs prises au hasard. V écart, différence entre le nombre des erreurs positives et le nombre le plus probable [x, soit plus petit que i/~ est (65) dt -- 0,68. La probabilité pour que le nombre des produits négatifs l'emporte sur celui des produits positifs est donc plus grande que |. 163. La formule caractérise la précision d'un système de mesures dans lesquelles une grandeur a été successivement trouvée égale à j;,, jra? • • • > ^/i« On peut lui donner une forme plus élégante et plus commode. jp/ et Xi* étant deux quelconques des n mesures, l'expression est identiquement égale à Les deux formules (28) et (29) sont composées des mêmes termes. 208 CALCUL DES PROBABILITÉS. On a, identiquement aussi, -l.{Ti-xr) .- - ( j . n« La valeur de —,- est donc donnée par la différence entre la moyenne des carrés des mesures prises et le carré de leur moyenne. Si toutes les mesures sont égales, l'expression se réduit à zéro. La précision doit être supposée infinie. 164. Lorsqu'on a pris plusieurs mesures d'une même gran- deur, calculé la moyenne, déterminé la valeur de la constante spécifique A', cette constante k est souvent nommée \di précision et k^ le poids de chaque observation. Il importe d'expliquer ces locutions. La précision d'une mesure est dite a fois plus grande que celle d'une autre mesure, lorsque la probabilité d'une erreur comprise entre z el z ^ dz pour une mesure du premier système est la même que celle d'une erreur comprise entre clz et a(5-Hrf5) pour le second. Si, par exemple, les erreurs commises sur les minutes, en mesurant un angle, ont mêmes probabilités que les erreurs sur les secondes commises en se servant d'un autre in- strument, la précision du second système de mesures est dite 60 fois plus grande que celle du premier. Le poids d'une observation est dit ^ fois plus grand que celui d'une autre observation, lorsque les conséquences que l'on pcul déduire sur la valeur de la grandeur mesurée par une observation du premier système équivalent à celles que l'on peut déduire de ^ observations du second système donnant toutes le même ré- sultat. Si p n'est pas entier et qu'il soit égal à une fraction —, il fau- dra que m observations concordantes du premier système puis- sent être remplacées par n observations identiques du second. Le système d'observations qui donne à l'erreur z une probabi- lité proportionnelle à k CHAP. VIII. LOI DES ERREURS D OBSERVATION. 209 aura k pour précision et k^ pour poids, si Ton prend pour unités la précision et le poids d'une observation d'un sjslème dans le- quel la probabilité d'une erreur z serait proportionnelle à e~*'. La probabilité d'une erreur comprise entre z el z-\- dz étant, en effet, supposée égale à ^1=. e ** dz, en remplaçant z par A::;, la probabilité d'une erreur comprise entre kz et kz -+- k dz sera c'est précisément celle d'une erreur comprise entre z et z-\- dz dans le premier système. Si l'on suppose k^ = --y la probabilité d'une erreur z étant pro- portionnelle à >-z* celle de m erreurs égales à 2, commises dans m observations suc- cessives, sera proportionnelle à »—mz* La probabilité de n erreurs égales à z^ commises dans n obser- vations successives faites dans le second système de mesures, sera proportionnelle à Les probabilités des deux systèmes d'erreurs sont donc propor- tionnelles et par conséquent égales pour toutes valeurs de ^, si Ton a nk^ = m\ par conséquent, Le poids du premier système d'observations, celui du second étant pris pour unité, est donc égal à — > c'est-à-dire à A:^. B. i4 2IO CALCUL DES PROBABILITÉS. 165. Il est intéressant de remarquer que, si la loi de probabilité n'avait pas une forme toute spéciale, les mots poids et précision, dont les physiciens font souvent usage, ne pourraient pas avoir de sens exact et précis. Supposons deux systèmes d'observations. Soient, dans le pre- mier, ff{z)dz la probabilité pour que l'erreur commise soit com- prise entre z el z -i- dz et ^ (z) dz la probabilité d'une même er- reur dans le second système. Pour que le rapport des précisions soit /i, il faut et il suffit que le rapport ^, soit constant, et pour que le rapport des poids d'une observation dans les deux systèmes soit égal à A*, il faut que le rapport soit constant. Pour que le système caractérisé par la fonction cp(-s) donne, par rapport à un autre système quel qu'il soit, caractérisé par ^{z), un poids déterminé et une précision définie, il faut que le rapport o (hz) soit indépendant de z. Posons donc (3o) oikz) = 0^{z)'^, G étant indépendant de Zy et déterminons les formes possibles de la fonction ^{z). On peut remplacer Téquation (3o) par l^{hz) = lG-hAlo{z) et aussi, en prenant les dérivées, par ho'(hz) ko'(z) o(hz) ~ ^{z) En posant o'(u) ?^") = F(u), CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 211 la fonction F est définie par la condition ^» représentant le rapport -r • Soit 1 = h^. On aura (3i) ¥{tiz) = h}f-¥{z), La fonction F est donc multipliée par h^ quand la variable est multipliée par h. On aperçoit la solution F{z)= llzV-, H étant une constante; on en déduit o{z) devant rester invariable quand on change .s en — 5, l'expo- sant |JL -H i doit être pair. Le cas de jx = i correspond à la loi de Gauss. On a dans ce cas  = ^'- Le poids A" est le carré de la précision h. L'équation (3i) n'admet pas d'autres solutions; mais la démonstration, d'ailleurs facile, est sans intérêt pour le Calcul des Probabilités. 166. Entre plusieurs mesures d'une même grandeur, celles qui s'écarlent le plus de la moyenne sont présumées avec raison, presque avec ceriitude, être moins bonnes que les autres : il semble na- turel de les écarler. La question est délicate. Les observateurs ne se permettent une telle suppression qu'après avoir reconnu une cause vraisem- 2 I 2 CALCUL DES PROBABILITÉS. blable et intrinsèque à Tinfériorité de la mesure suspecte. On croirait manquer à la sincérité due en omettant une mesure, d^ail- leurs irréprochable, par cela seul qu'elle s'écarte du résultat pré- sumé. Il est incontestable que, si Ton est certain d'avoir opéré de la même manière et avec le même soin, toutes les observations ont le même droit à exercer leur influence sur la moyenne adoptée. Mais si l'on opérait toujours de la même manière, on obtiendrait tou- jours le même résultat. L'assimilation des erreurs fortuites à des tirages au sort dans une urne composée de manière à donner à chaque erreur la pro- babilité qui lui convient est une fiction, non une réalité. Si Turne existait et qu'elle fût composée avec une perfection infinie, s'il arrivait qu'une série de tirages faits dans les conditions normales démentissent l'ensemble des autres, il faudrait les conserver assu- rément. Mais si celui qui tirait les boules vient déclarer qu'il a négligé de les agiter, peut-être aussi de plonger la main dans les parties inférieures; s'il a pris et remis sa boule toujours à la surface, les tirages ainsi faits seront à rejeter. Ils le seront éga- lement si, le tireur n'avouant pas sa négligence, on le soupçonne d'être peu soigneux ; peut-être aussi , la question est délicate je le répète, si la seule raison de le soupçonner est l'écart observé quand il a tiré les boules. Cherchons les conséquences de l'abandon des mesures présu- mées les moins bonnes. La question se pose de la manière suivante : On a pris n mesures d'une même grandeur; tout semble régu- lier, la moyenne est obtenue; la constante caractéristique A:, dé- duite de toutes les observations, a une valeur très grande; aucun indice n'éveille la défiance. On est en droit de regarder comme très probable la valeur de la moyenne; comme très probable aussi la valeur obtenue pour k, La probabilité d'une erreur z est re- gardée avec confiance comme égale à -— €~*'-' dz. CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 2l3 Dans ces conditions, je calcule l'erreur \ telle que la probabi- lité pour qu'une erreur soit inférieure à X ait une valeur/? arbi- trairement choisie. Il suffit de résoudre l'équation s/tz Jù X étant ainsi déterminé, je supprime parmi les n observations celles dont la différence avec la moyenne est plus grande queX; il en restera np à peu près, dont une moitié environ sera plus grande, l'autre moitié plus petite que la moyenne. On recommen- cera les calculs en considérant ces observations comme les seules. Supposons, pour justifier la hardiesse de ce parti, que, dans le laboratoire où les mesures sont prises , se trouve un surveillant d'une rare habileté qui, sans observer lui-même, suive des yeux les observateurs, et qui, très au courant des méthodes, très instruit des détails relatifs à chaque instrument, des erreurs de division, des inégalités des pas de vis, des petites imperfections des poids, de l'influence de la température, etc., déclare, après chaque me- sure, son opinion en un seul mot : bien ou mal. Personne ne contestera que, si ce surveillant est, comme nous l'avons supposé, très habile, la suppression des mesures qu'il a condamnées accroîtrait d'autant plus la confiance qu'il en aurait écarté davantage. Quoi qu'il en soit, acceptant le principe, nous remplacerons les observations Xt^ X2, . . . , ^/i par y 1,^2, . . . , y^j rn différant peu de np. Si ces m observations sont données à un calculateur soi- gneux, il n'aura pas besoin d'en connaître l'origine pour les dé- clarer suspectes. Le rapport de la moyenne du carré des erreurs au carré de la moyenne pourra différer beaucoup de ~ (149). Pour aucune valeur de A", les erreurs des observations mainte- nues ne s'accorderont avec la formule Le calculateur prévenu renoncera à la formule et prendra la 2l4 CALCUL DES PROBABILITÉS. moyenne J'i-+-J'j -+-... -t-r m m pour représenter la grandeur inconnue. Soient Si, Sa, . . . , e« les erreurs successives. La valeur du carré de Terreur commise sur la moyenne sera / ei-i-e>-h...H-e//, y_ ef H- e| -^...-he)}, \ m / "" m* m« Négligeons eiCi', dont la valeur probable est nulle. La valeur probable du carré de Terreur moyenne s'obtiendra en divisant par m la moyenne ef -^ £| -+-...-+-£* m m peu différente, très probablement, de la valeur probable du carré des erreurs maintenues. Cette moyenne sera plus petite évidemment qu'avant la suppres- sion des observations rejetées; mais il faudra, pour obtenir le carré de Terreur probable, la diviser par m, et la fraction qu'elle remplace devait être divisée par n. La valeur probable du carré z^ d'une erreur plus petite que X est, lorsque les autres ont été écartées, (33) — ^ f z^e-^'^'dz. Le nombre des erreurs ayant été multiplié par la fraction />, la probabilité de chacune d'elles, dans Tinlervalle où elles sont com- mises, est divisée par p. Le numérateur de la fraction qui repré- sente la probabilité reste le même, en effet, et le dénominateur, nombre des erreurs commises, est multiplié par p. En intégrant par parties, l'expression (33) devient P\/t.\ '^k* Jo'^Jo p^ ^ ^k* ' c'est-à-dire, d'après l'équation (32) qui définit X, AVv^ '^ ^k*" ik*y p^ )' CHAP. VIII. LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 21 5 En divisant par m, égal approximativement à n/>, on a, pour représenter le carré de Terreur à craindre, en posant, selon la notation habituelle. 2 8(A*)w) est, par déûnition, égal à /?, et la valeur probable du carré de l'erreur devient a/iX:* L e(A-X) La fonction lecoj S est noUe pour / = o ; elle augmente avec t et devient égale à Funité pour une valeur infinie de t. Voici quelques-unes de ses valeurs : 0,10 0,091 0,20 o,i33 0,30 0,198 0,40 0,246 0,50 0,293 0,60 0,339 0,70 0,379 0,80 0,416 Le multiplicateur de — tj|, évalué approximativement, peut diminuer sans limite. On ne doit pas oublier que, pour appliquer la formule, il faut que les observations conservées, de même que les observations faites, soient en grand nombre. 2l6 CALCUL DES PROBABILITÉS. 167. La loi de probabilité des erreurs dont l'exactitude a été vërifiëe expérimentalement en quelque sorte (145) permet de pré- voir, lorsque les épreuves sont nombreuses , tous les détails rela- tifs à la série des erreurs commises. Nous donnerons un dernier exemple en cherchant la valeur probable de la plus petite des erreurs commises dans un grand nombre de mesures successives. Soit z la plus petite des erreurs commises sur n mesures. La probabilité pour qu'une erreur désignée soit égale k z et soit la plus petite de toutes est Le premier facteur exprime la probabilité pour que l'erreur soit z\ le second, pour que toutes les autres soient plus grandes que z. Chacune des n mesures pouvant produire cette erreur mî- nima, il faut multiplier l'expression par /i; puis, pour avoir la va- leur probable de l'erreur z dont elle représente la probabilité, il faut multiplier pai» z et intégrer entre o et oo. La valeur probable de la plus petite des n erreurs est donc Intégrons par parties, en faisant porter l'intégration sur le fac- teur quî multiplie z^ dont l'intégrale est et, en remarquant que le terme intégré est nul aux deux limites, l'expression (34) devient Lorsque z est petit, —:=l I e^^*^*dz diflfôre peu de kzj et, lorsque CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 217 z cesse d'être petit, la puissance n placée sous le signe d'intégra- tion est négligeable. On peut donc, en désignant par \ une va- leur arbitraire de z^ remplacer (34') par Ç {\ — kzYdz= î — j-fi — (i-AX)'»+î]. A étant grand et \ n'étant pas très petit, le second terme de la parenthèse est négligeable, et la valeur probable approchée de la plus petite erreur est (/i-Hi)X: 168. Si l'on calcule par une méthode semblable la valeur pro- bable de la seconde des erreurs classées par ordre de grandeur, on la trouve double de la plus petite; la troisième est triple, et ainsi de suite, tant que les formules d'approximation sont applicables. Il peut sembler étrange que, en classant les erreurs par ordre de grandeur absolue, la valeur probable de la seconde ne soit pas égale à celle de la première. Tout est symétrique, en effet, entre les erreurs positives et les erreurs négatives. Pourquoi la valeur probable de la plus petite erreur négative diffère-t-elle de celle de la plus petite erreur positive? Elle n'en diffère pas. La singularité apparente provient d'une confusion qui s'établit entre la valeur probable d'une grandeur et la valeur qu'il est pro- bable de lui voir prendre. Pierre et Paul doivent se partager un héritage. On sait que l'une des parts, on ignore laquelle, sera double de l'autre. Les deux parts ont même valeur probable, égale pour chacune à la moitié de la somme totale. La valeur probable de la plus grande part est double de la va- leur probable de la plus petite. 169. La valeur probable - — '■ — rr de la plus petite erreur est plus petite que la valeur probable de l'erreur commise sur la moyenne. 2l8 CALCUL DES PROBABILITÉS. La valeur probable du carré de Terreur commise sur la moyenne €l -f- «t -4- . . . -h en, n > égale à la valeur probable de o ^ "T~ Cç ~T~ • • • —T" C n est, en effet, aA-*/i Le carré de l'erreur commise sur la moyenne étant de même ordre que -> celle de Terreur est de Tordre — i beaucoup plus grande par conséquent que la valeur probable des plus petites erreurs. On accroîtrait beaucoup la précision d'une mesure si Ton pou- vait découvrir les évaluations les meilleures et les adopter de pré- férence à la moyenne générale ; il en serait de même si Ton pou- vait prendre la moyenne des observations les meilleures. Elles sont malheureusement confondues avec les autres sans que rien les décèle avec certitude. 170. La règle acceptée comme postulalum prescrit, entre plu- sieurs mesures d'une même grandeur, d'adopter la moyenne. Cette règle suppose deux hypothèses : la première, que nous avons faite constamment dans l'étude de la théorie des erreurs, est l'absence de toute erreur constante; la seconde, que toutes les observations méritent la même confiance et qu'elles aient été faites, par exemple, par le même observateur, suivant la même méthode, avec le même instrument. Lorsque cette seconde condition n'est pas remplie, il faut ap- précier ces valeurs relatives. Supposons que les constantes caractéristiques de chaque sys- tème de mesures soient connues : soient Ati, A'21 . . . , Xth ces con- stantes, les poids des observations sont ArJ, Âr^, . . . , ArJ^ CHAP. VIII. LOI DES ERREURS D OBSERVATION. 219 Supposons que Ton ait ai mesures prises dans le premier sys- tème, 0L2 dans le deuxième, . . . , a» dans le /i**"*. Ramenons toutes ces mesures à d'autres dont le poids soit l'unité et supposons cette unité choisie de telle sorte que ArJ, A'I, . . . , A'I soient des nombres entiers. Chaque mesure de poids k] sera remplacée par le système équi- valent de A"? mesures ayant chacune un poids égal à l'unité. Toutes les valeurs mises en présence ayant ainsi même poids, il suffira de prendre la moyenne, a^ désignant le nombre des mesures de poids k\ et Xt la moyenne de ces mesures, on obtiendra ainsi la valeur «1 A: J H- Œj X:| -H . . . -h «rt AJ On peut énoncer ce résultat en disant que chaque mesure est multipliée par le poids de l'observation correspondante et que la somme des produits est divisée par la somme des multiplicateurs. Le poids de la valeur (35) est La moyenne entre plusieurs observations équivaut à une obser- vation unique ayant pour poids la somme des poids des observa- tions partielles. 171. D arrive quelquefois que, pour mesurer une grandeur, on la partage en plusieurs parties ai, ^2, . . ., a/,; on mesure chacune d'elles et l'on fait la somme. Supposons que toutes ces mesures aient le même poids k^. Quel est le poids de la somme a, + a2 -4- . . . -f- ««? Soient ei, e^, --., S/i les erreurs, inconnues bien entendu, com- mises sur chacune des mesures ; l'erreur sur la somme est on a Cherchons la valeur probable des deux membres. Celle des pro- 220 CALCUL DES PROBABILITÉS. duits tels que e/s/' est nulle, puisque les erreurs positives onl, par hypothèse, même probabilité que les erreurs négatives. Les valeurs probables des termes tels que ef sont égales (1-48) à -Tj et, par conséquent, puisquMl y a /i termes, la valeur probable du carré de l'erreur commise est n 2k^ Si la probabilité d'une erreur z commise sur la somme était re- présentée par /^ ' la valeur probable du carré d'une erreur serait Si donc nous posons 2 A'» r n k'- ^' y n k est la précision d'une mesure qui donnerait au carré de l'erreur commise même valeur probable que la somme étudiée. La confiance méritée par la moyenne de n mesures est inverse- ment proportionnelle à \//i. 172. L'armée française, pendant l'expédition d'Egypte, voulut déterminer la hauteur de la pyramide de Chéops. Les assises suc- cessives, formant pour ainsi dire les 2o3 marches d'un gigantesque escalier par lequel on s'élève au sommet, furent mesurées successi- vement par les soldats du Génie. L'erreur commise 2o3 fois, di- sait-on, sera multipliée par 2o3. L'erreur à craindre, répondit Fourier, est multipliée par i4, racine carrée de 2o3. On ignore sur quels principes l'illustre savant faisait reposer cette règle, que personne avant lui n'avait proposée. CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 221 173. Je terminerai ce Chapitre par Tcxainen d'une question très délicate. On a pris plusieurs mesures d'une même grandeur x%,X2y ..., 3CnS elles ne s'accordent pas. Une formule démon- trée (163) fait connaître l'évaluation de la précision des observa- tions, déduite de la somme des carrés des différences entre les valeurs obtenues ou, ce qui revient au même, de l'excès de la moyenne de la somme des carrés sur le carré de la moyenne. 11 faut appliquer cette règle avec beaucoup de prudence; elle sup- pose, en effet, que le mérite des observations soit, a priori, in- connu et que la discordance qu'elles présentent soit le seul indice dont on dispose pour leur appréciation. Il en sera très rarement ainsi. Si les observations sont faites par un observateur habile avec un instrument excellent, elles mé- ritent plus de confiance, lors même qu'elles s'accorderaient moins, que des observations plus concordantes d'un observateur mé- diocre. Il n'est pas admissible, par exemple, qu'en détachant sur les registres de Bessel quelques observations d'une même étoile on prétende en déduire une appréciation de son habileté et du mérite de son instrument. La constante désignée par A*, prise pour inconnue dans les for- mules trouvées (163), est souvent assez bien connue à l'avance pour que des renseignements nouveaux n'autorisent pas à en changer la valeur. Le problème alors devient très différent. La constante qui caractérise la précision du système d'observa- tions étant connue, quelle doit être l'influence de l'accord plus ou moins grand des mesures sur la confiance méritée par la moyenne? Si, par exemple, on a mesuré les trois angles d'un triangle in- dépendamment les uns des autres, leur somme se trouvant exac- tement égale à deux droits, faut-il, pour cette raison, accorder plus de confiance aux mesures que si la somme avait surpassé de o, 25 la valeur qu'elle doit avoir? La réponse doit varier suivant les cas. Si l'observateur est in- connu aussi bien que l'instrument, on devra appliquer la for- 1 222 CALCUL DES PROBABILITÉS. muie trouvée (163), et la concordance des mesures déterminera la précision présumée des observations. Si la constante appelée k^ est assez bien connue, a priori, pour qu'on écarte l'idée d'en changer la valeur, la concordance des observations ne doit pas accroître la confiance qu'elles inspirent. La conclusion semble inacceptable. Si les observations sont discordantes, si leurs difiiérences dé- passent l'erreur probable de l'instrument, peut-on leur accorder autant de confiance qu'avant cet indice défavorable? Si un observateur, quelle que soit son habileté reconnue, donne du mémo angle trois mesures très difi'érentes, on n'échappera pas à ridée que, ce jour-là, soit fatigue, soit oubli d'une précau- tion nécessaire, il a moins bien observé que de coutume. C'est sur cette conviction que repose la défiance éveillée par le résultat, et c'est elle, précisément, que nous écartons dans l'énoncé du problème. L'application du Calcul des probabilités à l'étude des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne faudrait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de probabilité acceptée. Si l'observateur est malade, si l'on a dérangé les fils de sa lu- nette, exposé à l'humidité les poids de sa balance, changé son thermomètre habituel, il fait, ce jour-là, le tirage dans une autre urne, les résultats échappent à toute théorie. Nous écartons, dans le calcul suivant, toutes les suppositions de ce genre. L'observateur s'est appliqué comme de coutume, son instrument est en bon état, les erreurs sont soumises aux chances habituelles; la constante k est connue et ne peut être changée par le succès de quelques observations nouvelles. Il faut admettre, en outre, pour que les hypothèses n'impliquent pas contradiction, que les écarts n'aient rien d'exceptionnel. 174. Le calcul, lorsque ces réserves sont légitimes, justifie les conclusions qui précèdent. CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 223 Supposons que n mesures d^une même grandeur aient été prises. Soîent^ij^a» •••> JK/* les erreurs commises successivement. Chacune d^elles est inconnue, bien entendu. La probabilité d'une erreur comprise entre ;; et z-h dz étant, pour l'observation de rang i, et les valeurs de ki étant connues, la probabilité du concours des erreurs supposées sera it» Soit z la moyenne des diverses mesures, prise en ayant égard à Terreur probable de chacune d'elles, c'est-à-dire (171) en at- tribuant à chaque détermination de la même grandeur un poids inversement proportionnel à la valeur probable du carré de l'er- reur. On aura ih^\ , _ k\y^- \-k\ yt-^...-^klyn ^^^^ k\-\-k\'^,.,'^k\ Posons > > ^1 = 4Ï -h «1 J yn=^-^^n et substituons dans l'expression de la probabilité (36), considérée comme un élément d'intégrale multiple, les variables ^, ai, a^, - . . , a;i_i à^<,^2, . . . , ^«; a« n'est pas une variable indépen- dante, car on a identiquement L'élément A:? «1 4- A'î «i-H . . . -+- A:Ja„= o. dyxdyt.,,dyn 224 CALCUL DES PROBABILITÉS. doit être remplacé, comme on sait, par le produit L -5 . aj «j . . . at 1-1 J D y\yt'"yn Z,OLi(li. . ,(Xn—i étant le déterminant fonctionnel des variables j^i, ^2 > • • • ? J'« P^i rapport à celles qu^on leur substitue. Ce déterminant est 000 000 I o o • • • • • • • m m * • • . • . . . . . . I -k\ /'S les dérivées de .3 + a;, qui forment la dernière ligne étant déduite de la relation (37). Le déterminant est égal à k\-\'k\ La probabilité (36) peut donc être remplacée par (38) Le terme du premier degré en 2, dans Pexposant de e, diî paraît de l'expression (38), à cause de la relation (37). Lorsque a^, a^, ..., a/,_i sont donnés, la probabilité est c la forme (39) Ge-t^î+*K--^*Â^-'dz, et comme il faut bien que, dans cette hypothèse, z ait une valei CHAP. VIII. — LOI DES ERREURS d'oBSERVATION. 225 comprise entre — oo el + oo, Téquation donne La valeur probable du carré de Terreur commise sur z^ déduite de la formule (Sg), est 7.{k\ -+-X'| -h...4- kl) indépendante des valeurs supposées connues de ai, a2, . . . , a;,. Dans le plus grand nombre des cas, quand on entreprend une série de mesures, Thabileté de l'observateur n'est ni parfaitement connue, comme nous venons de le supposer, ni complètement iDconnue, comme on Ta admis (148); ce sont deux cas extrêmes. II arrivera presque toujours que, toutes les valeurs de k étant pos- sibles, elles seront, a priori, inégalement vraisemblables. Si la loi de leurs probabilités avant Tépreuve est inconnue, le problème est insoluble. B. i5 '2 26 CilLCUL DES PROBABILITÉS. 1 CHAPITRE IX. ERREURS DE SITUATION D'UN POINT, SU p locat obJ«eU aliaujas ex obserratione prima de> flnitus, ^, r, «. ... ejnsdem olijeeti loea in ohMrfatlo- nibns seqaenttbnf; flot fnsaper P, Q, R, S pondéra reoiproce proportlonalla ipatllt •▼afatlonam. par qn» se dlfftindere postlnt erroret ex obieiTattoalbiu sinfn- ilf prodennte», qna dantur ex datts errorain limicibas ; et ad puncta p. q, r, s, ... poftta InteÙlfanlnr p soit comprise entre ^ et p 4- rf^, la probabilité pour que le point dont les coordonnées sont x et y se trouve dans la partie du plan qui correspond aux limites indiquées est Oo peut, dans cet élément d'intégrale double, substituer aux 228 CALCUL DES PROBABILITÉS. variables a et ^ les différences Le produit dad^j d'après la théorie de la transformation des intégrales, sera remplacé par dxi dyi dxi dy^ dxx dyi dxi dy^ ah' — ha! 'dâ df '~"d^ 11% et la probabilité pour que le point soit compris dans le rectangle infiniment petit dxi dy^ prendra la forme Ge-Aîorî-îXxr.-Aîjî dxxdyu Texposant de e étant la somme — Â'^a^ — A'^^^ exprimée en fonc- tion de x^ et àey^, 177. La méthode peut être étendue au cas d'un nombre quel- conque de variables élémentaires. On transformera, dans tous les cas, la probabilité d'un système d'erreurs mis sous la forme d'un élément d'inti'gralc multiple, en introduisant au nombre des variables les coordonnées du point étudié auxquelles il faudra, dans le cas général, associer d'autres variables. Ces variables, arbitrairement choisies, disparaissent à la fin du calcul ; mais les transformations intermédiaires sont fort compliquées. On obtient très simplement le même résultat en acceptant un postulatum équivalent à celui de Gauss (138), énoncé par Cotes, en J709, et employé ingénieusement par M. Schols pour démon- trer le théorème de Bravais. Si plusieurs positions d'un même point ont été successivement obtenues et méritent la même confiance, la position la plus pro- bable est le centre de gravité du système des différents points considérés comme de même masse. Soit ç(a, P) dcL dp la probabilité pour que l'erreur commise sur l'abscisse du point inconnu soit comprise entre a et a + ^a et l'erreur sur l'ordonnée entre ^ et p 4- rf^, le point se trouvant CHAP. IX. — ERREURS DE SITUATION D UN POINT. 22g compris, par conséquent, dans un rectangle Infiniment petit de surface dccd'^. Si X| j^i, ;r2^2î •••» :r,ij^,4 sont les coordonnées des positions pré- sumées d'un même point et a:,^les coordonnées véritables, les erreurs successivement commises dans les diverses détermina- tions des coordonnées inconnues sont représentées par x — ^r^, y — j'i, ..., et la probabilité de leur concours est proportion- nelle au produit (i) ^{x — x,,7 — ^,) (p(a7 — Xi,y —yi) . . . o{x--Xn.y—yn)' La position la plus probable a pour coordonnées, d'après le postulatum, a?! -f- j^j -f- . . . -+- x,t X = n (•2) ■ yi-^yi-^'-'-^yn Ces valeurs de ;r et Ae y doivent rendre le produit (i) maxi- mum et, par conséquent, annuler les dérivées de ce produit par rapport aux variables x ely. Si Ton pose Idlo(x,y) „ , . dl^{x,y) „ , —r^-lZJ.=F,{x,y), les coordonnées x ely définies par les équations (2) doivent sa- tisfaire aux équations Fi{x — Xiyy—yi)-hFi{x — Xi,y—y2)-^,..-h¥i(x — x„yy — yn) = 0y F,(x — xuy —7,) -h Fs(a? — xt^y —7») -+- ... -+- F,(a? — Xn^y — yn) = o. La somme des variables x — Xt, x — X2, . . . , :r — Xn est, en v^ertu des équations (2), égale à zéro, ainsi que celle des variables y — y^ , y — y2y • • • j ^ — yn î aucune autre condition ne leur est imposée. Les fonctions F< et F2 sont donc définies par les condi- tions que les équations Fj( Wl, ^1) ■+- Fî(W|, t'î) -+-. . .-i- Fj(«*/», Vn) = o 23o CALCUL DES PROBABILITÉS. soient les conséquences nécessaires des relations Vi -f- Pj -+-... -h P/, = O entre les variables. En réduisant à deux le nombre des variables, la condition se réduit à FiCi/i, Pi) -4- F,(— uu — i'i) = o; la fonction F, change de signe quand les deux variables chan- gent de signe. Si Ton suppose trois variables, on obtiendra, en tenant compte du résultat précédent, (4) F,(mi, Pi)-h Fi(m2, p,) = Fi(a,-h £«„ i'i-4-t',), quelles que soient les variables ;/(, (^i, U2j v's. On en déduit, en posant ^^' = ^i(x,y), ?i(mi, fi) = ?i(mi ■+■ Wji «'iH- t'O» ?l( Wt, Pj) = ?i(Mi-t- Ms, Vl-^Vi); par conséquent, La dérivée de F< par rapport à x est donc une constante. En difTérentiant Téquation (4) par rapport à r< et à i>2i on verra qu'il en est de même de la dérivée par rapport à y. Les dérivées de la fonction F| étant constantes, cette fonction est linéaire par rapport aux deux variables ; il en sera de même de F2, et nous pouvons poser, en remplaçant F| et Fa par les dérivées qui les déGnissent (3), dlo(x,y) , dy -^ ' ax-\-by et a' x -{- U y éidini les dérivées d'une même fonction, on doit avoir d{ax -{-by) _ d(a'x-^ b'y)^ dy ~' dx * CHAP. IX. — ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. a3l par conséquent, 6 = a'. La fonction l^{x,y) définie par ses deux dérivées est nécessairement de la forme l9{Xfy) = -^ h oxjr-^ — - — h G, a, bj V et C étant des constantes. Les erreurs infinies étant impossibles, «p(^, ^) doit s'annuler quand x ely sont infinis, les constantes a et b' seront négatives. La probabilité d'une erreur comprise entre u et u -h du pour x et i' et i^ 4- rfi^ pour y est donc de la forme G étant une constante et a, constant aussi, pouvant être positif ou négatif. Les points d'égale probabilité sont sur une même ellipse a^^ant pour équation il et v' désignant les différences entre les coordonnées du point considéré et la position véritable, centre commun de toutes les ellipses semblables entre elles dont les dimensions sont propor- tionnelles à y/îî. 1 78. Les quatre constantes G, \ A:, A*' sont liées dans tous, les cas par la relation nécessaire ''' ""LL e-k^ u^-i\uu-k'* v'dudv-\. Il faut bien, en effet, que les erreurs aient des valeurs comprises entre — oo et -I- oo, et la somme des probabilités relatives à toutes les erreurs possibles est égale à l'unité. Posons à chaque valeur de H correspond une ellipse dont la surface est V/A:«A:'«— X«' 232 CALCUL DES PROBABILITÉS. Tous les points de la couronne comprise entre les ellipses cor- respondant aux valeurs H et H + dR du paramètre ont même pro- babilité, et la somme des probabilités relatives aux éléments de cette couronne est TzdH Gc-n /A"»A:'«-X« le facteur — r représentant la surface de la couronne. La condition (5) devient et, comme on déduit de (5) G= iv/^U-'«— X». 71 La probabilité pour que le point se trouve entre les deux el- lipses qui correspondent aux paramètres H et H -f- rfH est i79. La formule précédente s'applique à la probabilité des écarts dans le tir à la cible. La première question à résoudre dans l'étude des questions re- latives à une arme donnée et à un tireur qui en fait usage est de déterminer pour cette arme et pour ce tireur les constantes ca- ractéristiques /:, A*' et X. Nous chercherons pour cela, en considé- rant ces constantes comme connues, les valeurs probables de a-, v^ et uv, u eX. V désignant les coordonnées du point où frappe la balle par rapport à deux axes passant par le centre de gra- vité de tous les points frappés, supposés, bien entendu, très nom- breux. Les valeurs probables, en vertu du théorème de BernouUi, doi- vent différer très peu des valeurs données aux moyennes par le hasard. Les coordonnées du point où frappe la balle par rapport aux CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 233 axes dont l'origine est au centre de gravité des points frappés étant désignées par u et r, la probabilité pour que ce point se trouve dans le rectangle du dv étant i/ÎÊTTTZrTj la valeur probable de ii^ est TZ ■ t/_« •/_« On peut l'écrire on a et l'expression (7) devient (8) -7^ v'ytU-'î-X» r* a«e""(*'^^v"*c/M. La formule •}. \x^ donne pour (8) la valeur 2 A:'» 2(A:iA:'j__X«) Telle est la valeur probable de w^. La valeur probable de u^^ est exprimée par TC «/— ao «/ — ao on a _.,,/ 'hiy X««« Posons 234 CALCUL DES PROBABILITÉS. on aura La valeur probable de uif se réduit donc à — ^^ = — ^1 u^due V *v = TTrTTi — sn* X'V^ •>'-«> 2(A:»A:'«-X«) [^ valeur probable de t^^, calculée comme celle de w*, est 2(A:«A:'*— X«)' En égalant les valeurs probables aux valeurs moyennes données par r ensemble des résultats obtenus, on obtiendra des équations dont les deux membres, si les observations sont nombreuses) dit' féreront probablement très peu. Posons donc a? -*- wî -+-...-+- wj _ . — A, ï "^ **! n i -i_ fil -I- -I- ()2 Vf -^ Vî -h. . .-h P = c. n Ml t^l -h i/j Pj -♦- . . . -H M„ Vn n Nous aurons, pour déterminer A:, Â^ et \ les équations ^(AU'*— X>) = B, on en déduit 2(A:SA:'»— X») ft(^ïA-'*-X«)"' * x..= ? , 2(AB — G*)' 2(AB-G*) 2(AB — G« CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 235 180. Les constanles A", A:' et X étant connues pour une certaine arme et pour un certain tireur, si l'on pose la probabilité pour que la balle soit placée entre les deux el- lipses qui correspondent aux valeurs H et H + dH sera (178) La probabilité pour que la balle frappe en dehors de Tellipse correspondant à une valeur H« du paramètre est «Al. Si l'on pose Hi = 0,69315, la probabilité sera 5. L'ellipse correspondant à celte valeur de H| contiendra, si les coups sont nombreux, la moitié des points frap- pés à très peu près. Si Ton donne successivement à-H les valeurs o, io536, 0,223l5, o, 3566g, 0,51082, 0,69315, 0,91329, 1,20677, 1,60944, 2,3o359, les neuf ellipses semblables correspondant à ces valeurs du para- mètre partageront le plan en dix régions contenant chacune , vraisemblablement sur un très grand nombre de coups, la dixième partie à peu près du nombre des balles. La première de ces ré- gions est la plus petite des ellipses^ la dernière est la portion du 3lan située au delà de la plus grande. 236 CALCUL DES PROBABILITÉS. 181. A chaque point frappé par la balle correspond une valeur de H. La valeur probable de H est Telle doit donc être, avec une probabilité d*au tant plus grandeqac les épreuves seront plus nombreuses, la moyenne des valeurs de H correspondant aux points frappés. 182. Une question fort importante doit rester indécise. Quelle est, dans un concours de tir, la règle à conseiller pour juger les tireurs? Le problème ne me semble pas comporter de solution absolue. Si les balles tirées par deux concurrents peuvent être classées de telle sorte que chaque point frappé par le premier soit plus près du centre que le point correspondant frappé par le second, la décision semble facile. Dans ce cas-là même, si les différences sont petites, le tireur dont les balles sont moins approchées du but peut quelquefois prétendre au premier rang, en alléguant 1 un- portance d'un écart horizontal plus grande que celle d'un écart qui laisse la balle dans Talignement vertical. Il semble naturel, à première vue, de mesurer le mérite don tireur par la surface de Tellipse à Tintérieur de laquelle il J * probabilité donnée de voir la balle se placer. La valeur de la différence représenterait alors le mérite de chacun. Cette appréciation peut, dans des cas extrêmes, qui, trèsproba- blement, ne se sont jamais présentés et ne se présenteront jamais, donner des conséquences inacceptables. Si Tun des tireurs plaçait toutes ses balles sur une ligne droite passant par l'origine des coordonnées qui sert de but, la règle proposée lui assignerait le premier rang, quelle que fût la dis- tance de ses balles au centre de la cible. La surface de l'ellipse CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. 23^ àracléris tique serait nulle, en effet, dans ce cas qui, véritable- lent, n^est pas à craindre. Il suffit qu'il soit possible pour con- amner la règle. La théorie n'en reçoit aucune atteinte. 183. Si Ton regardait a priori toutes les directions comme in- Lfférentes, il faudrait supposer X = o, X: = Ar'; la probabilité pour •apper la cible à une distance comprise entre R et R-+- rfR serait 2A:ïe-*«R«Re/R. La valeur probable de R et celle de R^ seraient ^ et —n\ elles ^ 2 A* 2 A"' eprésentent, pour un grand nombre d'épreuves, la valeur moyenne les distances au centre de la cible et celle de leurs carrés. Si dans un concours de tir on accorde le premier rang au tireur )our lequel une des deux moyennes désignée à l'avance a la plus >etile valeur, les deux règles, si les épreuves sont nombreuses, lonneront le même résultat; celui des tireurs pour lequel A* a la plus grande valeur sera certainement vainqueur. Si les épreuves sont peu nombreuses, le concours devient un jeu de hasard dans lequel, comme il est juste, un avantage est fait iu plus adroit. La valeur de k, déduite de la moyenne des dis- tances au centre de la cible, mérite moins de confiance que celle ^ui résulte des carrés. Le rapport des carrés des erreurs à craindre 5ur/r, dans les deux hypothèses, se calculera comme (152); il est %alà i6— 4ti. 184. La difficulté, on peut dire même l'impossibilité de donner ^ne règle précise de préférence entre deux séries de coups résulte d une autre circonstance encore. Les formules précédentes suppo- sent que, sur un grand nombre de coups, le centre de gravité des points frappés coïncide avec le centre de la cible. Nous avons écarté, en un mot, les erreurs constantes. Elles ne sont jamais "Nulles cependant, et, quand un grand nombre d'épreuves auront ^té faites, l'examen du mérite de leur ensemble devra commencer parla détermination du centre de gravité du système des points frappés. La distance de ce centre à celui de la cible représentera 238 CALCUL DES PROBABILITÉS. avec une grande probabilité la partie constante de Técarl. Pour déterminer les constantes caractéristiques /r, k! et \ on devra rapporter les coordonnées des points frappés à deux axes ajant pour origine le centre de gravité. Le mérite d'un tireur se trou- vera ainsi déGni par cinq paramètres : les deux coordonnées a et b du centre de gravité G de l'ensemble des points frappés et les constantes A*, k\ X, déterminées au moyen des coordonnées prises par rapport à des axes passant par le point G. La somme a*+i* pourrait mesurer Tim perfection systématique de l'arme employée ou le défaut constant du tireur dans sa manière de viser, et la dif- férence k'^k'^ — X^ représenterait la précision. Le tireur est d'au- tant plus habile que ces quantités sont plus petites, mais il est impossible de leur assigner une importance relative. Supposons deux tireurs, Pierre et Paul, ayant tiré chacun 100 balles. Les balles de Pierre sont toutes à o",! du centre de la cible dans un cercle de o"*,o5 de rayon. Il y a dans sa manière de tirer une cause d'erreur commune à tous les coups; à cela prè^» son tir approche de la perfection. Paul, au contraire, n'a pas dans son tir d'erreur systématique Les points frappés par ses balles entourent le centre de la cibl ils sont tous dans un cercle de o",i5 de rayon. Entre ces deux tireurs, dont l'un tire avec plus de précisio mais dont l'autre est exempt de toute erreur systématique, qu ^ est le plus habile? La question ne peut être résolue. On pourra»- la comparer à la suivante : Deux chronomètres ont été étudié -^ Lorsque la température est constante, la marche du premier e - plus régulière; mais si l'on échauffe ou refroidit l'enceinte, il st — '- bit une influence plus considérable. Comment décider la préf*^ rence méritée par l'un d'eux? Le problème est évidemment impossible à résoudre. 183. J'ai appliqué les résultats précédents à l'examen 1000 coups tirés par des tireurs habiles à aoo" de distance ar«^' dix armes de même modèle, chaque tireur tirant dix coups ar^^ chaque arme. CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION D UN POINT. 23(> Le centre de gravité des looo points frappés avait pour coor- données X = o'",o8, Y = o™,2i; on a trouvé, en nommant w et i^ les coordonnées par rapport à des axes passant par ce centre de gravité, pour Tensemble des points frappés. Les équations 5if! n n n A = B = C = = 568,255 = A, = 648,666 = 8, = 33,221 = c. -X 2(A:U-'*— Xî) donnent k^ = 0,0008825, A:'*= 0,0007732, X =— 0,0000452. L'équation d'une ellipse d'égale probabilité est k^u^-^^.liw-hk'^v^^ II; à chaque point du plan correspond une valeur de H. En faisant le calcul pour les 1 000 points frappés par les balles, on a formé le Tableau suivant : 24o CALCUL DES PROBABILITÉS. Tir de 1000 balles. — Valeurs de H. 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o G o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 14 o 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20 o 21 o 22 23 o 24 o 25 o 26 o 27 o 28 o 29 30 o 31 o 32 o 33 34 o 35 o 36 o 37 o 38 o 39 o 40 o 41 43 o 44 o 45 o 46 o : 0,105 <0.1B <0,3M <0.511 <0,e98 <« >,001 ,108 0,224 0,357 o,5i4 0, ,002 ,110 0,224 0,357 o,5i9 0, ,oo3 ,110 0,225 0,357 0,519 0, ,oo3 ,111 0,225 0,358 o,5i9 0, ,004 Oj ,112 0,226 0,358 0,522 0, ,oo4 Oi ,112 0,226 0,359 0,522 0, ,008 ,112 0,227 0,359 0,523 0, ,011 ,112 0,227 0,359 0,524 0, ,012 ,112 0,229 0,359 0,525 0, ,oi3 ,112 0,23l o,36o 0,525 0, ,oi3 ,Il5 0,232 o,36o 0,525 0, ,oi5 ,118 0,232 o,36o 0,526 0, ,016 ,118 0,232 o,36i 0,527 0, ,016 ,118 0,235 0,362 0,528 0, ,016 ,119 0,235 0,363 0,529 0, ,oiG 0, 122 0,236 0,363 o,53i 0, ,017 ,123 0,2^2 0,363 0,543 0, ,020 0, 124 0,249 0,366 0,544 0, ,021 ,124 0,25l 0,369 0,545 0, ,021 »129 0,25l 0,372 0,545 0, ,022 0, , i3o 0,252 0,374 0,548 0, ,023 , t3o 0,232 0,375 0,549 0, ,023 <>1 ,i3i 0,252 0,375 0,549 0, ,025 0] ,i3i 0,253 0,376 o,55i 0, ,026 ,i3i 0,255 0,377 o,55i 0, ,027 ,i3i o,256 0,377 0,552 0, ,027 ,l32 0,257 o,38o 0,553 0, ,028 Oj ,i33 0,259 0,382 , 557 0, ,029 ,i33 0,264 0,385 0,558 0, ,o3i Oi ,i3'4 0,267 0,386 , 565 0, ,o32 i34 0,268 0,386 0,566 0. ,o32 ,i34 0,274 o,388 , 566 0, ,o34 , i36 0,274 0,388 0,571 0, ,o33 ,i37 0,277 0,389 0,572 0, ,o37 0, ,.37 0,278 0,390 0,572 0, ,037 O) i38 «,579 o,39'4 0,573 0, ,o38 o> i38 0,281 0,395 0,57.1 0, ,o39 0) i4o 0,38a 0,396 0,575 0, ,o4o ,i4i 0,283 0,397 0,578 0, ,042 ,i4i 0,284 o,4o4 o,58o 0, ,042 0, ,41 0,285 o,4o4 0,583 0, ,043 0, i4i 0,286 o,4o5 0,584 0, ,045 0: ,143 0,286 0,406 0,584 0, ,045 0, 147 0,286 0,407 0,586 0, ,045 o> i49 0,287 0,409 0,587 0,' ,o46 0, i5o 0,287 0,410 0,589 0, 695 695 ^7 704 705 706 706 707 707 709 711 7M 712 713 714 717 718 7»9 7»9 7»9 7'9 722 733 735 739 742 743 7« 745 747 7l« 748 751 753 753 7^7 7^9 7^9 764 765 767 768 768 770 770 < 1,106 0,914 0,915 0,916 0,924 0,935 0,937 0,939 o,9'40 o,9l« 0,942 0.945 0,945 0,947 0.947 0,950 0,950 o,95o 0,950 0,954 0,958 0,961 0,965 0*967 0,969 0,969 0,972 0,973 0)97^ 0,976 0,977 0,978 0,990 0,993 0,995 0,998 ,002 ,oo5 .009 ,016 ,020 ,024 ,024 ,028 ,037 ,0'4l < 1,609 208 208 2l5 218 219 219 223 232 232 23a 236 241 241 241 24 1 244 254 264 270 274 277 280 282 285 3oo 3o2 3o6 3io 3i5 3i5 320 324 324 329 33o 341 342 343 343 3,3 349 355 357 36i 367 on 1» 370 <Î40I ,620 ,648 ,655 ,664 ,664 ,672 ,675 ,680 ,683 ,687 ,688 ,689 ,704 ,704 ,707 ,710 ,713 ,713 ,714 .720 ,724 ,737 ,738 ,742 ,74^ »747 »747 ,7^9 ,761 ,766 ,799 ,801 ,8o3 ,8o4 ,810 ,8i3 ,821 ,833 ,889 .857 ,862 ,883 .884 ,885 3.335 2,329 a,34« 2,353 2,368 2,379 2,387 3,387 2,4 |5 2,44^ 3,460 3,4^ 2,5«« 3,543 3,«OÏ 2,&0« 3.6-7^ 3.6-7^ 3,6^' 3,6^ 2,706 2,7<>7 2,7.0 2,7 ""^ 2,7.-59 2,7^^ 2,5 ^"^ 2,ffÔ« 2,^9 2.^^ 2,^^ 2,^^ 3,0^9 3,1 '•< i CHAP. IX. — ERREURS DE SITUATION D UN POINT. 241 Tir de 1000 balles. — Valeurs de II. (Suite.) <0,105 <0,îi8 <0,156 <0,5!1 <0,693 <0.9!3 < 1,106 47 48 o 49 o 50 o 51 o 52 o 53 54 o 55 56 o 0'..«.-. o 58 o 59 o 60 61 o 62 o 63 o 64 65 o 66 67 o 68 o 69 o 70 71 o 72 o 73 o 74 o 75 o 76 o 77 78 o 79 o 80 o 81 o 82 o 83 o 84 o 85 86 87 o 88 o 89 o 90 o 91 o 92 B. »o47 0, i5o 0,287 0,410 0,589 0,771 I t,o44 « ,o47 0, i53 0,287 0,410 0,596 o»777 ' ,o53 I ,o5o 0, i54 0,288 0,4" 0,597 o>779 ' ,o55 I ,o5o 0, i54 0,288 o,4ii 0,598 0.779 > [,o56 I ,o54 0» i54 0,288 0,412 0,602 0,780 1 [,o57 I ,o56 0, 157 0,290 0,4 14 o,6o3 0,782 1 [,o59 I ,o56 0, i58 0,292 0,421 0,604 0,785 i,o59 I ,o56 0, i58 0,293 0,432 0,604 0,792 ] 1,059 ' ,o57 0, 169 0,295 0,4^3 0,607 0,794 1 r,o6o 1 ,o6i 0, 159 0,295 0,424 0,608 0,794 [,068 I ,062 0, 159 0,296 0,425 0,609 0,800 ] 1,069 ' ,064 0, 160 0,296 0,427 0,610 0,801 1 1,069 I ,064 0» i6f 0,296 0,427 0,610 o,8o4 1,069 I ,067 0, 161 o»297 0,427 0,611 0,806 [,079 1 ,068 0, 161 0,298 0,428 0,614 0,806 1,081 I ,068 0, 164 0,299 0,429 0,618 0,806 : [,082 I ,068 0, 168 o,3oi o,43i 0,623 0,807 1,093 I ,069 0, 168 o,3o3 0,437 0,623 0,812 ',09^4 I ,069 0» 170 o,3o6 0,437 0,633 o,8i4 1,098 I ,069 0, »7' 0,309 0,44' 0,634 0,820 1,100 I ,069 0, 172 0,309 0,44a o,636 0,821 1,100 I ,072 0, 173 o,3io 0,445 0,637 0,821 1,109 ' ,072 0, '74 o,3io 0,447 0,640 0,823 I , 116 1 ,073 0» «74 o,3io o,4'»8 o,64i 0,823 1,118 I S 073 0, '74 o,3io 0,448 0,643 0,825 : 1,122 I »074 0, 176 o,3if 0,449 o,6'43 0,826 1 [,124 I ,075 0, 176 o,3ii o,45i 0,645 0,827 [,i3o I ,075 0, »77 o,3i5 o,45i 0,646 o,83i .,i34 I »o77 0, .78 o,3i8 0,458 0,646 0,836 1,145 I »077 0, 178 0,319 0,461 0,649 o,836 1,147 ' ,078 0, 179 0,320 0,463 0,649 0,8^0 i,i48 1 S 079 0, 180 0,320 0,464 o,65i o,84o i,i53 I ,080 0, i83 0,321 0,464 0,652 0,840 1 r,i55 I ,080 0, i83 0,322 0,464 o,652 0,842 ) r,i59 I ,080 0, i85 0,322 0,464 0,652 0,843 i,i63 I ,082 0, 188 0,328 0,467 0,654 0,846 ] [,168 1 ,o83 0, '9' 0,328 0,468 0,656 0,847 '»»79 I ,089 0, »9» o,33o 0,470 0,657 0,847 1,180 I ,089 0, 194 o,33i 0,470 0,607 o,85o j 1,181 I ,090 0, «94 0,336 0,472 0,657 0,852 1 1,186 I ,092 0, 195 0,337 0,473 0,660 0,8.>2 1 [,192 I ,092 0, 195 0,337 0,474 0,660 0,855 1 t»'97 ' ,093 0, '97 0,340 0,475 0,662 0,858 ] '»'97 ' ,095 0, '97 0,340 0,480 0,664 0,859 // I ,096 0, 198 0,34a 0,485 0,667 0,859 // I ,096 0, '99 0,343 0,485 0,668 0,859 // I :!,60» . C»,20S >î.30î ,375 1,885 3,125 ,376 1,888 3,145 »377 1,891 3,168 ,384 1,895 3,225 ,389 1,901 3,270 ,393 1,908 3,348 »397 1,934 3,357 ,4o6 1,953 3,382 ,4o6 1,960 3,382 /107 ',9^ 3,386 ,4i5 »'97o 3,392 »4'9 '»97' 3,4o2 ,426 '»98' 3,4o2 /427 1,988 3,4i3 ,43o »»999 3,5o2 ,430 2,001 3,611 ,43o 2,006 3,611 ,435 2,018 3,619 ,437 2,023 3,622 /|37 2,029 3,6«o ,45o 2,039 3,704 ,45'» 2,o48 3,716 ,459 2,o55 3,740 ,462 2,081 3,787 »475 2,o85 3,795 ,482 2,086 3,806 ,486 2,107 3,924 ,486 2,Il4 3,925 ,490 2,ll5 3,946 ,5oo 2.117 3,949 ,5o3 2,127 4,i35 ,509 2,l3l 4,i55 ,5i3 2,142 4,161 ,5i3 2,195 4,252 ,519 2,195 4,36i ,528 2,212 4,372 ,53i 2,238 4,490 ,56i 2,240 4,637 ,56i 2,242 4,710 ,562 2» 2^9 4,896 ,566 2,265 4,943 ,568 2,273 5,6i3 ^^79 ' 2,281 5,868 ,582 ■ 2,3oo 5,892 ,586 It 5,955 ,588 // 5,980 16 '2^'i CALCUL DES PROBABILITÉS. Tir de 1000 balles. — Valeurs de H. (Fin.) <0,!0» <0,n8 <0.356 <0,»11 <0,69S <0,91i <1,»6 <1,W9 Ma» 93 0,097 o»2oo 0,346 0,486 0,670 0,865 94 0,097 0,303 0,346 0,486 0,673 0,865 95 0,097 o,3o3 o,35i 0,489 0,676 0,866 96 0,097 0,204 0,355 0,489 0,677 0*869 97 0,099 0,306 0,356 0,491 0,683 0,869 98 0,102 0,208 0,356 0,491 0,687 0,870 99 o,io3 0,309 0,356 0,494 0,687 o>®7' 100 // o,ai4 0,356 0,494 0,690 0,881 101 /' o,2i4 " 0,495 // 0,886 102 » o,2i5 // o,5oo // 0,887 103 /' o,2i5 // o,5oi // 0,888 104 // o,2i5 // o,5o3 '/ 0,893 105 // 0,217 0,507 // 0,894 106 // 0,225 // 0,509 " 0,897 107 // // ff o,5io rf 0,897 108 /' // // o,5io " 0,899 109 tf H tt II II 0,900 110 // // » I' // 0,901 111 f tf n it tt 0,903 112 '/ n n n tt 0,904 113 tt n n N tf 0,906 114 '/ " /' tt tt 0,909 115. .,, tt tt tt tt tt 0,913 Les nombres de balles placées dans les divers intervalles aux- quels correspondent des probabilités égales à ~ sont, d'après ce Tableau, 99, 106, 100, 108, 100, ii5, 89, 94, 90, 97. Aucun d'eux ne s'écarte assez du nombre le plus probable 100 pour démentir la théorie. A chacune des limites adoptées pour H correspond, nons Pa- vons dit, une probabilité ^5, et 100 balles par intervalle représen- teraient l'événement le plus probable. L'événement le plus pro- bable se présente rarement, il j a toujours un écart. La valeur probable du carré de l'écart calculée plus loin (187) est QOOO ^—- = 90. 100 ^ ( * ) Plus deux balles mises hors la cible. «r i,6o3 n iM tt 1,609 tt 8,ia5 tt tt w 8,181 n n n 9,6^5 H tt H 10,^7 tt m II (•) n tt » # H tt H e u tt n tt n w H tr tt tt tt w tt tf » p // n it // n » t tt If » p tt n tt tt n n w u ff tt H tt If W it N If n tf tt m § CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. H^'d La somme des carrés des écarts observés est iH- 36-h64 -f-225 -h 121 -h 36-f- loo-h I = 624: la moyenne est 6a, 4. Le carré de l'écart moyen est donc inférieur à sa valeur pro- bable, et Taccord de la théorie avec les faits est aussi satisfaisant que possible. La valeur probable de H est, nous l'avons démontré, égale à Tunité. La valeur moyenne des 998 valeurs données par le ha- sard est 0,981. L'accord, on le voit, est de nouveau très satis- faisant. 186. Nous avons trouvé (181) la valeur probable du paramètre H, caractéristique des ellipses de probabilité donnée, égale à l'unité. Il est intéressant de chercher la valeur probable du carré de l'erreur commise en égalant à l'unité la moyenne des valeurs de H, c'est- à-dire de calculer la valeur probable avant l'épreuve de / Ht-^H,-4-...H-Hn _V H<, H2, ..., Un étant les valeurs de H relatives aux diverses épreuves. On a (II) / H,H-H,-^...-4-H. _ \^^ I ^ 2 ^ _2^^ La valeur probable de H? est r"e-HH«rfH = 2; celle de H/ est l'unité, et la somme (n)) en ayant égard au nombre de termes compris dans chaque somme I, est 2 n — I I — 24-1 = -• n n n Telle est la valeur probable du carré de Terreur commise en égalant la moyenne des valeurs de H à l'unité^ 244 CALCUL DES PROBABILITÉS. 187. Nous avons trouvé la valeur de H pour laquelle la pro- babilité de voir la balle se placer à l'intérieur de l'ellipse corres- pondante est yq. Soient N le nombre des balles qui frapperont dans rintérieur de l'ellipse, n celui des balles tirées, la différence 10 sera petite si n est grand. Cherchons la valeur probable du carré 0» (N-fJ; on a 10/ 10 100 (' La valeur probable de N est — ; par conséquent, celle de est — 7 et l'expression (12) peut être remplacée par 71» 100 — est donné, puisque. /i est le nombre des balles qui ont été tirées ; nous devons chercher seulement la valeur probable de ?!*• N est le nombre de balles placées dans l'intérieur de l'ellipse. Le problème est donc celui-ci : Un événement a pour probabilité — ; quelle est la valeur pro- bable du carré du nombre de fois qu'il se présentera sur n épreuves. Soient p la probabilité de l'événement (p est ici égal à ^) et? la probabilité de l'événement contraire. Le développement 1.2 donne, par ses différents termes, les probabilités des combinai' sons qui'peuvent se produire. CHAP. IX. ERREURS DE SITUATION d'uN POINT. ^45 Si donc on représente cette somme par la valeur probable du carré du nombre m d'arrivées de l'événe- ment dont la probabilité est/> est on a En prenant la dérivée par rapport à /? et multipliant par/>, prenant de nouveau la dérivée par rapport k p et multipliant par/?, et, puisque /> -f- y = i , p est -jij, y est ~ 5 la valeur probable de N^ est donc lOO lOO et, par conséquent, celle de N^ est M. lOO La différence N doit très probablement augmenter indé- finiment, comme le font toujours les valeurs des différences abso- lues entre les grandeurs dont les valeurs probables sont égales; mais la différence des valeurs relatives \n lo/ 246 CALCUL DES PROBABILITÉS. tendra vers zéro , car la valeur probable de N I \« est /N ___!_ \n lo n* \ioo/ loon Le rapport du nombre N des balles qui se placeront dans l'inté- rieur de la petite ellipse, au nombre total n des balles tirées, tend vers j^ quand n augmente, puisque la valeur probable du carré de la différence avec ^ est - ^ oon t CHAP. X. — LA THÉORIE DES MOYENNES. 247 CHAPITRE X. LA THÉORIE DES MOYENNES. Erroram repilarlnm conilderatlo proprie ab Instltnto nosiro excladitar. Gaoss. 188. Abandon nécessaire de la loi de Gauss. — 189. Conditions imposées à la loi inconnue qui devrait la remplacer. — 190. Détermination expérimentale de la partie constante de l'erreur. — Évaluation de l'erreur à craindre. — 191. La moyenne des mesures converge vers la valeur véritable augmentée de l'erreur constante. — 192. Valeur probable de la constante caractéristique dé- signée par m^. L'évaluation de l'erreur à craindre dépend d'une constante nou- velle. — 193. La constante m' diminue quand on retranche l'erreur constante. — 194. Importance de la valeur de m'; insuffisance de la formule la plus simple. Correction proposée sans preuve bien satisfaisante. — 195. Observations de mérite inégal. — Poids d'une observation. ~ 196. Objection de Poisson à la théorie des moyennes. — Cause de l'exception. 188. Ni le succès près des observateurs de sa loi de probabilité des erreurs, ni la simplicité des conséquences, ni leur accord con- stant avec les faits n'ont décidé son illustre inventeui: à y voir une mérité démontrée. Nous avons indiqué les graves objections que laisse subsister (138) la démonstration. Jamais Gauss ne les a propo- sées, mais l'abandon de sa première théorie permet de croire qu'elles s'étaient présentées à son esprit. Sans renoncer aux méthodes déduites de cette théorie et deve- nues indispensables, Gauss a voulu les établir sur des principes plus certains. La recherche d'une loi rigoureuse pour représenter la probabi- 248 CALCUL DES PROBABILITÉS. lité des erreurs ne semble laisser aucun espoir de succès : les plas illustres y ont échoué et les données du problème ne semblent donner prise à aucune recherche théorique. Gauss, sans chercher cette loi inaccessible, variable sans aucun doute d'un cas à l'autre, a su, tout en laissant la fonction indéter- minée, résoudre rigoureusement le problème. La fonction inconnue, d'après l'ingénieuse manière dont il pose la question y figure seulement dans des intégrales définies dont les valeurs numériques deviennent les constantes caractéristiques d'un système d'observations. 189. Supposons qu'en mesurant une grandeur la probabilité d'une erreur comprise entre z et z-^dz soit représentée par ^{z)dz, La fonction inconnue ^{z) doit satisfaire à quelques conditions qu'il faut dire : On a rigoureusement (i) j f^(z)dz = I. n faut bien, en effet, que l'erreur ait une valeur, et la somme des probabilités pour tous les cas possibles, entre — »et-l-*j représentant la certitude, doit être égale à l'unité. Si les mesures n'ont pas d'erreur systématique et que l'instru- ment rende les erreurs positives aussi probables, exactement, que les erreurs négatives, on aura C'est ce que nous avons supposé jusqu'ici, admettant qu'avant l'étude d'un cas particulier on ait déterminé l'erreur constante de l'instrument, pour la faire disparaître ou pour en corriger les résultats. Ne faisons pas d'abord cette hypothèse, et posons M / 2 cp(>3)c^3 = a; a sera une constante que l'on peut appeler ï erreur probabk* CHAP. X. LA THÉORIE DES MOYENNES. ^49 Gauss la nomme la partie constante de V erreur. Quand on l'aura déterminée pour un instrument donné et un observateur désigné, on la retranchera de chaque mesure; l'erreur, qui était z^ devien- dra z — a. En posant la probabilité de Terreur y sera toujours tf(^z)dz\ si on la nomme f{y) ^y^ o» aura et, à cause des conditions (i) et (2), / yAy) dy = o. La valeur probable des erreurs corrigées est donc égale à zéro et, ce qui revient au même, leur partie constante est nulle. Nous parlons de la différence entre la valeur exacte et la valeur observée, qui peut être positive ou négative, et non de Terreur absolue, toujours positive, dont la valeur probable, évidemment, ne saurait être nulle. 190. La détermination de la constante a sera facile, en géné- ral : on mesurera un grand nombre de fois une grandeur bien connue. Soient 61,^2, . . ., e/i les erreurs successivement commises, on prendra (i) = a, n La valeur probable de Terreur doit en effet, d'après le théo- rème de Bernoulli, différer peu de la moyenne des erreurs. On peut aller plus loin et donner une appréciation de Terreur à craindre, en acceptant Téquatlon (3). Posons (4) / z^r^{z)dz = m'^. a5o CALCUL DES PROBABILITÉS. La constante m^ est déterminée pour chaque système d*expé* rîence. On en trouvera la valeur approchée, expérimentalement comme on a trouvé celle de a. Cherchons la valeur probable de (5, ( ^■-"^'•;--^'' -a/; elle donnera, évidemment, une indication de Terreur à craindre quand on accepte comme nulle la grandeur positive qu^elle repré- sente. Cette expression (5) peut s'écrire Al» /i» n " ' La valeur probable de e\ est, quel que soit i, celle de e/, «-' 30 et, par conséquent, celle de eiei' est a-. Ces valeurs sont les mêmes pour toutes les valeurs de «, car l'appréciation de l'erreur à craindre est supposée faite à l'avance: elle est relative aux instruments dont on dispose, aux méthodes employées et à Thabileté connue de Tobservateur. Sa valeur n'a rien de fortuit. L'expression (5) devient, en ayant égard au nombre des termes de chaque somme, /?î* nin — i)a» 2wa' h -^ -^ h a«, n n^ n c'esl-à-dire {(y) n La valeur probable du carré de l'erreur commise en prenant CHAP. X. LA THÉORIE DES MOYENNES. 25 1 pour a la moyenne des erreurs tend donc vers zéro lorsque n augmente. 191. La moyenne d'un nombre de mesures de plus en plus grand convergera vers la valeur véritable augmentée de Terreur constante a. On aura en effet, en nommant oti, x^i . . ., ^/i les évaluations successives d'une même grandeur -3 et ei, ea, . . -, ^/i les erreurs correspondan tes , iTi -4- aTj -+- . . . H- a'/t 6|-f- «jH-. . .-H e/, » n n et, puisque la moyenne des erreurs diffère peu de a quand n est grand, la moyenne des valeurs de x différera peu de ;; + a; et si a a été donné par Tétude préalable de Finstrumcnt et de la me- thode, en le retranchant de la moyenne, on aura une évaluation de la grandeur mesurée d'autant plus certaine que les mesures se- ront plus nombreuses. L'erreur commise sera exactement a; n la valeur probable de son carré est inversement (190) propor- tionnelle à /i : on peut donc la regarder elle-même comme de l'ordre -p:- La confiance méritée par la moyenne d'une série de mesures s'accroît comme la racine carrée de leur nombre. 192. Pour obtenir, dans un système donné d'observations, la valeur probable de la constante m^, on fera une série de mesures ^if ^2) •••? ^n d'une grandeur bien connue à l'avance. €\y e%^ . . ., €n étant les erreurs successivement commises , on pourra a52 CALCUL DES PROBABILITÉS. prendre eî-+-gî-4-...-4-e» ^^, n L'erreur à craindre en adoptant cette équation sera d'autant moindre que le nombre n des mesures sera plus grand. Il faut, pour l'évaluer, chercher la valeur probable de Posons /* * / h sera une nouvelle constante liée à la perfection du système d'observation et, comme m, d'autant plus petite que le système de mesures sera meilleur. A* est la valeur probable de la quatrième puissance de l'erreur commise dans une observation. On a (7) ( — m*) = —Se* H ^ 2e/-+-m*. La valeur probable de e\ est A*, quel que soit i\ celle de e\ est m? et celle de e\e],^ par conséquent, m^. La valeur probable de (7) est, par conséquent, 1 ^^ — - — /w^ h m*, n n* n c'est-à-dire (8) *'-'"' n elle tend vers zéro lorsque n augmente. 193. Lorsque l'on étudie un instrument, si Ton ne peut faire disparaître les erreurs constantes, le premier soin doît être de déterminer l'erreur probable «; elle sera retranchée de chaque résultat donné par l'instrument, la différence devenant l'évaluation acceptée. CHAP. X. — LA THÉORIE DES MOYElfJŒS. 253 La valeur de m^, relative aux mesures ainsi prises, est toujours )lus petite qu^avant la correction; plus petite même que si, au ieu de retrancher a, on faisait une autre correction constante, juelle qu'elle fût. Lorsque z est remplacé par (s — a), la valeur probable du carré le l'erreur devient {z — a)^^{z)dz= I z^(^(z)dz — ^a j zf^{z)dz-ha* 1 ff(z)dz ît, à cause des équations / ^(z)dz = i^ j z(^{z)dz = ay */_ 00 «/ — OD j {z — a)'cp(>s)c?^ = m» — a*, plus petite que m^. Il ny a pas à craindre que a^ soit plus grand que m^, car le premier membre est essentiellement positif. Si, au lieu de a, on retranchait de z une autre constante a, on aurait / {z — ayf^{z)dz = / z^(^{z)dz — ^% j zo(z)dz-h 7.'^ I o{z) dz plus grande que m^ — a^. 194. La valeur de m^, quand on la calcule, comme on doit le faire, après avoir corrigé chaque observation de sa partie con- stante, est la mesure du degré de conûance à accorder au système considéré. Si m* est petit, toute erreur qui n'est pas très petite en valeur absolue, a une probabilité très petite. La valeur probable du carré de l'erreur ne pourrait pas évidemment, sans cela, être très petite. Si m^ est grand , on peut craindre de grandes erreurs ; leur probabilité ne peut pas être petite. 2d4 calcul des probabilités. La détermination de m^ est donc importante. La règle doonée la fait dépendre de Téquation f? -h e2 -4-.. .-+-e* • «^•••^^'' = m«, n et, pour connaître m, il faut, par conséquent, connaître d'abord les erreurs commises dans une série de mesures. Si cette condition n'est pas remplie, on procédera comme on a fait (160) pour un problème semblable, ou, plus tôt, pour résoudre le même problème que nous avons déjà rencontré. Nous avions trouvé, en étudiant une loi de probabilité d'erreurs, é?i, ^2, . . ., Cn étant les erreurs successivement commises. C^ précisément la même formule, démontrée de la même manièt^' dans laquelle -r^ représente l'intégrale J-m s/tz qui remplace lorsque la probabilité d'une erreur 5, au lieu d'être ^(s), Nous pourrons, comme nous l'avons fait (160), remplacer *^ erreurs ^i, ^2, • • •, ^/t, si elles ne sont pas connues, par leurs '^^ leurs approchées, qui seront les différences entre chaque mesU^ et la moyenne, et l'on devra, comme il a été expliqué, remplace** après cette substitution le dénominateur n par n — i. La démonstration, nous l'avons vu, suppose que l'on négHS"^ un terme dont la petitesse nécessaire est très imparfaitement àé' montrée. 195. Lorsqu'une même grandeur X a été mesurée par des pro- CHAP. X. LA THÉORIE DES MOYENNES. 255 cédés différents, ou par divers observateurs avec des instruments de mérite inégal, on ne doit pas prendre la moyenne. Les obser- vations les plus dignes de confiance doivent garder une influence plus grande. Soient îCi, X2, • . . , x,i n évaluations d'une même grandeur. Supposons que chacune des évaluations soit corrigée de la partie constante, de telle sorte que la valeur'probable de Terreur ait été rendue nulle. Soient m^, m^, ..-, mj les valeurs supposées connues de la constante m pour chacun des systèmes de mesures qui ont fourni ces n valeurs. Si Ton fait entrer dans la détermination plusieurs mesures prises dans les mêmes circonstances, on supposera les valeurs de m égales. Cherchons parmi les expressions de la forme celle qui doit inspirer le plus de confiance. La valeur à adopter est celle, évidemment, qui rendra minima la valeur probable du carré de l'erreur commise. On doit avoir nécessairement (10) X,-hX2-f-...+ 1,1= i; car, sans cela, toutes les mesures étant supposées exactes, la va- leur qu'on en déduit ne le serait pas. L'erreur commise dans l'évaluation (9) sera Xj ej -+- Xj ej -f- . . . 4- X;, 6/, ; elle a pour carré SX?e?-+-2SX/X/'C/e/'. La valeur probable de e/est nulle 5 par conséquent aussi, celle de eiCif; celle de e? est m?. La valeur probable du carré de l'er- reur commise est, par conséquent, Xîm}-hX|m| -h...-^XjmJ. Il faut choisir les valeurs de X4, )v2, . • ., "kn qui rendent cette somme minima en satisfaisant à l'équation (10). 256 CALCUL DES PROBABILITÉS. Il faut égaler à zéro les deux diflerentielles 2m| /j É^iH- 2/niXjé/Xj-i-, . .-i- 2/71/1 X/i^A/i = o. La seconde de ces équations doit être la conséquence nécessaire de la première. Il faut pour cela que les coefficients des difieren- tielles soient égaux et que Ton ait mîX, = mîXj = ...= mjX„, on en déduit, à cause de (lo), I mf 1 I I mf m| mj et la valeur de X qu'il faut adopter est ^i . ^J . . ^n //If mi m\ m\ ml mf^ C'est la moyenne des valeurs successivement obtenues ap que chacune a été multipliée par un facteur égal à l'inverse de valeur correspondante m*. Ce facteur — ,> d'autant plus grand que m^ est plus petit et q par conséquent, la mesure mérite plus de confiance, se nomme poids de Vobsen^ation, r observations semblables équivalent, d'après la formule, àc seule qui aurait un poids r fois plus grand. Si la probabilité d'une erreur z est on a /n«= — T-. 2A:« Le poids d*une observation est proportionnel à A'^. CHAP. X. L\ THÉORIE DES MOYENNES. ' 257 La définilioD nouvelle se trouve d'accord avec celle qui a été donnée. Le vciol précision ne peut pas (165), dans le cas général, être dé- fini avec la même rigueur. 196. La règle relative aux moyennes, et la sécurité qui en ré- sulte, est démontrée indépendamment de toute hypothèse sur la loi de probabilité des erreurs. Poisson a signalé comme une objection le cas où la fonction ^{z) serait proportionnelle à ÂÎH-^2 în la représen tant par Gdz X-2 -t- Z^ ' doit avoir f- Gdz en déduit T.G G-1 La probabilité d'une erreur comprise entre z cl z -\- dz est alors / ffz Dans ce cas, l'intégrale désîgnée dans la démonstration par m-, est infinie. Le poids - cl*une observation est nul. Il n'y a pas lieu de s'étonner si la conclusion est en défaut. L'hypothèse est réalisée par une girouette qui tourne librement sans que rien la dirige. Considérée comme un instrument destiné B. 17 258 CALCUL DES PROBABILITÉS. à montrer une direclion, celle du nord par exempl précisément la probabilité d'erreur exprimée par 1 ^Nommons z, en effet, la distance à laquelle la longée de la girouette coupera une perpendiculaire Ton prétend déterminer, si la girouette fait avec angle cp, on aura (12) ^ = arc tang ^• Toutes les valeurs de y comprises entre — - et H ment probables. La probabilité pour que l'angle désigné par le entre cp et '^ 4- d'f est • ^ ■ • '71 L'équation (12) donne d':^ = A^ -+- -5* La probabilité d'une erreur, sur 3, comprise ent est donc k dz C'est précisément la formule (11). ■»••< CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 20g CHAPITRE X[. COMBINAISON DES OBSERVATIONS, Nachdem der Obserralor das S«intge gelhan bai, ist e» an deui Gjooieler die Unsicberbeit dor Ueobacbluu- gen uod dcr der RecbnunK daraut abgeleiteloD GrOisen. nach iiireog malbematiscben l*riiiciplen zu wûrdigeo. 197. La théorie des moyennes n'est pas applicable, en général, à la détermination simultanée de plusieurs grandeurs. — l'JS. Lorsque plusieurs valeurs d'une même inconnue sont indépendantes, on peut prendre la moyenne en ayant égard à leur poids; premier exemple. — 199. Deuxième exemple. — *200. Troisième exemple.— 201, 202. Problème dans lequel les valeurs d'une même inconnue n»î sont pas indépendantes, résolu en suivant le principe de la démonstration, dont il faut changer le détaiL — 203. Problème général; première solution de Gauss. — 20i. En ne faisaat, en apparence^ aucune hypothèse sur la loi de probabi- lité, on ne change pas essentiellement les conditions de l'énoncé. — 205. Sub- stitution de la plus petite valeur probable du carré de l'erreur à Terreur la plus probable. — 206. Lorsque le nombre des équations surpasse celui des inconnues, il exi£te entre les erreurs des relations nécessaires qui ne sont pas satisfaites. — 207. Expression adoptée pour l'une des inconnues; on rend le carré de la valeur probable de l'erreur minimum. — 208. Les erreurs étant très petites, la solution est la plus générale. — 209. Valeur probable du carré de l'erreur à craindre. — 210. Premier exemple. — 211. Second exemple. — 212. Les valeurs probables des carrés des erreurs commises sont indépendantes de la concordance des résultats; explication de ce paradoxe. — 213. Les for- mules sont démontrées pour des observations qui ne sont pas encore faites. — 214. On peut se placer à un point de vue très différent; le problème devient insoluble. — Développement sur un exemple. La valeur probable a priori de l'inconnue que l'on veut calculer a posteriori est un élément nécessaire de la solution. — 215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes; faute de l'une des données indispensables, la solution est impossible. — 216. Discussion d'un problème analogue. — 217. Étude du problème géné- ral ; les solutions sont en nombre infini. — 218. Premier exemple. — 219. Se- 260 CALCUL DES PROBABILITÉS. cond exemple. — 220. Evaluation, dans un cas très simple, de Terreur à craindre en égalant la valeur vraie à la valeur probable. — Calculs numériques. — 221. Théorème des moindres carrés. — 222. Simplification des calculs. — 223. Exemple. — 22'i. Théorie de Gauss. — 225. Objections de Bienaymé. — 226. Les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés sont des fonctions déterminées des erreurs réellement commises. — 227. Expression de la somme des carrés de ces corrections. — 228. Valeur probable de celle somme. — 229. Exemple. — 230. Incertitude de quelques assertions compro- mettantes pour la théorie. 197. Lorsqu'une même grandeur a été mesurée plusieurs fois et que les résultats ne s'accordent pas, s'ils inspirent une égale con- fiance, il faut en prendre la moyenne; si leurs poids sont iné- gaux, on tient compte (193) dans le calcul de leurs valeurs relatives. Lorsque plusieurs grandeurs ont été mesurées et qu'elles doi- vent servir à déterminer des inconnues par des équations plus nombreuses qu'il n'est pécessaire, le problème semble de même sorte. On possède, en effet, autant d'appréciations différentes de chaque grandeur que de groupes d'équations pouvant les détermi- ner; mais ces appréciations ne sont pas indépendantes : cela exige un changement de méthode. Si l'on a, par exemple, mesure les trois angles A, B, C et les trois côtés a, 6, c d'un môme triangle, on pourra adopter comme valeur de l'angle A, soit la mesure A directement obtenue, soit le supplément de la somme B 4- G, soit celle que l'on obtient en associant B ou C à deux quelconques des côtés, soit enGn prendre pour données les trois côtés. Lors même qu'on aurait évalué les poids relatifs de ces neuf va- leurs de l'angle A, la théorie des moyennes ne serait pas app"' cable. La combinaison qu'elle prescrit vaudrait mieux, peut-être, que l'une des mesures adoptée sans correction, mais elle nesl pas la plus plausible entre toutes. La théorie des moyennes sup- pose, en effet, l'indépendance des mesures associées. La valeur probable de chaque erreur est supposée nulle, ainsi que celle des produits de deux erreurs. Les erreurs positives , en d'autres termes, ont, par hypothèse, même probabilité que les erreurs né- gatives ; cette condition n'est pas remplie dans le cas qui nous occupe. Si l'on s'est trompé, par exemple, en mesurant un angle? CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 26 1 et cela est inévitable, les calculs par lesquels on fera servir cet angle à deux déterminations d'un autre angle donneront, vrai- semblablement, des erreurs de signes contraires à celles du pre- mier. La valeur probable du produit de ces deux erreurs sera positive. 198. Lorsque la dépendance des erreurs n'existe pas, on peut appliquer la théorie des moyennes. Nous en donnerons quelques exemples. On veut déterminer la direction d'une ligne droite partant d'un point pris pour origine des coordonnées. On mesure pour cela les ordonnées y ^, y 21 • • «^ J^« de /i points de cette droite correspon- dant à n abscisses connues Xt, x.>, . . . , ^z/. Quelle valeur faut-il adopter pour le coefficient angulaire de la droite? Les mesures prises donnent, en désignant ce coefficient par a, Cl = > « = > • • • * et = • Ces déterminations indépendantes ont des poids inégaux qu'il faut calculer. Si l'on nomme m\ la valeur probable du carré de l'erreur com- mise sur r/, le carré de l'erreur commise sur — > xi étant exacte- Xi inent connu, a pour valeur probable —^\ le poids de la valeur x^ correspondante de a est, par conséquent, — ^- On doit, avant de Pï^endre la moyenne, multiplier chaque valeur de a par son poids. On aura m\ nx\ m}. a = ' — — m\ m\ ' ml Si les mesures des ordonnées insf)irent toutes la même con- fiance, l'expression se réduit à X I ~r X% — T~ • * • ~T~ X f^ 'A 162 CALCUL DES PROBABILITÉS. 199. Prenons pour inconnues, dans un second exemple, les trois angles directement mesurés d'un triangle. La somme des trois mesures ne se trouvant pas égale à deux angles droits, quelles corrections faut-il adopter? En nommant les angles A, B, G, on a deux mesures de l'angle A: A et 180"— B — C. Ces mesures sont indépendantes; on peut donc en prendre la moyenne, mais il faut calculer leur poids. Soient m- le carré de Terreur à craindre sur chacune des trois mesures; C|, ^2, ^3 les erreurs réellement commises. L'erreur sur 1 80** — B — C est ^2 -f- ^3 ; elle a pour carré dont la valeur probable est 2/??-. Les poids des deux détermina- tions de Tauffle A sont donc — r et — -i et l'on adoptera la va- leur A-^ - (180"— B — C) = A-h ^(180"— A— B — C). I -H - L'erreur commise est V*l _ ^^ __ £? 3" y 3 La valeur probable du carré de cette erreur est m- \9 9 y/ '^ 200. Le calcul précédent suppose les chances d'erreur dans la mesure d'un angle indépendantes de la grandeur de l'angle. Quand les mesures sont prises dans les mêmes conditions, cela est, en effet, presque absolument vrai. Si, au lieu de mesurer les trois angles d'un triangle, on mesu- rait les trois parties d'une ligne très bien connue par des mesures CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. ^63 antérieures, le problème, en apparence identique, serait, en réa- lité, très différent. Soit / la longueur, supposée parfaitement connue, d'une ligne dont les trois parties a, b^ c sont directement mesurées; on trouve Comment doit-on répartir Terreur a entre les trois mesures? On a deux évaluations de a : a cl l — b — c. Si Ci, €2f ^3 sont les erreurs commises sur a, 6, c, les erreurs ::ommises sur les deux mesures sont e^ et Ca-h e^; mais les valeurs probables de ej, e\y e] sont inégales : c'est ce qui distingue ce problème du précédent. Soient mj, m\, ml les valeurs proba- bles de ej, c], el'j on a La valeur probable de e^e^ est nulle s'il n'y a pas d'erreur constante; les carrés des erreurs commises sur les valeurs de a ont donc pour valeurs probables m^^ et m^ -h ml et les poids des deux déterminations sont — r et — r r- m} m| -f- mj On devra prendre pour valeur de a a + (/ -b- /*\ 1 mî "Kl -h mi I mî 1 l ' ml H- ml = a-+-(/ — rt — b — c) — r m m] -f- m\ H- ml La difficulté est d'évaluer les erreurs probables. Si les mesures ont été prises en portant sur chaque ligne une unité de longueur, la valeur probable du carré de l'erreur com- mise, dont chaque partie peut être positive ou négative, est pro- portionnelle (171) au nombre des unités*, on prendra donc m'^ = a, ml = 6, m?^ = c, et la valeur la plus plausible de a est a-\-( l — a — b — c) a 201. Résolvons un problème très simple auquel la théorie des moyennes n'est pas applicable. 264 CALCUL DES PROBABILITÉS. Supposons que, d'une station O, on ait observé quatre points A|, A2, A3, A4. On a mesuré, en les réduisant à rhorizon, les angles sous lesquels sont vues les cinq dislances A 1A2, AjAj, A|Aj|, A2A4, A3 A4. Soient /|, /2, /j, /a, Is les cinq valeurs obtenues; elles donnent évidemment trois mesures de Tangle A,OA2 Ces valeurs ne sont pas indépendantes. Les erreurs commises sur /s — lu et sur Ij,-^ h — ^4 sont liées Tune et l'autre à l'exac- titude de l^, La probabilité pour qu'elles soient de mêmes signes est plus grande que pour qu'elles soient de signes contraires. La théorie des moyennes n'est pas applicable. Cherchons sans changer de méthode, en modiGant seulement la démonstration, la meilleure combinaison à adopter. Nous résoudrons deux problèmes : Quelle est la meilleure combinaison des deux mesures ^3 — l^ et ^2+ h — l\ qui ne sont pas indépendantes? Quelle est la meilleure combinaison de /| avec la valeur déduite des deux autres mesures? Pour déduire de l^ — U et de /2-H l^ — U 'a valeur la plus plau- sible de l'angle dont ces expressions représentent deux valeurs approchées, nous prendrons pour cet angle avec la condition nécessaire car il faut bien que, dans le cas où les deux évaluations s'accor- deraient, leur moyenne soit égale à leur valeur commune. En nommant e^, e^, ^3, ^4, e^ les erreurs commises sur les cinq mesures, l'erreur commise en adoptant ( i ) est ^1(^3— ^*) -+- ^%{e%-\- e^— ^4) = Xjei-f- Xies-:-(Xi -f- Xj)^*-!- Xj^j. La valeur probable du carré de l'erreur commise, en nommant CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 265 m^ la valeur probable des carrés ej, e^, . . . , ^5, est m2[X| -^ Xf -f- (X, ■+- Xj)2-i- X|] = mî(î*Xî -i- 3 Xf -+- 2X,X,). Il faut déterminerai etX^ de telle sorte que, en supposant X,-fXî= I, la somme aXj H- 3X| -<- 2X1X2 soit minima. On trouve X -- ^ X - ' et la valeur la plus plausible est Le carré de Terreur commise sur cette détermination a pour valeur probable m*(2X} -+- 3X| -4- 2X1X2) = ;^ m'. La valeur probable du carré de l'erreur commise sur l^ étant m*, le poids de cette détermination sera — -; celui de Pexprcs- 3 sien (2), -: — j; ces deux valeurs du même angle sont indépen- dantes. On prendra donc, enfin, pour valeur la plus plausible dé- duite de Tensemble des mesures, , 3 / 1 , 2 , , I , 3 :5 /i -i- /s -4- 2 /j — 3 /v •+■ h y L'erreur commise sera 5 «1 H- ej -t- 2 ^3 — 3 e^ -f- ^5 8 dont le carré a pour valeur probable — (25 4- n- 4 H- 9 -M ) = -g- 266 CALCUL DES PROBABILITÉS. 202. Si , oubliant que les évaluations ne sont pas indépen- dantes, on avait cherché les poids des trois mesures ils sont I I I on aurait adopté pour valeur de Tangle 11 II IH h - •"8 . Le carré de Terreur aurait pour valeur probable -^— /??*, c'est- à-dire ofi/\im' au lieu de o^Cn^ym^. 203. Le problème général qu'il faut résoudre est le suivant : On a fait, pour déterminer n grandeurs inconnues, n -\~ p me- sures, dont les résultats s'y rattachent par des équations néces- saires. Les équations se trouvent incompatibles; quel est le meil- leur système de valeurs à adopter? Si Ton accepte pour loi de probabilité des erreurs la formule — e~^^^^dzj en supposant à la constante k une même valeur pour toutes les grandeurs directement mesurées, la théorie devient fort simple. Les mesures obtenues étant /|, /o, . . ., Inj^pt O" devra, pour rendre les équations compatibles, leur faire subir des corrections e,, r.j, . . ., c,t^p. La probabilité pour que ces erreurs supposées aient été réellement commises est proportionnelle au produit elle sera maxima quand la somme des carrés des corrections sera la plus petite possible. Le meilleur système de corrections est celui pour lequel la somme des carrés des erreurs supposées commises est un mini- mum. CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 267 204. Après avoir proposé le théorème précédent, dont il a suivi les conséquences avec une merveilleuse habileté, Gauss, dans ses derniers Mémoires sur la combinaison des observations, a voulu s'affranchir de toute hypothèse sur la loi de probabilité des erreurs. Les règles prescrites n'ont pas changé pour cela. Il doit sembler étrange que la loi de probabilité des erreurs soit sans influence sur les conclusions d'une théorie dans laquelle elle joue. un si grand rôle. L'explication est simple : une hjpolhèse, compatible en appa- rence avec toutes les lois, est introduite dans la démonstration^ elle impose en réalité la même forme à toutes. Nous supposons, dit Gauss, les observations assez exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables. Toutes les équations se trouvent par là réduites au premier de- gré, et toutes les lois sont équivalentes. Si l'on nomme o{z)dz la probabilité pour qu'une erreur d'ob- servation soit comprise entre z et z-^-dz, on peut, z étant très petit, remplacer ^{z) par le développement ^2 -A (3) o(^) = Q(o) -h zo'io) + — cp'{o) H- -j-^ cp-Co) + -— — o'v(o). Les erreurs constantes étant écartées, on doit avoir o'(o) et en fonction linéaire des accroissements dont on néglige les carrés. En éliminant entre les n -f-/> équations ainsi transformées les erreurs commises sur x, }', w, . . . dans la première approxi- mation, on obtiendra, entre les erreurs Ci, (?2, . . . , Oi+/> commises sur les grandeurs directement mesurées l\^ l^t • • •» ^n^p^ p équa- tions du premier degré de la forme Pi ^1 -i- Pj ^2-4- . . .-r- Vn-^pCn-\-p = /*li Ri ei-i- R2^j-f-. . .-4- R/t-t-/,e,iH-p = A3, CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 269 207. Pour ne pas compliquer les calculs, nous supposerons six grandeurs observées et trois inconnues, dont elles sont des fonc- tions déterminées 5 les équations (5) seront alors au nombre de trois et n -\- p sera égal à six. Nous adopterons, pour représenter la grandeur dont la mesure a été trouvée égale à /| , la somme (6) /^-h Xi /il -T- À2//2-+- Â3/13. L'expression (6) se réduirait à /| si les mesures étaient par- faites; mais de petites erreurs ayant été commises, en les nommant ^tt ^2} ^zt ^4j ^31 5^2, X3 ont été choisies le plus avantageuse- ment possible, n'est pas la plus générale parmi celles qui, si les mesures étaient exactes, se réduiraient à /|. On pourrait obtenii d'autres valeurs approchées en nombre infini. Pourquoi ne pas chercher entre toutes celle qui donne la plus petite erreur pro- bable? Si les erreurs n'étaient pas très petites, l'objection serait fon- dée; mais, les carrés étant négligeables par hypothèse, toute fonc- tion qui se réduit à zéro quand Ai, A^, ... sont nuls peut être supposée du premier degré par rapport à ces quantités. 209. Les équations (9) font connaître les coefficients les meil- leurs à adopter pour la formule (10). La valeur probable du carré de l'erreur est rendue minima; elle est représentée parla somme(8), dans laquelle X», Xj, X3 seront déduits des équations (9). L'expression (8) peut s'exprimer plus simplement. Si Ton ajoute les équations (9) après avoir multiplié la première parXi, la deuxième par )w et la troisième par X3, en retranchant du coef- ficient de m^ dans (8) la somme qui est égale à zéro, la valeur pro- bable du carré de l'erreur commise sur /» prend la forme mî(i-+-PiX,4-QiX2-T-R,X3); elle est proportionnelle à m^. Les valeurs de P|, Qi, R,, X, , X2 )v3 ne dépendent nullement de la concordance plus ou moins par- faite des observations, révélée par les valeurs A|, /i2, A3 des fonc tions qui devraient être nulles. 210. Supposons, pour donner un exemple très simple, que £= j', z^ u soient les quatre angles d'un quadrilatère. On a troui^ pour ces angles, directement mesurés, y = h, Z = ^3, U = /4. CHAP. Xi. — COMBiNAISOJN' DES OBSERVATIOWS. 27 1 SI les mesures élaienl exactes, on aurait Cette condition n'est pas remplie; on a h étant supposé très petit. On adoptera alors pour Tangle x la valeur Si ei, eo, e-i, e^ sont les erreurs respectivement commises sur les quatre mesures, Terreur E commise sur X sera En nommant m- la valeur probable du carré de chacune des er- reurs de mesure, la valeur probable du carré de E est (11) m2(i-^ i/.2-h -2 À). Elle est minima pour la valeur et Ton doit prendre X--/,- |/z. La valeur probable du carré de l'erreur est donnée par l'expres- sion (11) quand on y suppose ). = — [-. Elle est donc 3m2 — ;— » 4 indépendante, on doit le remarquer, de la valeur de h. i211. Supposons, pour donner un second exemple, que, d'une môme station O, on ait observé quatre points A|, A2, x\3, A4. On a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels les distances A1A2, A| A3, A| A4, A^ A4 et A3 A4 sont vues du point O, 2^2 CALCUL DES PROBABILITÉS. en désignant par /|, Z2, /a, Ia^ /s les valeurs trouvées. On veut cd déduire les valeurs les plus plausibles des angles x^ y, z formés par 0A| avec les trois autres directions OA2, OA3, OA4. On aurait^ si les mesures étaient parfaites, » (12) x = li, y = l%y - = ^3, z — x=l^, z—y=is et, par conséquent, Les équations (i3) ne sont pas satisfaites et, à cause des erreurs d'observation, on a On prendra pour x la valeur (r>; X = /i-f- X, //!-{- Xj^j. Si ei, €-29 ^3, e^, e^ sont les erreurs commises sur les quatre mesures. Terreur commise sur X sera (iG) E = les valeurs les plus plausibles des angles l^ et l^ sont 212. Les valeurs probables des carrés des erreurs c'ommises sont, dans tous les cas, indépendantes de Taccord plus ou moins parfait des observations. Les quantités désignées par h^j Aa, . . ., qui seraient nulles si les observations étaient parfaites, ne figurent pas dans l'évaluation de l'erreur à craindre. Nous avons déjà (173) rencontré et expliqué ce paradoxe. Il n'est pas inutile d'y revenir. Dans la détermination de l'erreur probable, la précision des observations a été supposée connue. Le facteur m^ représente la valeur probable du carré de Terreur commise sur chaque mesure. En supposant ainsi l'habileté de l'observateur évaluée à l'avance, sans qu'il soit tenu compte dans cette appréciation des discor- dances révélées par la comparaison des mesures, il ne faut pas s'étonner de ne pas voir figurer ces discordances dans le calcul de l'erreur à craindre. On mçsure, par exemple, les trois angles d'un triangle; on a vu déjà l'observateur à l'œuvre, il fait usage d'excellents instru- ments; on apprécie en conséquence la constante m^ : l'erreur probable est o", 5o. La somme des angles obtenus surpasse cepen- dant i8o** de 12''. L'observateur ne méritait pas la confiance ac- B. 18 27^ CALCUL DES PHOBABILITÉS. cordée. La valeur de m> ëtail très prohalilcmcnt mal choisi Mais, pour en adopicr une auLre, on manque de données sul sanles. 213. Les formuies dc^monlréea sont applicables à des observa- tions qui ne sont pas encore faites ; elles indiquent les calculs pal lesquels les inconnues devront se déduire des grandeurs directe ment mesurées. Les valeurs prubables des carrés des erreurs craindre dépendent de la précision espérée pour les mesures qu'tf va prendre. Le cas où cette précision est asses bien connue,! priori, pour que les résultats obtenus a^y puissent rien changa; quoi qu'il arrive, est tout à fait exceptionnel. C'est k lui que se rapportent les formules. 214. On s'est placé quelquefois à un point de vue absolamenti opposé. La précision des mesures est supposée inconnue; lacon* cordance plus ou moins parfaite des observations est le seul ren- seignement d'après lequel on puisse l'apprécier. Ce problème est le contraire du précédent. Nous supposions précision connue a priori; le résultat plus ou moins lieureui des observations n'y pouvait rien changer; pour rendre cette h^polhisc acceptable, nous supposions même que les observations nefassenl pas faites encore. On suppose, au contraire, dans le nouveau problème, la prtei- sion complètement inconnue. Il faut la calculer d'après lesréiul- lats, qui sont, celle fois, la seule donnée. Gauss a fait reposer la solution de ce problème sur m» formule très élégante, qui sera démontrée à la fin de ce Cb>- pitre. I^ formule est irréprociiable; mais l'application est mremeo' permise. Le problème n'est pas nettement posé. Quelques exemples rendront la difliculté très claire. On a mesuré les trois angles d'un triangle; l'excès de s sur deux angles droits pctit-ii faire connaître, indépendaia^ CHAP. XI. — GOMBIICAISON DES OBSERVATIONS. 275 y ment de tout autre renseign'ement, la valeur probable du carré de l'erreur commise dans la mesure de chacun des angles? Si Ton admet, comme il est vrai, qu'à chaque instrument manié par un observateur désigné correspond, objectivement, une valeur probable déterminée du carré de l'erreur et que, en donnant la somme des trois angles obtenus, on demande la valeur vraie de celte constante caractéristique de la précision, le problème est insoluble. Une valeur vraisemblable est, évidemment, tout ce qu'il est permis d'espérer. En réduisant le problème à ces termes très vagues, une lacune subsiste dans l'énoncé; elle doit enlever toute confiance dans le résultat. La connaissance de la valeur probable a priori de l'inconnue dont on veut déterminer a posteriori la valeur vraisemblable est un élément essentiel de la question; on ne donne sur lui au- cune indication. Les trois angles d'un triangle ont été mesurés par un observa- teur très habile; il a fait usage d'un excellent instrument; chaque rnesure a été prise trois fois ; les résultats proposés sont les xnoyennes des trois observations. La somme des angles, après t.outes ces précautions, surpasse 180** de 0^,25. Les mêmes angles sont mesurés par un débutant qui s'exerce; l''inslrument qu'on lui a confié est médiocre. Chaque angle n'est mesuré qu'une fois ; les angles obtenus diffèrent des précédents cJe plusieurs secondes chacun. La somme des angles, pour ces se- condes mesures, est exactement 1 80**. Quels sont les résultats les plus dignes de confiance? Les premiers, évidemment. Les formules qui déduiront la précision des mesures de l'accord plus ou moins parfait des résultats ne peuvent manquer de donner l'avantage aux seconds. Le cas, pourrait-on répondre, n'est pas celui qu'on a supposé. Les deux séries de mesures sont faites dans des conditions telles, qu'avant d'en connaître le résultat, sans donner la mesure numé- a-jÔ CALCUL DES PROBABILITÉS. rique des deux précisions, on les propose comme très inégales. L^énoncé du problème résolu par Gauss suppose, au contraire, que Ton ne sache rien sur la précision des mesures. Est-il possible, quand on combine des mesures, de ne rien sa- voir sur leur précision? Savoir, comme on l'admet, que toutes les valeurs de Terreur probable sont a priori également vraisem- blables serait un renseignement très précis qui, vraisemblablement, n'a dans aucun cas représenté la vérité. Sans avoir étudié un instrument, le nom du fabricant, le prix dont on Ta payé, la situation dé l'observateur qui s'en sert, font que certaines évaluations de sa précision, sans être tenues pour impossibles, seraient accueillies avec élonnement. Cela suffit pour changer les conditions de l'énoncé. 215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes. Le désaccord entre les mesures prises est un fait observé. Les causes possibles, en nombre infini, sont la précision de chaque mesure. Quelle que soit celle précision, l'événement observé est possible. Le plus adroit peut avoir une défaillance; le plus mal- adroit peut, par un heureux hasard, obtenir de bons résultats : les résultats très inexacts peuvent se compenser fortuitement. Plus la concordance est grande, assurément, plus il est probable qu'elle a pour cause rexactllude des mesures et que celle-ci est due à rhabileté de l'observateur. La probabilité assignée à chaque cause dépend (H5) de deux facteurs : la probabilité que la cause donne à l'événement ob- servé et la probabilité, a priori, pour que la cause ait agi. On veut, d'après l'énoncé, comme on Ta fait trop souvent en d'autres circonstances (123, 12i, 130), se passer complètement de- la seconde donnée. C'est une faute contre les principes. La lacuner^ laissée dans l'énoncé sera forcément remplacée dans chaque solu— tion obtenue par une condition introduite arbitrairement. 216. Supposons, pour faire connaître le principe de la méthode adoptée, qu'on veuille déterminer la chance pour qu'une pièce de CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 2'J'J monnaie désignée retombe sur le côté face quand on la jette en 1» • air. La pièce est jetée [x fois : elle a montré m fois face et n fois pile. Soient p la probabilité inconnue qu'elle donne à Tarrivée de face, q celle qu'elle donne à l'arrivée de piie. L'événement le plus probable sur [jl épreuves est [ip fois face. En égalant la valeur probable à la valeur vraie, nous aurons ^p = m. La valeur vraisemblable de p serait donc — • Le principe, appliqué à un petit nombre d'épreuves, donnerait des résultats inacceptables. Si, sur trois épreuves, la pièce a mon- tré deux fois face, oserait-on proposer | comme valeur vraisem- blable de la probabilité qu'elle donne à l'arrivée de face? Lorsque le nombre des épreuves est grand, le résultat cesse d'être choquant. La précision de la valeur proposée pour la pro- babilité/? n'est pas pour cela mieux justifiée. Une même pièce a été jetée loooooo de fois : on a obtenu SooSgi fois face; on en conclut que la pièce donne, vraisembla- blement, à la sortie de face, la probabilité (19) /? = 0,500391. Aucune de ces six décimales ne mérite confiance. La probabilité p a une valeur objective. A chaque pièce, d'a- près sa structure, correspond une valeur déterminée de p. Per- sonne n'a pu croire, bien entendu, que cette valeur soit égale à (19); mais il n'est pas même très probable qu'elle soit plus grande que o,5o. Supposons que, la pièce étant bien connue, la valeur exacte de p soit (20) /? = 0,499609, c'est-à-dire qu'elle s'écarte de ^ précisément autant que la va- leur (19) indiquée par le calcul, mais en sens inverse. 2^8 CALCUL DES PROBABILITÉS. Cherchons quelle serait, dans cette hypothèse, la probabilité de Tévéneinent observé. Le nombre le plus probable des arrivées de face est 499609. L'événement observé est l'arrivée de SooSgi fois face; Técarl est 789.. La probabilité d'un écart égal à h est on a h^ (782)» c ^V-P1\ — I ,223o5. a \ipq 5ooooo La probabilité donnée par l'hypothèse à l'événement observé e ' g-l, 22305* yji'K^pq celle que donne au même événement l'hypothèse la plus plau sible pour laquelle il correspond à un écart nul est >Ji ]^T^pq Le rapport est e-i,«805= 0,294332. Le rapport des probabilités de deux causes également probable - a priori est exactement celui des probabilités observées. La vs leur (19) de /? n'est donc pas quatre fois plus probable que la v^ " leur (20), que nous avons choisie, on peut le dire, absolume — contraire. 217. Reprenons la question générale. On a mesuré n-^-p grandeurs /,, l^^ /s, ..., In^f Elles sool liées par des équations rigoureuses à n inconnues Xy y^ 5, ..•• En éliminant les inconnues, on obtient p équations nécessaires CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 2'jg entre les /i -i-/> grandeurs mesurées : I^ï ( Mt *2j • • • > 'n-^p) = O» ï^^y* (*1> ^J» • • • » hi-i-p) — O. Les mesures n'étant pas parfaites, ces équations ne seront pas satisfaites : les premiers membres auront de petites valeurs — Ai, — A2, ..., — hn qui seront exactement connues, puisque les mesures l%y l^j • • • ? ^«+/» ^^ sont. Si l'on nomme e^^ €21 • • ., ^/î+/> les erreurs commises sur ces mesures et qu'on en néglige les carrés, la fonction F|, qui est égale à — A« et qui doit être nulle après les corrections, recevra un accroissement Aj ; on obtiendra ainsi p équations du premier degré , . , Q1C1-+- Qîe,-i-...-hQrt-|.pefl+/,= /i,, (21) { A|, A2, . . ., hn étant des nombres connus dans chaque problème. Le principe admis est celui-ci : Il est permis, à titre d'approximation, d'égaler une fonction des premiers membres de (21), dont la valeur est exactement connue, à la valeur probable calculée avant l'épreuve. Cette égalité, bien entendu, n'a jamais été proposée comme cer- taine : Valorverus, dit GdiUSSj pro ut fors errores obtulit, major minorve mediijieri potest. Ces deux grandeurs, la valeur véritable et la valeur probable, qtle le hasard peut faire plus grandes ou plus petites l'une que l'autre dans une proportion inconnue, sont égalées cependant pour former l'équation dont la solution est déduite. La critique est rendue difficile. Quand on a dit : le second membre de l'équation proposée peut être, suivant la décision du hasard, plus grand ou plus petit que le premier, on s'est mis en règle avec la rigueur : le lecteur averti sait qu'on n'y prétend pas. De quel droit reprocher une cause d'erreur nettement signalée? a8o CALCUL DES PROBABILITÉS. Le résultat est donné comme une approximation -, il est tout naturel, au contraire, de chercher quelle confiance mérite le prin- cipe sur lequel elle repose. Nous montrerons que, le principe étant admis, on en peut déduire, pour la précision, des valeurs très différentes et dont aucune, par conséquent, ne mérite con- fiance. Formons un polynôme (22) X,A} -f- X,A| -h. . .H- \phl H- Xy,^.,A,^-+-. . ., homogène et du second degré par rapport aux seconds membres, numériquement connus, des équations (21). Quels que soient les coefficients choisis, )v|, X2, . . ., l'expression (22) est connue. On peut en déterminer la valeur probable, avant les épreuves faites, en fonction de la valeur probable ni^ du carré de Terreur commise sur chaque mesure. hx, lu, > . > ^ hp sont exprimés par les équations (21) en fonc- tion des erreurs 6^,62, . . . , e^^p. Le polynôme (22) est donc une fonction connue des erreurs commises dans les mesures; on en peut former la valeur probable en remarquant que celle de e] est m^ et que celle de e/é?|V est nulle, quels que soient i et i\ La va- leur probable du polynôme (22) sera donc de la forme Gm*, G étant connu. En l'égalant à sa valeur vraie, puisque tel est le prin- cipe accepté, on obtiendra une valeur de m^ dans laquelle figure- ront les facteurs arbitraires désignés par )v. 218. Il ne sera pas inutile de donner une application. On a mesuré les trois angles d'un triangle; les erreurs com- mises ei, ^2) ^3 sont inconnues, mais leur somme est exactement connue; on a ei-+-ej+e3= /i,, hi étant l'excès de la somme des angles mesurés sur deux angles droits. On en déduit h] = e} H- e| -f- ej -+- 2^1 «j-f- 'iCte^-h le^Cx. CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 28 1 Si m^ est la valeur probable du carré de chacune des erreurs ^i> ^2) ^3? ^^ valeur probable du second membre est 3m^, et Ton écrira, en égalant cette valeur probable à la valeur vraie, par conséquent, Comme il n'y a qu'une seule équation entre les erreurs, il n'y a pas, dans ce cas, de choix à faire entre les combinaisons. 219. Reprenons le problème résolu (203). On a mesuré cinq angles /,, /2, /s, Z^, /s, entre lesquels les conditions géométriques du problème donnent les relations nécessaires lk-^l\ — h — o, h-^ h— lz= o. Les mesures étant imparfaites, on a trouvé En désignant les erreurs réellement commises par e«, ^2? ^3j ^4> o>aut toujours, pour éviter la longueur des formules, trois iiKouuues seulement, entre lesquelles on a six équations. blu nommant /i, /2Î •••? le les grandeurs mesurées et e^, f'.j, . . . , t'o les erreurs très petites commises dans leur évaluation, les conditions du problème donneront trois équations du premier degré entre les six erreurs i Pi e, -+- P, et -«- Pj «3 -4- P4 es, 4- P5 «5-4- Pg e^= hi, ^•*8) { Qi5l-^-...-^■a2 = ^s, RiJ'i-f-R2>'|-T-R3 5,-4-...-ha3 = es, Pour rendre minima la somme il faut, après l'avoir formée, égaler à zéro les dérivées par rapport à ^1, ji, 5|, . . . , et Ton aura ainsi, entre les inconnues véritables de la question, PjCPia^ij-T-QîCQia:, )-+- R2(Ri^i)H-...-H P2a|H-Qjaj-h. . .= o, I^(Pl^l)-^Q3(Ql^l)-^-R3(H,a^l)-^...-+-P3al-f-Q,a,-^...= o, (P|jr,), (QiXi), ... désignant l'ensemble des termes qui, dans les équations (36), précèdent ai, aa, .... On est conduit à la règle suivante : CHAP. XI. — COMBlIîAISON DKS OBSERVATIONS. 289 On ajoutera les premiers membres des équations du premier degré, dont Jes seconds membres sont les corrections à faire subir aux grandeurs directement mesurées, après les avoir multipliées successivement par le coefficient de chaque inconnue. Les équations ainsi formées, en nombre égal à celui des incon- nues, donneront la solution du problème. 224. Supposons que cinq points A|, Aa, A3, A4, A5 aient été visés d'une même station O. Sur les dix angles que forment deux à deux les lignes de visée, on en a mesuré huit. En nommant jCiy X2j «Tn, -JCi les angles de la direction OA avec les quatre autres, ces angles déterminant tous les autres, les mesures choi- sies sont telles qu'en nommant /|, L^ /a, /», /0, /o, /?, U leurs valeurs exactes, on a f 3'i = /j, Xi — Xi — /j, Xi= l-;, Xi— Xi~ /g. Les relations entre les angles mesurés doivent être ' Ji—l\— h — Oy Ces expressions ne seront pas nulles, mais auront des valeurs très petites. Nommons ces quatre valeurs a,, ao, ag, a^ ; elles don- neront, indépendamment de tout calcul, une première idée des erreurs commises. Pour appliquer la méthode des moindres carrés, il est inutile de former les équations (5); nous ajouterons les équations (Sj) après avoir multiplié chacune par le coefficient de l'une des inconnues successivement choisies. Nous aurons ainsi àxx — x^— ra ~ l, — /y — /g, ZXi — X'^ — x^— /g — /g- /i, 3^-3 — ^4 — -2^1 — '1 — ^3 -H ^G, 3j^4 X^-\- Xi— /i H- /j :- /;. B. .9 ayo CALCUL DES PROBABILITÉS. On en déduira les valeurs des inconnues '/ ^/ ï/ ïj '/ 4f 7, 4, ^' "" 75^'^ 5^' ^ rs''- 3^* -^ B^'- Ï5''^ s'' -^ 73 '•' 7f 'f 4, If 2, 4t I, I, If 7 r 4/ 4» If If 2, I» 225. Lorsque les corrections seront calculées, on devra cher- cher, en tenant compte des réserves faites, la valeur probable du carré de Terreur à craindre pour chaque inconnue. Gauss a donné pour ce calcul, comme pour tous les détails de celle théorie, une méthode devenue classique de laquelle résulte une démonstration du principe des moindres carrés très différente de celle que nous avons adoptée. Nous la reproduisons textuelle- ment. Problème. — Désignons par r, r', p", ... les /onctions li- néaires suivantes des indéterminées x^ y^ z^ ... : V = ax -\- h y -7- cz -^. . .-h l, v" = a" x^ l^\y^ c" z ->r , . . -\- l'y Parmi tous les systèmes des coefficients x, x\ x", ... qui don- nent identiquement y, p -T- x' p' -T- x" i'' -t- . . . = a: — A-, A^ étant indépendant de a:,y, z, . . ., trouver celui pour lequel X' 4- x'2 + x"2 -4- . , , est minimum. Posons (Gj) < '* CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. HQ! ç, r,, ^ seront des fonctions linéaires de x^ y^ z^ et l'on aura .p y r, = iF2a6-+-^S6' -h- -sS6c-4-. . .H- S6/, ^ > où Sa* = aî-Ha'*-r- a *-+-..., el de même pour les autres 2. Le nombre des quantités Ç, r,, Ç, . . . est égal au nombre xs des inconnues a*, y, :;, . . .•, on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (•) 3- = A -h (aa)$ H- (a?)7) -4- (aY)Ç -f- . . ., qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera Ç, r,, ^ par leurs valeurs (G3). Par conséquent, si l'on pose Ia (aa) -+- h (a^) -k- c (ay) -h. . . = a, a'(aa)H- /^'(a?) -i- ^'(«7) -t-. . . ^ a', a'(aa)-T-6'(ap)-i-c''(aY)H-...= a', on aura identiquement (Gj) oLV-^a'v'-^ad'v'''^. . .— T — A. Cette équation montre que, parmi les différents systèmes de coefficients x, x', x", . . . , on doit compter le système 'A = a, 'a' = a', >c" = a", .... On aura d'ailleurs, pour un système quelconque, (x — a) t; -H (x— a') i^'-i- (x"- a^) /h-. . .= A — /-, et cette équation, étant identique, entraîne les suivantes : (x — a)a-+-(x'— a')a'-f-(x''— a'')a''-i-. . . = o, (X — a) 6 -+- (x'— a') b' -+- (x" — a") /^' -1- . . . = o, (x — a)c -+-(x' — a')c' -4- (x"— a") c' -f-. . .= o, ( * ) On verra plus loin la raison qui a conduit à désigner les coefûcients de cette formule par la notation (ax)> (oc^). 292 CALCUL DES PROBABILITÉS. Ajoutons ces équations après les avoir multipliées , respectif ment, par (aa), (a^), (ay), • . ., nous aurons, en vertu du sy; tème (G4), (x — a) a -4- (x'— a') a' H- (x'— «')«'-+-... = o, c'est-à-dire x2-4- x'«-+-. . . = a«-f- a'«-+-. . .-h (x — a)«H- (x'— a')«-4-. . .; par conséquent, la somme X* -h x'* -+- x'* -+- . . . aura une valeur minimum, lorsque Ton aura X = a, x' = ol\ x' = a." i D'ailleurs, cette valeur minimum s'obtiendra de la manière sui- vante. L'équation (G5) montre que l'on a a% -f- a! n! -^ a'd" -\-, . .= o, />a4- b'a!-\- 6' a" -+-... = o, c a -H c' a' -4- c* a" -h . . . = o, Multiplions ces équations, respectivement, par(aa), (a^), (ay), ..., et ajoutons; enajant égard aux relations (G4), on trouvera a»H-a'«-h a''*-+-...= (aa). Lorsque les observations auront donné des équations approxi- matives p = o, p' = o, v" z=. o, il faudra, pour déterminer l'inconnue x^ choisir une combinaison de la forme suivante XP -\- Y.'v'-\- Y.'v" ->r. . .= o, telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à i et que les autres inconnues se trouvent éliminées. Le poids de cette détermination sera x^-hx'^-f-x'î-f-... CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 298 Od obtiendra la détermination la plus convenable en prenant alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même va- leur sans connaître les multiplicateurs a, a', a'', . . . , en effectuant l'élimination sur les équations $ = O, 7) = o, Ç = o, le poids de cette détermination sera • • • » I (aa) et Terreur moyenne à craindre m ^p{aLaL) = m'^p'{ctOL) = ni" ^ p" {olol) — Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convena- bles des autres inconnues^, 5, . . . , qui seront celles que Ton ob- tiendrait en effectuant l'élimination sur les équations 5 = 0, r, =o, Ç = o, Si nous désignons par Û la somme ou, ce qui revient au même, /?(V— L)«-H/>'(V'- L')^-^/?'(V'- L' )*-+-. . . , on aura évidemment . 6?û d\l ^ dû. "'==^' ^""^-dP' ^-^--d-.' " ' y par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combi- naison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les va- leurs les plus plausibles, sont précisément celles qui donnent à û une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée; donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et 294 CALCUL DES PROBABILITÉS. observées des quantités V, V, V, . . . , ces carrés étant respecti- vement multipliés par le poids des observations. Ces principes ont été depuis longtemps établis par d'autres considérations ( Theoria motus corporum cœlestium). Si Ton veut assigner la précision relative de chacune des déter- minations, il faut déduire des équations (G3) les valeurs de x^ y, z, . . . , qui se présenteront sous la forme suivante : ^=A-f-(aa)$-f-(a3)7)H-(aY)Ç-4- (G:) {r=B-r-(Pa)t + (P3)r,-.(3Y) ;-.... Les valeurs les plus plausibles des inconnues x, y, z, ... seront A, B, C, .... Les poids de ces déterminations seront 1 1 I (^y (jfy (TT/ cl les erreurs moyennes à craindre pour X m ^p{oL2) = m'^p^ii) =. . .. pour j' m v/?0?) = m' /?(??) =. . - . pour ;: m \/pi^(^) = m'/^CVï) = • • • , ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement (Theo- ria motus corporum cœlestium). Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fréquent el le plus simple de tous. On a alors V = :r, Y=x, W = x, ...: il sera utile d'en dire quelques mots. On aura a = /fj, a = }/p', a'^yjp", et, par conséquent, \ = (/? -f- />'-+-/>'-+-...) ar — (/>L H- />'L'-4-/>'L' -h...); CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. UgS d'où p -+-/> -H p -+-. . . , joLH-/?'L'-^/?'L''-f-... A = -, ji • p -^ p H-/? -f . . . Ainsi, si, par plusieurs observations qui n'ont pas la même pré- cision et dont les poids respectifs sont/?, /?', p" ^ . . . , on a trouvé, pour une même quantité, une première valeur L, une deuxième L', '^lïe troisième L'', . . •, la valeur la plus plausible sera ph -k- p' V -^ p" L ^•^ • • • P -\-p -¥- P -^. . . ^^ le poids de cette détermination sera p H- />'-+-/?' -h — ^i toutes les observations sont également plausibles, la valeur ^ J>lus probable sera L-t-L'-Hl/-:-.. ï w ^^t-à-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs observées; *~^ prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids ^ la moyenne sera vs. ^26. Quoique les formules proposées pour exprimer la valeur *^^Cibable du carré de l'erreur à craindre, à quelque point de vue ^^^on se place pour les obtenir, méritent peu de confiance, il ^st pas inutile de les défendre contre un reproche injustement fesse. Bienaymé, auteur de l'objection, a proposé « une modification l^^ofonde » ; il parle de la « défectuosité du calcul ordinaire ». Le ^^faut qu'il signale lui paraît si simple, <( qu'aux premiers mots ^^ ut le monde en reconnaîtra l'existence ». — « L'erreur consiste, ^ît-il, à calculer la probabilité d'une erreur commise comme si ^lle était la seule. Un des premiers principes de la théorie des t^^obabilités est que, quand plusieurs événements arrivent simul- ^-^nément, la probabilité de leur concours est le produit des pro- 296 CALCUL DES PROBABILITÉS. habilités de chacun, de sorte que la probabilité de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à part ; elle est d^autant plus petite qu'il y a plus d'événements. » « Évidemment, ajoute Bienajmé, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues. La probabilité que ces erreurs resteront toutes à la fois dans certaines limites ne peut être que le produit des probabilités séparées pour que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres et, par conséquent, cette probabilité du concours des erreurs de grandeur limitée doit être notablement inférieure à la probabilité des limites de chaque erreur considérée isolément, quelles que puissent être les autres. » L'assertion est évidente; mais le tort est d'accuser les auteurs de la théorie et des applications qu'on en a faites de l'avoir ignorée ou oubliée. Quand on a calculé une inconnue, il importe de savoir quelle confiance mérite le résultat. Les formules de Gauss répondent plus ou moins rigoureusement à cette question. Si une seconde inconnue est calculée, le même problème sera résolu pour elle. Si l'on connaît les probabilités pour que les erreurs commises sur deux angles soient plus petites que 0*^,10, on pourra, les deux résultats n'étant pas contestés, chercher la probabilité pour que les deux erreurs soient toutes deux plus petites que 0^,10; l'intérêt de cet autre problème sera plus ou moins grand, mais c'est une étrange prétention d'accuser d'erreur ceux qui n'ont pas désiré le résoudre. Prenons un exemple. On veut connaître un angle A. Cet angle fait partie d'un triangle ABC. On mesure les trois angles A, B, C et l'on prend pour A la valeur (38) A-+- 1(180" — A— B — G). Si m^ est la valeur probable du carré de Terreur à craindre dans la mesure d'un angle, le carré de l'erreur à craindre en adoptant l'expression (38) est (199) f /n^. CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 29^ L'objection consiste à dire : Sur les deux angles B et C vous avez des erreurs à craindre; elles doivent entrer en compte; elles ont leur part nécessaire dans l'évaluation du mérite de la solu- tion. Cela est vrai si le problème est de résoudre le triangle-, mais si le calcul est entrepris pour déterminer l'angle A, on n'aura nul souci des deux autres. Le triangle a trois côtés; on peut y inscrire un cercle, ou le cir- conscrire, déterminer la surface, calculer les bissectrices, etc., et résoudre cent problèmes différents pour chacun desquels, puisque le triangle est imparfaitement connu, uue erreur sera à craindre. Cherchera-t-on la probabilité pour que toutes ces erreurs soient inférieures à des limites données? Si persuadé qu'on soit qu'il faut le faire, le nombre des grandeurs qui dépendent du triangle étant infini, il faudra s'arrêter; où commencera \^ faute commise? Un exemple réduira l'objection à sa véritable valeur. On construit une carte géographique. Les villes, villages et bourgades y sont inscrits par milliers. On étudie l'un des points principaux et Ton cherche l'erreur probable à craindre sur cha- cune de ses coordonnées géographiques. Les calculs sont irrépro- chables; l'auteur de l'objection, sans y contredire, signale une faute très grave. Votre carte, dil-il, contient mille détermina- tions; il fallait y en vertu à' un principe dont la vérité frappera tout le monde, faire pour les mille points marqués le calcul exé- cuté pour un seul et multiplier les mille probabilités. Les erreurs n'étant pas indépendantes, la solution aurait le mé- rite d'une difficulté vaincue, mais elle condamnerait la carte la plus admirée d'autant plus sévèrement qu'elle serait plus riche de détails. Comment espérer que le produit de mille probabilités ne soit pas très petit? Le produit étant supposé connu, on accueillerait certainement comme un grand progrès la recherche isolée de chaque facteur. C'est elle seulement qui peut intéresser. 227. Nous terminerons ce Chapitre par la démonstration d'un élégant théorème de Gauss, annoncé (214) et dont les conséquences relatives à la détemûnadoa de la précLâoB d*aa STSlème d^obser- vatioDi ce me paraissent pa5 acceptables. On a meîaré directement « — /> grandeurs. Les mesures inspi- rent la même confiance: mais la Taleor probable m- du carré de l'erreur commise sur Tune d*eUes est a priori complètement inconnue. Ces n — p grandeurs mesurées sont liées par des équa- tions, que l'énoncé du problème fait connaître^ à n grandeurs inconnues. La méthode des moindres carrés détermine ces in- connues par la condition que les corrections sur les grandeurs di- rectement mesurées, qui rendent les équations compatibles, aient une somme de carrés minima. Les calculs font connaître exactement cetle sonune de carrés, plus petite par Fénoncé même de la condition imposée, que la :^omme des carrés des erreurs réellement commises. Le théorème de Gauss se compose de deux parties : La somme des carrés des corrections prescrites par la méthode des moindres carrés est une fonction homogène du second degré, parfaitement déterminée, des erreurs réellement commises. En désignant par m- la valeur probable, a priori, du carré de l'erreur commise sur une observation, la valeur probable de la fonction qui représente la somme des carrés des corrections prescrites par la méthode, et par conséquent la valeur probable de celte somme de carrés dont la valeur numérique est connue, est égale kpni^, Nous allons démontrer ces deux théorèmes, sans pouvoir ac- cepter qu'il soit permis ensuite d'égaler la valeur vraie de la somme des carrés des corrections à la valeur probable et d'en con- clure pour valeur probable du carré de Tune des erreurs d'obser- vations » P c^, c-ij . . ., e„^p étant les corrections faites aux grandeurs me- surées et le dénominateur p étant l'excès du nombre n -\- p des mesures prises sur le nombre n des inconnues qu'on en a dé- duites. CHA.P. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 2CJ[) Non seulement la somme des carrés des corrections, mais chaque correction en particulier peut s'exprimer en fonction des erreurs réellement commises. Si ces erreurs, en effet, sont con- nues, les équations auxquelles les inconnues satisfont, et qui de- viennent incompatibles, sont parfaitement déterminées; elles s'ac- corderaient si l'on ajoutait à chaque grandeur l'erreur commise en la mesurant, mais elles peuvent s'accorder d'une infinité de manières. Les corrections véritables étant inconnues, on rend la somme des carrés minima. Le calcul à faire pour cela est parfaite- ment déterminé, et le résultat ne peut contenir, outre les don- nées de la question et les grandeurs mesurées, que les erreurs réellement commises. La méthode exposée (207) permet de calculer cette fonction, dont l'existence est évidente a priori. Soient Piei-f- Pj^jH-.. .-+- P/14-p^/t-Hp— «i. I .•••. » t Tj ei -h Tj ^2 -h . . . -+- Tn^p Cn-^p - «/> les équations qui lient les erreurs possibles 64, Cj, . . ., Cn+p aux évaluations des grandeurs /<, Ly . . ., In+pj dont a,, ao, . . ., a,, sont des fonctions numériquement connues et très petites, puis- qu'elles seraient rigoureusement nulles si les mesures étaient exactes. Les corrections ^1,^2, . . ., c,i^p^ prescrites par la mé- thode des moindres carrés, sont des fonctions de a,, ao, . . ., ay, que la méthode fait connaître. La somme de leurs carrés est une fonction homogène du second degré de ai, a2, . . ., a^. Mais les équations (Sg) sont satisfaites par tous les systèmes de correc- tions compatibles avec les données du problème; elles le sont donc par les corrections égales aux erreurs véritablement com- mises, et, en remplaçant a,, aj, ..., ctp par leurs valeurs don- nées par (39) en fonction des erreurs véritables Si , £2, ... . £«+/!, on aura exprimé la somme des carrés des correclions en fonction de ces erreurs véritablement commises qui restent inconnues. 3oO CALCUL DES PROBABILITÉS. Pour obtenir les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés, il faut rendre minima la somme adjoindre, par conséquent, à Téquation ex de\ -h eide% -i- . . . -4- Cn-^p dcn-k-p = o les/> équations obtenues en diflférentiant le système (Sp). On devra, conformément à la théorie des maxima et minima, ajouter ces équations après les avoir multipliées par des facteurs indéterminés, et écrire le système et les inconnues ^1,^2, • . ., ^n^p se déduiront de ces n -\-p équations adjointes aux p équations (Sg). Pour obtenir les facteurs |jl,, (jlo, ..., [x^, ajoutons les équa- tions (4o), après les avoir multipliées par P|, Pj, . . ., puis par Q«î Q2) . . . , et ainsi de suite, nous aurons aiH-{i,(P«) -4-;ji2(PQ)--...-f-uL;,(PiT) =0, oLp-.-iid'^P) -i-;jLj(TQ)-h...-f-:x,,(Ti) =0, (P*-), (PQ), ... représentant la somme des carrés des valeurs dePJ, dePiQ,, .... Ajoutons les équations (4o), après les avoir multipliées par ^4, e-ij • . • , ^n^pt nous aurons 2 e] -h jxi «1 -f- (jLj «2 -f- . . . -f- jjLp ap = o, et cette équation fera connaître ^ef, exprimé, comme nous l'avions annoncé, en fonction de a,, a2, . . ., a,, qui sont eux-mêmes des fonctions connues d'un système quelconque de corrections possi- CHAP. XI. COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o l bles et par conséquent, en particulier, des erreurs réellement commises. 228. Il nous reste à chercher la valeur probable de Texpression Si £,, Sa, . . . , e,!^^ sont les erreurs réellement commises, la va- leur probable de tj est, quel que soit /, la quantité inconnue m'^ qui représente la précision des observations, et, les mesures étant indépendantes, la valeur probable de £/, e/', quels que soient i et /', est égale à zéro. La valeur probable de (4^^) est donc le produit par m^ de la somme des coefficients des carrés de êi, £2, . . -, £/?+/>• En substituant aux a dans la somme (42) leurs valeurs en fonc- tion des £, données par le système (3c)), l'expression devient, en ajant égard aux équations (4o), et, comme les corrections e sont des fonctions linéaires des jjl et des a, par conséquent des £, on voit que la somme des coefficients des carrés £j, £2, . . . , tn^p dans (4^) est égale à dei dei den-*-p c'est-à-dire, d'après le système (Sg), égale, au signe près, à P ^!^» _!- O ^^'' -u T ^^f ^i -r H VI -»: — !-...-+- Il -rr- diXi dti -f- . ..-+-T3 dixp dt^ -f- *■ n-\-p « «-4-/^ dikx difi-^p ^-Q„ \-\-p dtn-hp -H. . . dllp dt/i^.f On a, en remarquant que les £ satisfont au système (Sp) et que les [JL sont des fonctions linéaires des a, dixi _ dixi diM . ^f^i T . 3 02 CALCUL DES PROBABILITÉS. on en déduit les équations ^» dû -Tùrr^'-^dT,^'^''^'"'^ HT, ^'^'^ d^x _ dixi p, . <^i p o ^ ^iH P.T. La somme des premiers membres est donc égale à c'est-à-dire à l'unité ; car cette expression (44) est précisément le résultat de la substitution dans la valeur de [jl, déduite de (4o), des coefficients de [jL| aux termes tout connus ai, a2, . . ., oLp. La première colonne du Tableau est égale à Tunité. 11 en est de même de toutes les autres, et la somme est égale à p. Cette élégante démonstration a été donnée par M. Guyou. Lors donc que l'on résout un problème par la méthode des moindres carrés, n -\-p mesures ayant été prises et le carré de J'erreur à craindre sur chacune d'elles étant m^, la valeur pro- bable de la somme des carrés des erreurs réellement commises est (n -\-p)m^ ; mais la valeur probable, nécessairement plus petite, de la somme des carrés des corrections indiquées par la méthode comme les plus plausibles est seulement/?/?!^. 229. Reprenons, pour donner un exemple, le problème ré- solu (214). A| , A2, A3, A4 étant quatre points observés du point O, et les angles sous lesquels AjAo, A1A3, A|A4, A4 A3 et A4A2 sont vus du point O étant /,, Z^, /a, /», /s, en posant U-^ II— /3=an a, et 7.-2 étant très petits, les corrections à faire aux angles me- CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o3 sures sont 3 i 1 3 I I - ai-r- - aj, 4 4 I 3 La somme de leurs carrés est On a, en nommant £,, Sj, £3, Sj, £5 les erreurs réellement com- mises, a, = ev-4-c| — £3, La valeur probable de af est Zm-; celle de aij, 3m^ et celle de a, 7.2^1)1'-^ la valeur probable de (45) est donc o c'est-à-dire, conformément au théorème de Gauss, le produit de m^ par Texcès 5 — 3 du nombre des angles mesurés sur celui des angles inconnus réellement distincts. En égalant cette somme 2///^ à la somme des carres des cor- rections prescrites par les formules pour les huit angles direc- tement mesurés, la valeur ainsi obtenue pour m'^ ne peut nulle- ment être acceptée pour mesure certaine ou vraisemblable de Ter- reur à craindre dans les observations. On peut affirmer seulement, et c'est là le point important, que, si la somme des carrés des corrections est petite, la probabilité est grande pour que les observations aient été bien faites. 230. Indépendamment de l'incertitude du principe sur lequel la démonstration repose, je veux dire le droit d'égaler la somme .'5o4 CALCLL DES PROBABILITÉS. (les carrés des corrections à leur valeur probable, une autre cause, non moins grave que la première, suffirait, dans le plus grand nombre des cas, pour enlever toute confiance dans l'évaluation précise des chances d'erreur proposées après chaque application de la méthode. On suppose, a priori, toutes les mesures également précises; il est impossible, dans la plupart des cas, de croire à cette éga- lité : c'est faute de connaître- aucune raison de préférence qu'on accepte l'équivalence des résultats. Mais, connues ou inconnues, ces raisons, si elles existent, doivent exercer une influence sur l'erreur réellement commise, et c'est celle-là dont on prétend donner les chances. 11 ne faudrait pas dire : On obtient une précision moyenne. Des mesures dont la précision est inégale ne donneront nullement le même résultat qu'un nombre égal de mesures prises avec une pré- cision uniforme de quelque manière qu'on la choisisse. Les formules, enfin, supposent pour toutes les observations les erreurs constantes absolument écartées; c'est une condition dif- ficilement remplie quand on combine des observations d'origine didércnte. Le calcul de la précision d'un système d'observations et l'éva- luation qu'on en déduit pour la confiance méritée par le résultat ont compromis plus d'une fois la méthode des moindres carrés. Après avoir discuté par d'immenses calculs les observations du passage de Vénus sur le Soleil en 1761, Encke a trouvé pour la parallaxe du Soleil 8", 49 et pour erreur probable o", 06. Il y avait, en conséquence, plus de 3ooooo à parier contre 1 que Ter- reur n'atteindrait pas o",42, représentant sept fois l'erreur pro- bable. Les astronomes, cependant, acceptent aujourd'hui pour pa- rallaxe 8^,91, qui correspond précisément à l'erreur o''',42. Sur un nombre total de 149 observations, Encke, par des rai- sons dont il serait difficile de donner le détail, en avait consi- déré 90 comme meilleures que les 59 autres. Les premières avaient même poids dans les calculs et les secondes un poids moi- CHAP. XI. — COMBINAISON DES OBSERVATIONS. 3o5 lié moindre. Il n^en faut pas davantage, indépendamment de toute objection théorique, pour expliquer, j'oserai dire pour prévoir, des erreurs plus grandes encore que celles qu'on a commises. Si le résultat final est exact, l'un des observateurs, Short, s'est trompé de a5" sur l'instant du second contact et Justander de ^o^ sur celui du premier. L'un et l'autre, cependant, sont admis dans la première classe, comme Lacaille, qui se serait trompé de 2" seulement, et Lalande, de n W L'erreur probable sur l'instant du premier contact, pour tous les observateurs de première classe, étant 7'', il y aurait, si l'on s'en rapporte aux formules, 19000 à parier contre i qu'une erreur de 4o^ ne sera pas commise; n'était-ce pas une raison suffisante pour faire passer Justander dans la seconde classe, peut-être même pour supprimer ses chiffres, en voyant qu'à la sortie il s'est trompé de 20"? Encke, en prenant ce parti, aurait manqué, je le sais, à un principe que je n'accepte pas : les observations sont des témoins; SI elles sont, avant Tépreuve, jugées dignes de confiance, leur déclaration, quelle qu'elle soit, doit être recueillie et conservée. Laplace a évalué la masse de Jupiter j^ de celle du Soleil. L'erreur commise, afGrmait-il, est plus petite que -g- du nombre proposé, et le Calcul des probabilités démontre qu'il y a 1000 000 contre i à parier pour qu'elle n'atleigne pas cette limite. La limite cependant a été dépassée : aucun astronome n'en doute aujour- d'hul. Il serait intéressant de refaire et de discuter de tels calculs. Je veux parler ici des principes seulement. Lorsque des inconnues sont déterminées par un grand nombre de mesures, les équations <^tant plus nombreuses qu*il ne faut, le calcul fait connaître les corrections pour lesquelles la somme des carrés est minima. Quelle est la confiance méritée par les résultats? Nous avons résolu deux problèmes différents : Les observations n'étant pas faites encore, ou, ce qui revient au même, leur résultat étant encore inconnu, mais leur précision B. 20 3o6 CALCUL DES PROBABILITÉS. étant appréciée d'après l'habileté de l'observateur, quelle est la précision du résultat? La solution est irréprochable, mais sans intérêt dans la plupart des cas. Lorsque les observateurs sont différents et les observations nombreuses, il est impossible, évi- demment, d'exprimer a priori par un nombre la confiance méri- tée par chacun, en écartant les circonstances particulières qui ont pu le troubler, comme, par exemple, dans les observations du passage de Vénus, ce phénomène imprévu de la goutte qui ren- dait les contacts incertains. C'est après les avoir obtenus qu'il faut juger les résultats, et le véritable problème est celui-ci : Les observations sont faites, les calculs terminés, la somme des carrés des corrections est connue en chiffres; en déduire la précision supposée égale des observa- lions combinées. Nous devons répéter ce qui a été dit (174) : Quand on entreprend une série de mesures, l'habileté des ob- servateurs n'est ni parfaitement connue ni complètement incon- nue. Ce sont des cas extrêmes. Il arrivera presque toujours que toutes les valeurs de la précision étant possibles, elles seront, a priori, inégalement vraisemblables. La loi de leurs probabilités avant l'épreuve étant inconnue, le problème est insoluble. Si les observations étaient mal faites, les équations seraient discordantes. La probabilité pour que le hasard, et non la perfec- tion des mesures, les rende compatibles après de petites correc- tions peut être considérée comme une impossibilité. On peut, en conséquence, quand la somme des carrés des erreurs est petite, accepter sans crainte le résultat, mais il est téméraire d'évaluer en chiffres la confiance qu'il doit inspirer. CHAP. XIT. LES LOIS DE LA STATISTIQUE. Soj CHAPITRE XII. LES LOIS DE LA STATISTIQUE. Were tliU calculas Tounded on the eiperiencc of a rcry greai nomber of years, il would very wcU b« worth ihc whtie to think or melhods lo facilite the com- putation of two, tbreo or more liTec. lUlLEY. »3I. II existe plus d'une manière de consulter le sort; quand la probabilité est la même, la moyenne est la même sur un grand nombre d'épreuves, mais les chances d'écart peuvent être différentes. — 232. Expression algébrique du pro- blème à résoudre. — 233. Laplace et Poisson, dans leurs études sur la statistique des naissances, ont négligé cette remarque. — 234. Le tirage dans plusieurs urnes donne, pour une môme probabilité moyenne, une valeur plus petite au carré de l'écart. — 235. Influence de l'importance des sommes assurées sur les chances d'écart de la moyenne. La formule obtenue en supposant les tirages faits dans la môme urne n'est pas acceptable. — 236. Loi de mortalité de Gom- pertz. 231. Les géomètres ont tacitement assimilé les événements fortuits à une série de tirages au sort faits dans une urne de com- position inconnue. Rien n'autorise, a priori, une telle hypothèse. Toutes les manières de consulter le hasard ne sont pas équiva- lentes. Sans vouloir le contester, on s'est montré souvent trop peu sévère dans le choix à faire entre elles. Une première condi- tion est évidente, c'est l'invariabilité approchée du rapport entre le nombre des événements et celui des épreuves. Quand cette première vérification réussit, on s'en contente presque toujours; le rapport constant fait connaître la composi- tion d'une urne dans laquelle doivent se faire les tirages fictifs; on 3o8 CALCUL DES PROBABILITÉS. en déduit, pour un grand nombre d'épreuves, les conséquences estimées de plus en plus probables. Si l'on observe, par exemple, dans un pays dont la population est stationnaire, le nombre des décès, celui des naissances, le rap- port du nombre des filles à celui des garçons, le nombre des in- cendies, celui des jours où le vent souffle dans une direction dé- signée, etc., on trouvera, avec une approximation inégale, mais toujours grande à la longue, un rapport invariable entre le nombre d'événements d'un genre désigné et le nombre des épreuves. On comprend dans quel sens est pris le mot épreuve. S'il s'agit, par exemple, des incendies, chaque maison sert d'épreuve, et le rap- port dont nous parlons est celui de leur nombre total à celui des sinistres. Chaque événement fortuit acquiert par ces relevés, quand ils portent sur de grands nombres, une probabilité déterminée sur laquelle, lorsque les rapports restent constants, ne peut s'élever aucun doute. Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, 5ooo atteignent Tâge de 65 ans, on conclura, très légitimement, que pour un homme de 3o ans choisi au hasard la probabilité de vivre 35 ans est {. La conclusion étant acceptée, elle n'autorise pas l'assimila- tion des chances de décès des hommes de 3o ans, dans une période de 35 ans, h celles du tirage au sort dans une urne conte- nant I boule blanche et i boule noire. Si dans une telle urne on fait lOOOo tirages, le nombre des boules blanches obtenues sera 5ooo environ, un peu plus ou un peu moins, selon les caprices du hasard. Si, sur loooo individus âgés de 3o ans, on compte les survi- vants 35 ans après, ce nombre, d'après les Tables qui sont très exactes, sera 5ooo environ, un peu plus, un peu moins, suivant des circonstances que nul ne peut prévoir. Les deux cas, sous ce rapport, sont identiques. Est-ce là tout ce qu'on doit demander? Les nombres comparés diffèrent peu de 5ooo. Mais l'écart dans un cas, celui des décès, est complètement in- CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. Sog connu ; nous n'en pouvons rien dire, moins encore affirmer. Dans le cas des tirages au sort dans une urne, il est soumis à des lois précises. La moyenne de ses valeurs absolues, celle des valeurs de son carré peuvent être, avec confiance, calculées à l'avance. On peut affirmer que, dans le cas pris pour exemple, sur loooo tirages renouvelés un grand nombre de fois, la valeur moyenne de l'écart sera 4o; celle de son carré, 25oo. Si, en considérant un grand nombre de groupes de loooo hommes de 3o ans, la moyenne générale des décès en 35 ans étant égale à 5ooo, la moyenne des écarts, au lieu d'être 4oj se trouve égale à loo, on pourra, sans en conclure l'existence d'une cause pertur- batrice, accuser de la discordance la prétention d'assimiler deux problèmes très différents. Il y a, nous l'avons dit, bien des moyens de consulter le hasard ; quand ils donnent le même résultat moyen, ils ne donnent pas pour cela les mêmes probabilités d'écart. Au lieu de tirer des boules dans une urne de composition donnée, on peut associer plusieurs urnes de composition diflercnte et puiser alternative- ment dans chacune d'elles : les résultats moyens sont les mêmes que pour des tirages faits dans une urne de composition moyenne, les chances d'écart ne le sont pas. Si, pour prendre un cas extrême, au lieu de puiser lOOoo fois dans une urne contenant i boule noire et i boule blanche, on puisait alternativement dans deux urnes contenant, l'une la boule noire, l'autre la boule blanche, on obtiendrait avec certitude 5ooo fois la boule blanche, et l'écart deviendrait nul. La substitution de plusieurs urnes à une seule pour repré- senter les Tables de mortalité parait, a priori, très plausible. Parmi les individus du même âge, il est impossible de ne pas faire des catégories pour lesquelles les chances de vie sont inégales. Elles ne sont pas les mêmes pour la ville et pour la campagne^ on doit tenir compte des habitudes d'oisiveté ou de travail, de la profession exercée, de l'intempérance ou de la sobriété, de la lon- gévité des parents, etc. La statistique confond tous les cas et \ ^ il. la j)rol)al)ilil('' sera, jHiur (jui i .'esl pas conleslr ; mais, < lîaqiH . - : y :aie s'rrartera plus ou uuiins d( ..r 11 non de ronimun avec celle qui st a îaisail 3^>5 tirages clans une urnt . ' .:= l'r- -;t .>j3 boules noires. .' -■::■' :rr's prohablenienl, esl autre dans c< - ii'j.. Lï prohahililé pour qu'il pleuve ur ^ . ::;.'- i . i^ince est —7? mais, pour qu'il pleuvt . . !•• >: très difterente de (^)-. Quand il fail 1 «-.. VIS d'habitude pour un jour seulemenï : ; . ;ii iri^*? c-^l influencée par celle du tirage pré- - Uiit^': rîon aux niovennes, puisque Turne a cU' >. > .lieu: j>.^ur les rendre égales; mais il n'y a plu.^ , . .lI^» iiC'-jc^ndaninient de toute cause perturbatrice», .;, TiKK.u it".v>siire. j^ , iini<:o£i j^ènêrale semble devoir être posée de la nia- vi : -Jk probabilité pour qu'il arrive n fois est p„'y b* ,.....tr u^.uaii-'^ io^^ arrivées sera ivsc»»»* P*"^ 1^^' '^ statistique indiquera le nombre /> rtjjjjiililé de révéneinent k chaque épreuve. CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3ll moyenne (2; Ni -t-N2^N3-^...-i-N,, difTérera peu de (jl/>. Nous pouvons même la regarder comme égale à [jl/?, car c'est ce rapport seul qui nous fait connaître la probabilité moyenne désignée par/?. L'écart dans les [jl épreuves formant la série du rang i sera ^, N,-uNî-i-N3-f-...-v-N„ ., n La moyenne des carrés des valeurs de cette différence aurait (62) une expression très simple, [i./?(i — />), si l'événement était le ti- rage au sort dans une urne; elle pourra, sans qu'on s'en étonne, prendre dans le cas général une valeur très différente. L'étude de ces valeurs dans tous les cas possibles serait inté- ressante. La moyenne des carrés de l'expression (3) est identique- ment (163) (1) ^2^_^'| _^_...-f-^'s /N,-r-Nj-f-...-+-N„ n __ /N| -r-N;-f-...-^N,i y Le second terme différera peu de ^'^P'\ cela résulte, nous l'a- vons dit, de la définition môme de p. Le premier terme n n'est pas une fonction déterminée de />. Si les nombres N^, No, . . . , N„ résultent de tirages au sort dans une urne donnant à la sortie d'une boule blanche la proba- bilité/?, on aura approximativement, pour un grand nombre d'é- preuves, (^) =\^P. L'équation (5) est évidente. 3l2 CALCUL DES PROBABILITÉS. Le premier membre de (6) peut, si n est grand, être remplacé par la \aleur probable de N^, c'est-à-dire par le carré du nombre d'arrivées sur [jl épreuves de l'événement dont la probabilité est la somme des termes du développement de (/? + qY multipliés chacun par le carré de l'exposant de p. Cette somme a été cal- culée (183). Si l'on ne connaît sur les probabilités pst p^y • • • > /^{i que la seule équation à laquelle il faut adjoindre la condition identique /?l-+-/?îH-/)3H-.. .H-/>{i= I, l'équation (6) n'est plus démontrée. Il est impossible de connaître, d'après les données, la valeur probable de Nf-^N|-f-...-^Ni n égale à o 1 -t- 4/>t -H 9/>3 -<- • . . -+- [A'/>(X i et par conséquent aussi la valeur probable de l'écart représentée par l'expression (4) doit rester inconnue. 233. Lorsque Laplace et Poisson ont cherché les probabilités de certaines anomalies locales dans le rapport du nombre des nais- sances masculines et féminines, ils n'ont pas tenu compte des diiïerences très grandes que nous venons de signaler. Leurs cal- culs sont faits comme si, la naissance d'un garçon ayant une cer- taine probabilité, les résultats possibles d'un nombre quelconque de naissances avaient, à moins de causes perturbatrices, les mêmes chances que si l'on tirait des boules d'une même urne convena- blement préparée. 234. Lorsque la probabilité d'un événement est /?, la valeur probable du nombre d'arrivées sur [jl épreuves est [jl/?, et celle du carré de l'écart entre le nombre véritable et le nombre probable *^p est (62) {jL/?(i — /?). CHAP. XIÏ. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3l3 Si, à une urne donnant une probabilité p à Tévénement, on sub- stitue n urnes diflférentes donnant les probabilités y^i, p^j . . . , p^t dans lesquelles on puisera alternativement, la probabilité moyenne étant égale à /?, la valeur moyenne du carré de l'écart sera di- minuée. Si l'on tire, en effet, successivement dans les diverses urnes et que, le nombre total des tirages étant [x/i, on ait puisé [x fois dans chacune, le nombre probable des boules blanches sorties sera Sur un même nombre [x/i de tirages dans la première urne, le nombre probable des boules blanches serait ^np. Ces nombres sont égaux, puisque, par hypothèse, la moyenne /?) -^ /?a H- /?3 -^ . . . -^ P a n est égale à p. Les chances d'écart sont très différentes. Dans le cas des [ji/i tirages faits dans l'urne qui donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité /?, si l'on désigne le nombre des boules blanches sorties par \i.np H- -3, la valeur probable de z'^ est (62) (7) \^np{^—p)' Dans le cas des n séries de ;jl tirages qui forment la seconde épreuve, les nombres de boules blanches pourront être représen- tés par l'écart entre leur nombre total et le nombre le plus probable sera ^H -r- -«2 -r- . . . -t- ^fiy dont le carré peut être représenté par 3l4 CALCUL DES PROBABILITÉS. La valeur probable de -s/5// est nulle, quels que soient i el i' \ celle de cj est La valeur probable du carré de l'écart dans l'ensemble des [jl/i épreuves faites dans n urnes différentes est (9) I^[/?i(i— />i)-+-/>i(i— />t) -H •••-+■ A'/iCi — />/»)]. La différence des expressions (7) et (9) est, on le voit aisé- ment, elle est essentiellement positive, et la valeur probable du carré de Técart dans le cas d'une seule urne est, pour une même probabi- lité moyenne, plus grande que pour les urnes associées. 23o. Les remarques précédentes peuvent s'appliquer à la théorie des assurances. Le bénéfice d'une Compagnie d'assurances sur la vie, par exemple, dépend du nombre des décès qui surviendront dans l'année parmi les assurés. Ce nombre se compose de deux parties : un terme (ixe, proportionnel au nombre des assurés et donné par les Tables, et un terme aléatoire, inconnu de grandeur et de signe, que nous nommerons Vécart. Le premier terme fait connaître la valeur équitable de la prime à payer, le second repré- sente les variations du bénéfice annuel; il est très probablement petit par rapport au premier, si le nombre des affaires est consi- dérable. L'appréciation réduite à ces termes vagues n'est pas contes- table ; mais il n'est pas permis de la réduire en formule en assi- milant les écarts à ceux que peuvent produire des tirages au sort dans une urne de composition fixe. Si l'on considère, par exemple, une Compagnie d'assurances mutuelles contre l'incendie, la part de chacun dans la répartition des sinistres variera d'autant moins, toutes choses égales d'ail- leurs, d'une année à l'autre, que le nombre des assurés sera plus CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. .'^ 1 5 ^rand et que les sommes assurées à chacun différeront moins de l'égalité. Soient Ui le nombre des assurés à qui la prime àv payer en cas de sinistre est a, ; JJL2 le nombre de ceux pour qui la prime est a^; •••• * ■) ;j.,i le nombre de ceux pour qui elle est a„. Soient f*\<, e-is . . . , e„ les écarts relatifs à chacune de ces catégories ; p la probabilité d'un sinistre. La somme probable à payer sera et la part proportionnelle de celui qui doit recevoir ai est /jaiCiJLiCti-h [JL2 a, -+-... -+- \x„^n) ai -f- ctj -T- , . . -T- 3t/i h'écart de la somme à payer, c'est-à-dire la différence entre la somme prévue et celle qui sera réellement due, est pour la Com- pagnie Les écarts 6*1, 6*2, . . .^ Cn ayant des valeurs probables égales à zéro, ainsi que leurs produits deux à deux, le carré de cette expression a môme valeur probable que (10) ajej -T- a|ej -f-. . . .H- ajcj. Si le sinistre dont la probabilité est/? était assimilé à un tirage au sort dans une urne de composition invariable, la valeur pro- bable de e] serait [Ai/>(i — /?), et celle de la somme (10) aurait pour valeur La part correspondante de l'assuré qui doit recevoir a/ serait a//?(i— /))(jji,a2 -f- [jL^al -4-.. .-f- [Ji„aJ) «1 -h Œj -H , . . -f- Ot;^ 3l6 CALCUL DES PROBABILITÉS. Celle évaluallon, déduite d'une assimilation que rien n'autorise, ne doit inspirer aucune confiance. 236. Je terminerai ce Chapitre en indiquant une loi remar- quable de probabilité proposée par Gompertz, et qui, dans des limites assez écartées, paraît s'approcher de la vérité. La condition arbitrairement imposée à la fonction inconnue est que la probabilité pour que deux individus d'âges connus vivent l'un et l'autre après un nombre donné d'années soit proportion- nelle à celle pour qu'un troisième individu, d'âge convenablement choisi, vive lui-même après ce même nombre d'années. Si ^(z) désigne, pour un nombre donné de naissances, le nombre des survivants à 1 âge 5, la condition demandée est expri- mée par l'équation Cette équation doit avoir lieu quel que soit x^ quand on choisit pour G une fonction convenable de a et de b. 2 — — — ? est, en effet, la probabilité pour qu'un individu dont l'âge est a vive encore dans n années. En prenant les logarithmes des deux membres de (12) et posant l'f{if) ^=F(u), la condition devient F{a-r-x)-^F{b-hx) = F{c-{-x}-h H, H étant une fonction de a et de 6 indépendante de jc. En prenant la dérivée par rapport k x et posant F'{u) = ^iu), on a (i3) ^{a-h x)-:-^{b -^x) = ^{c -h x); par conséquent, en faisant j: = o, (i4) ^(a)-^Hb) = ^{c); CHAP. Xït. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. 3l~ on doit avoir aussi (i5) ^{a-i- dx)-h^(b-+- dx) = ^(c-{- dx) et, en retranchant, (16) f(«)H-'V(6) = f(c). Les seconds membres des équations (i4) et (i5) sont fonctions de c\ ils dépendent donc Tun de Tautre. Il doit en être de même des premiers membres, et une relation doit exister entre les deux fonctions La condition nécessaire et suffisante pour qu*il en soit ainsi est que le déterminant fonctionnel soit nul. Ecrivons donc Telle est Téquation qui détermine ^. Si l'on suppose que ni ^' ni ♦y ne soient nuls, on aura ^\a) ^\b)' on en déduit aisément et, successivement, H|, C|, Ci et k sont des constantes. Cette formule, plus générale que celle de Gompertz, a été pro- posée par Makeliam. Gompertz suppose C| et C2 égaux à zéro et prend J'ai déterminé les coefficients par la condition d'accorder au- tant que possible les coefficients avec les meilleures Tables con- nues. 3l8 CA.LCUL DES PROBABILITÉS. Les résultats sont donnés par le Tableau suivant : ?(3o)=r89o, 0(60) = 584, 0(90) = 16, K= 0,071485, logK = 8,8542146, H = — 0,0065461, logH = 7,8159811, G= 94r,i6o, log G = 2,9736634. Tables ?(5) des 20 €'•• de de de «r • Calcul. anglaises. Duvillard. Deparcieux. ISorthampton 30. . . 890 , 00 890 890 , 00 890,00 890,00 OtJ. . . 868,88 854 820 , 59 841, 5o 813,89 40... 839,56 8i3 750, 3o 796,63 737,78 4o. . . 799,35 769 678,54 754,20 659,23 50. . . 745,18 718 6o3 , 38 704,48 579,87 j. • • 674,06 657 522,39 637,79 496,86 60... 584,00 584 433,78 56i,4o 4i3,64 65. .. 475,74 49Ï 337,93 478,95 331,24 70... 354,87 382 238,97 375,88 25o,o5 75. . . 233,39 259 145,72 . 255,84 168,87 80... 124,85 14^ 70,49 143,08 95,19 oo. . • 54, 4Î 59 19,44 58, 20 90... 16,00 16 7,78 12,33 9,33 Les différences entre les valeurs de ^(2) et celles que donnent les Tables des vingt Compagnies anglaises sont moindres que les différences des diverses Tables entre elles. CHAP. XIII. — PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. 3 1 () CHAPITRE XÏIÏ. PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. Cela Tait, comment tonleociez-vous, mon amy ? Comme tous autres, mesjiicnrs, répondit Bri(loye,pour ccluy Je lionne sentence duquel la chance lirrée par le sort des dcz Judiciaires premier adrient. Rabelais. 237. Résume critique des tentatives faites pour appliquer le Calcul des probabilités aux décisions judiciaires. 237. L'assimilation la plus téméraire d'un tirage au sort aux effets de causes inconnues et variables a été proposée par Con- dorcet. Le Livre trop longtemps admiré sur la probabilité des décisions prises à la majorité repose tout entier sur cette confusion. Aucun de ses principes n'est acceptable, aucune de ses conclusions n'ap- proche de la vérité. La théorie de Condorcet a été commentée, refaite même en en- tier par des savants illustres ou célèbres; aucun progrès n'a pu en corriger l'impuissance. Les successeurs de Condorcet, tout en le louant d'avoir porté le flambeau de la Science dans ces mystérieuses questions, ont reconnu l'insuffisance de ses formules : ils n'en ont pas proposé de meilleures. Laplace a rejeté les résultats de Condorcet, Poisson n'a pas ac- cepté ceux de Laplace; ni l'un ni l'autre n'a pu soumettre au cal- cul ce qui y échappe essentiellement : les chances d'erreur d'un 320 CALCUL DES PROBABILITÉS. esprit plus ou moins éclairé, devant des faits mal connus et des droits imparfaitement définis. Dans la discussion d'une loi sur le jurj, Arago allégua l'autorité de Laplace. On pouvait, disait-il, diminuer les erreurs judiciaires dans le rapport de 5 à 7. La théorie le démontre. Ces chiffres sont aussi certains que la parallaxe du Soleil. Un député osa exprimer un doute, Arago le traita fort mal. Quand il parlait au nom de la Science, il n'appartenait pas à des ignorants de le contredire. On a changé la parallaxe du Soleil pour une autre plus exacte. Les chiffres de Laplace n'ont pas à être changés, ils ne méritent que l'oubli. L'analyse du Livre de Condorcet est difficile à faire. Les erreurs y sont tellement évidentes, la confiance qu'elles inspirent telle- ment naïve, que l'approbation connue de juges très justement illustres rend les citations invraisemblables. Comment croire qu'à côté des aberrations singulières, textuel- lement rapportées, ne se trouve pas quelque idée de génie qu'il serait juste de produire? Le Livre n'est pas rare, chacun peut chercher. Tout se passe, suivant Condorcet, comme si les magistrats, imi- tant Bridoye, juge de Mjrelingues, sentenciaient par le sort des dés. L'assimilation de l'opinion d'un juge au tirage d'une boule dans une urne de composition déterminée est pour lui une iden- tité. Si la boule est blanche, la décision sera bonne. Le juge se trompera s'il tire une boule noire. L'urne dans laquelle puise un juge éclairé et honnête contient beaucoup de boules blanches ; les boules noires abondent dans celle d'un juge sans conscience. Le difficile est de trouver la composition de l'urne. Telle n'est pas l'opinion de Condorcet. Il suppose qu'une même urne serve à tous les juges, pour toutes les causes et pour tous les tribunaux d'un même pays. Le problème n'a plus qu'une seule inconnue. Dans cette hypothèse, favorable au calcul, Condorcet est en droit de rassurer les innocents en menaçant les coupables d'un inévi- CHAP. XIII. — PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. 321 table châliment^ on doit supposer, dans tourne dont tout dépend, les boules blanches en majorité. En douter serait faire injure à la magistrature. Si les juges se trompaient plus d'une fois sur deux, il faudrait supprimer les procès. On doit les conserver, mais assurer de bons jugements. Rien n'est plus facile; il faut accroître le nombre des juges. Quand les boules blanches sont en plus grand nombre que les noires, leur sortie en plus grand nombre est probable ; elle devient certaine si les tirages sont nombreux : la probabilité d'une décision prise par la majorité peut approcher ainsi de la certitude. Nous supposerons, dit Condorcet, les assemblées composées de votants ayant une égale justesse d'esprit et des lumières égales; nous supposerons qu'aucun votant n'ait d'influence sur les voix des autres et que tous opèrent de bonne foi. Plus le nombre des votants augmentera, plus la probabilité de la décision sera grande : la limite de cette probabilité est la cer- titude. Les illusions de Condorcet ne s'étendent pas à toutes les as- semblées. Une assemblée nombreuse ne peut pas, dit-il, être composée d'hommes très éclairés : il y aura un grand nombre de questions sur lesquelles la probabilité de la voix de chaque votant sera au- dessous de |. Alors, plus l'assemblée sera nombreuse, plus elle sera exposée à rendre des décisions fausses. On peut dire plus, elle en sera certaine. Une assemblée nombreuse, dont chaque membre se trompe plus d'une fois sur deux, se prononcera certainement contre la vérité ; elle donnera un moyen sûr de la connaître. Condorcet ne Ta pas proposé, mais il résulte de ses formules; il serait injuste de lui en refuser Phonneur. Tous les calculs ont pour base la probabilité pour qu'un juge se trompe; on ne dit ni quel juge ni dans quel procès : c'est une constante qu'il faut déterminer. Condorcet donne plusieurs so- lutions. La plus assurée, malheureusement d'une exécution difficile, B. ai 3a. s PHODABrLITI^S. ncr un tribuDal d'esamûn un assefl consisterait ;'i réunir pour foi grand nombre d'hommes vi-rilablemcnt éclairés pour que Ici décisions fussent considérées comme certaines. On saurait ulora CombicD de fuis ies juges se seront trompés dans leurs décisioni| prises à la majorité ; en admettant pour tous la même chance d'ec reur, on dégagera aisément des formules qui ne contiendront \ya d'autre inconnue la valeur exacte de cette chance. Cette méthode, dit Condorcel, ne peut avoir qu'un inconv^ nient. H en énumère trots cependai La difficulté de composer un tribunal d'examen, le long tcmpi qu! serait nécessaire pour examiner un |>rHnd nombre de décM sions, les embarras qui peuvenlrendre l'esamen diUîcile. Condorcet, on le voit, ne dissimule pas les difficultés. Maia quand on les aura surmontées, quel dédommagemen La certitude d'un bon jugement pourra croître s n'v aura qu'à choisir. Si le risque de l'erreur, dit Condorcet, est tel qu'on néglige t risque semblable quand il s'agit de sa propre vie, les plus enN géants devront s'en contenter. Beaucoup de gens réputés sages prennent à Ljon le batea| pour se rendre à Avignon. Le pont Saint-Esprit cependant esl s la route. Que faudrait-il penser d'un tribunal qui donnerait aux ino cents autant de chances pour être pendus qu'un voyageur en ■ se no*erau pont Saint-Esprit? Cette idée ne lui plaît pas complètement. Supposons, dit-il, que l'on sache combicu il périt de paqnebi sur le nombre de ceu\ qui vont de Douvres à Calais ou qui ï viennent de Calais îi Douvres, et qu'on n'ait égard qu'à ceux qtf sont partis par un temps regardé comme bon et sitr par hommes instruits dans la navigation, Il est clair qu'on aura aia| la valeur d'un risque qu'on peut négliger sans imprudence. Après de longues et consciencieuses recherches, Condorcet* décide à accepter la fraction i - ^ -j- fg - j : c'est la dernière concessia qu'il puisse faire. C'est là, dit-il, le risque le plus consîdérabi CHAP. Xltl. — PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. ^23 .lre trois se valent, quels que soient les juges. Si le partage se ^^t dans la proportion de sept contre un, celui des juges qui s'est ^ ^J>aré des sept autres puise, comme eux, dans la presque unani- ^ a té la même garantie de sagacité. La chance d'erreur est la même P^tir tous, telle a été la base du calcul. Ces huit juges puisent ^^tis la même urne, les boules blanches y sont en grande majorité. ^^ le hasard a mis une boule noire dans les mains du huitième l^ge, c'est un pur accident : il n'en faut rien conclure contre lui. Les conséquences de ces hypothèses sont moins assurées, quoi ^u'en ait dit Arago, que la théorie du Soleil. Dans les tribunaux où cinq voix sont nécessaires pour une con- damnation, la probabilité d'une erreur est j—^ et cela quels que soient les juges. Si le tribunal est réduit à six membres qui ne pourraient con- damner qu'à la pluralité de quatre voix, la probabilité d'une er- reur à craindre serait au-dessous de {. .'^24 CALCUL DES PROBABILITÉS. Dans le jury de douze membres, si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douze, la probabilité de Ter- reur à craindre est Ijff ; elle est à peu près -^ si la pluralité est de neuf voix. Dans le cas de l'unanimité, la probabilité d'une erreur est réduite à fhï' Telle serait, suivant le calcul, la mesure de la sécurité assurée aux innocents par la loi anglaise. Poisson n'accepte pas la solution de Laplace, il le déclare timi- dement. Laplace, dit-il, fait une hypothèse qui n'est point inconles- lable. L'insuccès de son maître ne le décourage pas : il fait reposer à son tour des calculs exacts sur des hypothèses sans fondement et propose le résultat avec la même confiance qu'un théorème de Géométrie. Avant i83i, dit-il, et pour la France entière, la probabilité qu'un juré ne se tromperait pas dans son vote était un peu supé- rieure à I dans le cas des crimes contre les personnes, et à peu près égale à \j dans le cas des crimes contre les propriétés. Sans distinction de l'espèce de crimes, cette chance était très peu infé- rieure à l pour toute la France et un peu supérieure à cette frac- tion pour le département de la Seine. La probabilité de la culpabilité de l'accusé se trouverait, pour la France entière, comprise entre o,53 et o,54 .* elle surpasse | dans le cas des crimes contre les propriétés. Dans les années qui ont précédé i83i et pour la France en- tière, la probabilité de l'erreur d'une condamnation prononcée à la majorité minima de sept voix contre cinq était, à très peu près, o,i6 ou o,o4, selon qu'il s'agissait d'un crime contre les personnes ou d'un crime contre les propriétés. Sans distinction de l'espèce de crime, elle avait pour valeur 0,06. Que faut-il croire de tout cela? Absolument rien. Poisson, comme Condorcel et comme Laplace, assimile les ju- rés à des urnes. Gomme Laplace, il suppose la probabilité la même CHAP. XIII. — PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. iV>.5 pour tous ceux qui jugent une même cause; comme Condorcet, il la suppose égale pour toutes les causes. Il déclare formellement, il est vrai, ces hypothèses inaccepta- bles; elles n'en sont pas moins la base de ses calculs : il croit tout concilier en substituant dans les énoncés ce qu'il appelle une pro- babilité moyenne à la constante introduite dans les démonstra- tions, erreur de principe moins excusable peut-être que les hypo- thèses les plus hasardées. Si, sur douze jurés, sept ne se trompent jamais et cinq se trompent toujours, la probabilité moyenne d'erreur sera j^. Elle le sera aussi si chaque juré tire sa décision bonne ou mauvaise dans une urne contenant cinq boules noires et sept blanches. Le jury cependant, dans le premier cas, ne se trompe jamais ; les boules noires, dans le second cas, seront souvent en majorité. Poisson dans ses calculs ne dislingue pas les deux hypothèses. L'une des formes les plus étranges de l'illusion , dont on fait honneur à Condorcet, a été proposée par Cournot. Il déduit des formules par un calcul très exact le mérite des trois juges qui composent un même tribunal, non seulement le mérite relatif, mais le mérite absolu, la probabilité pour chacun d'eux de ne pas se tromper dans une cause qui leur est soumise. On a peine à comprendre qu'un tel résultat n'ait pas mis en défiance un esprit rigoureux et subtil. Le tribunal se compose de trois juges. Trois inconnues seule- ment sont à déterminer. Cournot, qui fait un pas vers la réalité, en supposant aux juges une sagacité inégale, leur attribue la même chance d'erreur dans toutes les causes qui leur sont soumises, croyant, comme Poisson, obtenir par cette singulière hypothèse ce qu'il nomme une probabilité moyenne; il suppose en outre, et c'est là la moins acceptable de ses erreurs, la chance de bien juger indépendante, pour chaque juge, de celle des deux autres. Si chaque juge se trompe une fois sur quatre, ils se tromperont tous les trois ensemble une fois sur soixante-quatre. C'est se placer trop loin de la vérité pour que l'application des formules puisse donner même une grossière approximation. Que 3a6 CALCUL DES PROBABILITÉS. Ton veuille faire ou non la fiction contraire, quand un juge se trompe il y a pour cela des raisons : il n'a pas réellement mis la main dans une urne ou le hasard Ta mal servi. II a ajouté foi à un faux témoignage, le concours fortuit de plusieurs circonstances a éveillé à tort sa défiance, un avocat trop habile Ta ému, de hautes influences peut-être Font ébranlé. Ses collègues ont entendu les mêmes témoins, on les a instruits des mêmes circonstances, le même avocat a plaidé devant eux, on a tenté sur eux la même pression : la chance d'opiner dans le même sens n'est aucunement comparable à celle de tirer trois boules de même couleur dans trois tirages indépendants les uns des autres. Si, comme le demande très sérieusement Cournot, on invitait le greffier à noter, après chaque jugement, l'opinion de chacun des juges, pour appliquer, quand les chiffres seront nombreux, la formule qui donne leur mérite, la perspicacité de chacun étant contrôlée par celle de ses deux collègues, le juge le mieux noté de France serait celui qui, sans discuter ni réfléchir, volerait tou- jours comme son président : s'il faut en croire la formule, un tel juge ne se trompe jamais. Ni Cournot ni Poisson n'ont commis la plus petite faute comme géomètres; ils traduisent rigoureusement leurs hypothèses. Mais les hypothèses n'ont pas le moindre rapport avec la situation d'un accusé devant les juges. Ils ont aperçu les différences et croient, en les signalant, acqué- rir le droit de n'en pas tenir compte. Poisson, qui, comme Condorcet, a consacré à la théorie des ju- gements un volume entier rempli des plus savants calculs, croît atténuer les objections qu'il ne pouvait manquer d'apercevoir, en altérant, dans ses énoncés, la signification du mot coupable. On rendrait, dit-il, le langage plus exact en substituant le mot con- damnable, qui est toute la vérité, au mot coupable qui avait be- soin d'explications et que nous continuerons d'employer pour nous conformer à l'usage. L'innocent, accablé sous des indices trompeurs ou victime de machinations trop habiles pour qu'aucun juge puisse les soupçon- CHAP. XIII. — PROBABILITÉS DES DÉCISIONS. .'ii^ ner, est un accusé condamnable. Poisson, pour se conformer à l'usage, le classe parmi les coupables. L'erreur unanime des juges devient alors une preuve de sagacité dont l'Algèbre leur tient compte en évaluant leur mérite avec son infaillible précision. Dans cette suite de calculs stériles, qui resteront, comme Ta dit justement Stuart Mill, le scandale des Mathématiques, Condorcet seul a donné un sage conseil : celui de choisir pour composer les assemblées des hommes véritablement éclairés. TABLE. 329 TABLE DES VxiLEURS DE L'INTÉGRALE 0(0= -t. f e-i'dL t. {) ,(M)... • 0» ,01... • 0» ,02.. . . 0, ,o:{ . . . 0, ,01.. • ^î ,05.. . . 0, ,06. . . . 0, ,07.. . . 0, ,08.. . . 0, ,09.. . . 0, ,10.. 0, ,11.. . . 0, ,12.. 0, ,13.. . . 0, ,14.. , . 0, ,15.. . 0, ,16.. . . 0, ,17.. . . 0, ,18.. . . 0, ,19.. . . 0, ,20.. . . 0, ,21.. . . 0, ,22.. . . 0, ,23 . . . 0, ,24.. . . 0, ,25.. . . 0, ,26.. . . 0, H. 0000000 01 1283 i 0225644 o3384io 0451109 o563-i8 0676215 0788577 090078 I I 01 2806 I I 2463o i23623o 1347584 I 458671 1569470 1^^79959 1790117 I 899923 2009357 2118398 2227025 2335218 244^958 255o225 2657000 2763263 2868997 «. /. H. ,27.... 0, ,28... 0, ,29... 0, ,30.... u, ,31. .. 0, ,«3Z. . . . 0, , 00 • . . 0, ,34. . . . 0, ,00. . . 0, ,36. . . 0, , / . . . 0, , tio. . . • 0, , o«l. • . 0, , ^v. . . < 0, ,41... 0, ,42... 0, ,4o. . . 0, ,44... 0, ,45.. 0, ,46... 0, ,47.. . 0, ,48 .. 0, , -#4/ . . . • 0, ,Dil. . . . 0, ,01 ... . 0, , OZ. . . . 0, y *iÔ • . • . 0, 2974182 0,54.... 0,5549392 3078800 0,55.... 0,5633233 3182834 0,56.... 0,5716157 3286267 0,57.... 0,5798118 3389081 0,58.... o,58792?9 34912)9 0,59.... 0,5959365 3592785 0,60.... o,6o3856i 3693644 0,61.... 0,6116812 3793819 0,62.... 0,619411 { 3893296 0,63.... 0,6270463 3992059 0,64.... 0,6345857 4090093 0,65.... 0,6420292 4187385 0,66.... 0,6493765 4283922 0,67.... 0,6566275 4379690 0,68.... 0,6637820 4474676 0,69.... 0,6708399 4568867 0,70.... 0,6778010 4662251 0,71.... 0,6846654 ^754818 0,72.... 0,6914330 4846555 0,73.... 0,6981038 4937452 0,74.... 0,7046780 5027498 0,75.... o,7iii556 5ii6683 0,76 0,7175367 5204999 0,77.... 0,7238216 5292437 0,78.... 0, 7300104 5378987 0,79.... o,736io35 5464641 0,80.... 0,7421010 3'> JO CALCUL DES PROBABILITÉS. 0,81. 0,82. 0,83. 0,8i. 0,85 0,86. 0,87. 0,88. 0,89. 0,90. 0,91. 0,92.' 0,93. 0,94. 0,95. 0,96. 0,97 0,98. 0,99. 1,00. 1,01. 1,02. 1,03. 1,04. 1,05. 1,06. 1,07. 1 .08. 1 .09. 1,10. 1,11. 1,12. 1,13. 1,14. 1,15. 1,16. 1,17. 1,18. 1,19. 1,20. 1,21 1,22. 1,23 1,24. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o e. 748oo33 7538108 7095238 7651427 7706680 7761002 7814398 7866873 791843a 7969082 8018828 8067677 811 5635 8162710 8208908 8254236 8298703 834231 5 8385o8i 8427008 8468 io5 85o838o 8547842 8586499 8624360 8661435 8697732 8733261 8768030 88o2o5o 8835330 8867879 8899707 8930823 8961238 8990962 9020004 9048374 9076083 9103140 9129555 9155339 9i8o5oi 92o5o52 /. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,25.. 0, ,26.. 0, ,27.. 0, ,28.-. 0, ,29 . 0, ,30.. 0, ,31. 0, ,32.. 0, , 00 • . 0, ,3i.. 0, ,35 . 0, ,36.. . . 0, ,37.. 0, ,00. . . . 0, ,39.. . . 0, ,40.. . . 0, ,41.. 0, ,42.. 0, ,43.. . . 0, ,4i.. . . 0, ,45 . . . 0, ,46.. . . 0, ,47.. 0, ,48.. . . 0,( ,49.. . . 0, , ou. . o,< ,51.. 0, ,52.. . . 0, ,0«3. . . . 0, ,54.. 0, ,dd. . 0, ,56.. . . 0, ,57.. 0, ,58.. . . 0, ,«)«/. . 0, ,60.. 0, ,61.. . . 0, ,62.. 0, , 63. . . . 0, ,6i.. 0, ,65.. 0, ,66.. . . 0, ,67.. 0, ,68.. 0, H. 922900 I 9252359 9275136 9297342 9318987 9340080 9360632 938o652 9400 i5o 94i9ï37 9437622 9455614 9473124 9490160 9506733 9522851 9538524 9553762 9568573 9582966 9596950 9610535 9623729 963654 I 9648979 9661052 9672768 9684135 9695162 9705857 9716227 972628 I 9736026 9745470 9754620 9763484 9772069 9780381 9788429 9796218 9803756 981 1049 9818104 9824928 /. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,69... 0, ,70.. . . 0, ,71.. . . 0, ,72.. . . 0, ,73... 0, ,74. . . 0, ,75... . 0, ,76. . . 0, ,77.. . 0, ,78.. 0, ,79. 0, ,80.. 0, ,81... 0, ,82.. . 0, ^00. . . . 0, ,84.. 0, ,85.. 0, ,86. . . . 0, ,87.. . . 0, ,00. . . . 0, ,oVI. • • . 0, 1 tfU. • • . 0, ,91... . 0, ,92... 0, ,iTO. . . . 0, ,94.. 0, ,95 . . . 0, ,96.. 0, ,97.. 0, ,98.. 0, ,tfif. . 0, ,00.. 0, ,01.. 0, ,02.. 0, ,03... 0, ,04.. 0, ,05.. 0, ,06. . 0, ,07.. . . 0, ,08.. 0, ,09.. . . 0, ,10.. . . 0, ,11., . . 0, ,12.. 0, 983 I 526 98379<» i 9844070 9850028 985578J 9861346 9866717 9871903 9876910 988174a 98864o(i 9890905 9895245 989943 I 9903467 9907359 991 II 10 99*472^5 9918207 9921562 99^^4793 99^7904 9930899 9933782 9936557 9939226 9941794 9944^63 9946637 9948920 9951114 995322*^ 995524H 9957*95 9959063 9960858 996258 I 9964*35 9965822 9967344 9968805 9970305 997 "548 9972836 rABLF. 3,5 1 /. e. /. e. /. H. 2,13.... 0,9974070 2,57... • 0,9997215 3,01 .. 0,9999793 2,U.... 0,9975^53 2,«M>. . . • 0,9997364 3: ,02... 0,9999805 2,15 ... 0,9976386 2,59... • o,99975o5 3 ,03.... 0,9999817 2,16.... 0,997747^ 2,60... • 0,9997640 3, ,04... 0,9999829 2,17.... 0,9978511 2,61... • 0,9997767 3 ,05... 0,9999839 2,18.... 0,9979^05 2,62... • 0,9997888 3, 06. . • . 0,9999849 2,19.... 0,9980459 2,63. . . • 0,9998003 3 ,07.... 0,9999859 2,20.... 0,998137 V. 2,6i... • 0,9998112 3. ,08.... 0,9999867 2,21.... 0,9982241 2,65.. . • 0,9998215 3 ,09. . . . 0,9999876 2,22. . . . 0,9983079 2,66. . . • 0,99983 I 3 3 ,10.... 0,999988'! 2,23.... 0,9983878 2,67... • 0,9998406 3. ,11... 0,999989» 2,24.... o,998464'> 2,68... • 0,9998494 3 ,12. . 0,9999898 2,25.. . . 0,9985373 2,69... • 0,9998578 3, .13... 0.9999904 2,26. . . . 0,9986071 2,70... • 0,9998657 3 ,14... o,99999»o 2,27.... 0,9986739 2,71 .. • 0,9998732 3, 15... o,99999>6 2,28.... 0,9987377 2,72 .. . 0,9998803 3, ,16... 0,9999921 2,29.... 0,9987986 2,73... • 0,9998870 3, 17.... 0,9999926 Z, ijU. • • * 0,9988568 2,74... • 0,9998933 3, 18.... 0,9999931 2,31.... 0,9989» 24 2,75... • 0,9998994 3, 19 ... 0,9999936 2,32.... 0,998965) 2,76... • o,9999o5i 3: ,20. .. 0,9999940 z ,Oo. ... 0,9990162 2,77... • 0,9999105 3, 21.... 0,9999944 2,34.... 0,9990646 2,78... • 0,99991 56 3 ,22.... 0,9999947 Z,548 2,80... • 0,9999250 3: ,24.. . 0,9999954 2,37.... 0,999 «968 2,81... • 0,9999293 3 ,25.... , 9999957 z , oo .... 0,9992369 2,82... • 0,9999334 3 ,26. . . . 0,9999960 2,39... 0,9992751 Z ,00. . . • 0,9999372 3 ,27. . . . 0,9999962 2,40... 0,99931 i5 2,84... • 0,9999409 3 ,28. . . . 0,9999965 2,41... 0,9993462 z , 00. • . • 0,9999443 3 ,29.... 0.9999967 2,42.... 0,9993793 2,86. . . • 0,9999476 3, 30.... 0,9999969 2,43.... 0,9994108 2,87... • 0,9999507 3 ,31.... 0,9999971 2,44.... 0,9994408 z, 00. . . • 0,9999536 3, ,32... 0,9999973 2,45.... 0,9994694 2,89... • 0,9999563 3, ,iKi. . . . 19999975 2,46.... 0,9994966 z, «tU. . . • 0,9999589 3 ,34.... 0,9999977 2,47.... 0,9995226 2,91... • 0,9999613 3 , Oo» . . . 0,9999978 2,48 ... 0,9995472 2,92... • 0,9999636 3 ,36. . . . 0,9999980 2,49... 0,9995707 z 1 ait . . . • 0,9999658 3 ,37... 0,9999981 2,50 ... 0,9995930 2,94... • 0,9999679 3 ,38.... o,999998-^. 2,51.... 0,9996143 2,95... • 0,9999698 3 ,o«l. . . . 0,9999984 2,52.... 0,9996345 2,96... • 0,9999716 3 ,40.... 0,999998 > Z,(>o. . . . 0,9996537 2,97... • 0,9999733 3 ,41... 0,9999986 2,54... 0,9996720 Z,<70. . . • 0,9999750 3, 42. . . . 0,9999987 2,55... 0,9996893 2,99... • 0,9999765 3, ,43... 0,9999988 Z jOU. . . . 0, 9997058 3,00... • 0,9999779 3, 44. . . . 0,9999989 . 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